二次函数的图象与性质
中考考点 考查频率 新课标要求
二次函数的相关概念 ★★ 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.
二次函数的图象与性质 ★★★ 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.
二次函数与各项系数的关系 ★★ 理解二次函数与各项系数的关系.
二次函数与方程、不等式 ★★ 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查.而对于二次函数图象和性质的考查，主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识.
一、二次函数的概念
一般地，如果y＝ax ＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．
注意：
（1）二次项系数a≠0；
（2）ax ＋bx＋c必须是整式；
（3）一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；
（4）自变量x的取值范围是全体实数．
二、二次函数y＝ax ＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的图象及性质
图象 （a＞0） （a＜0）
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标 （－，） （－，）
增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
三、二次函数的性质
（1）抛物线的顶点式，对称轴是平行于轴的直线．
（2）当时，抛物线在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；
当时，抛物线在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展．
（3）当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而减小；在对称轴（）的右侧，随着的增大而增大；当时，函数的值最小（是0）；
当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而增大；在对称轴（）的右侧，随着的增大而减小；当时，函数的值最大（是0）．
（4）二次函数与的图像形状相同，可以看作是抛物线整体沿轴平移了个单位（当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位）得到的．
二次函数的定义
下列函数中，二次函数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
、是二次函数，故此选项符合题意；
、可化为，不是二次函数，故此选项不合题意；
、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
1.下列函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、，是正比例函数，故本选项不符合题意；
、，是反比例函数，故本选项不符合题意；
、，符合定义，故本选项符合题意；
、，是一次函数，故本选项不符合题意；
故选．
2.下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
3.关于的函数是二次函数的条件是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：当，即，则是二次函数．
故选：．
4.下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
、是二次函数，故本选项符合题意；
、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
二次函数的图象
（2024·广东省广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当 时，，均随着的增大而减小．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，同样当时，反比例函数随着的增大而减小．
故选：．
根据二次函数和反比例函数图象解答即可．
本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．
1.二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：二次函数，
对称轴为直线，
一次函数，
当，则，
直线与二次函数的对称轴交于轴上同一点，
故、、不合题意，
、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
故选：．
2.如图是四个二次函数的图象，则、、、的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
所以，．
故选：．
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由可知抛物线的开口向上，故不合题意；
二次函数与轴交于负半轴，则，
一次函数的图象经过经过第一、二、四象限，、选项不符合题意，符合题意；
故选：．
4.如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意．
故选：．
5.已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由二次函数的图象可知，，，二次函数与轴的交点坐标为和，
二次函数的开口向上，与轴交于负半轴，且二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，3，故正确．
故选：．
二次函数的性质
（2024·四川省甘孜藏族自治州·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：；；当时，其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意，函数图象与轴交于负半轴，
当时，，故正确．
又根据函数的图象可得，，且，
．
．
对称轴是直线，故正确．
由题意，或时，，且抛物线开口向上，
当时，，故正确．
故选：．
依据题意，由函数图象与轴交于负半轴，则当时，，故可判断；又根据函数的图象可得，，且，进而，则，从而对称轴是直线，故可判断；依据题意，当或时，，且抛物线开口向上，进而可以判断．
本题主要考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
1.对于抛物线，下列判断正确的是
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
【答案】C
【解析】解：、，抛物线的开口向下，本选项错误，
、抛物线的顶点为，本选项错误，
、抛物线的对称轴为：，本选项正确，
、把代入，解得：，本选项错误，
故选：．
2.对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是
A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是轴 D．顶点在轴上
【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向下，顶点为，对称轴为直线，
故选：．
3.已知二次函数，，是常数，的与的部分对应值如下表：
0 1 3
3
下列各选项中，错误的是
A．这个函数的图象开口向上
B．当时，
C．这个函数的最小值为
D．当时，的值随值的增大而减小
【答案】
【解析】解：将，，代入得：
，
解得，
，
抛物线开口向上，选项正确，
将代入得，
正确．
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
将代入得，
函数最小值为，选项错误，
抛物线对称轴为直线，
时，随增大而减小，选项正确．
故选：．
4.二次函数，，为常数）中，与的部分对应值如下表：
1 2 3 4
0 1 0
以下结论：①该二次函数图象开口向上；
②当时，该二次函数取最大值为1；
③当时，；
④若点，，在该二次函数图象上，则；
其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④
【答案】
【解析】解：①由表可知，二次函数与轴交点坐标为和，
对称轴为直线，
又当时，，
该二次函数图象开口向下．
故①不正确．
②对称轴为直线，图象开口向下，
当时，函数取最大值．
故②正确．
③抛物线上的点关于对称轴对称，
点和点关于直线对称，
当时，．
故③正确．
④当或时，，
无法判断与的大小．
故④不正确．
故选：．
二次函数图象与系数的关系
（2024·四川省泸州·中考真题）已知二次函数是自变量的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】略
1.二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有
A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤
【答案】
【解析】解：①抛物线开口方向向下，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则．
所以．
故①错误．
②抛物线对称轴为直线，
，即，
故②正确；
③抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为：；
，即，
故③错误；
④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
，
故④错误；
⑤，
，
，
，
而，
，即，
，
，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：．
2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①不正确；
抛物线与轴有两个交点，
△，所以②不正确；
，
，
所以③正确；
时，，
，
所以④不正确．
故选：．
3.如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点，且，
，故①正确；
二次函数的图象关于直线对称，
其对称轴为直线，即，
，
．
由图象可知该抛物线开口向上，
，
，故②错误；
抛物线与轴有两个交点，
△．
由图象结合题意可知当时，，
，
．
，
，
，
，即，故③正确；
抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方，
，，
，
由③可知，，
，
，
，
，故④正确；
由图象可知当时，有最小值，且为．
，
又对于任意实数，都有，
，即，
，故⑤错误．
故选：．
4.已知抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线．有下列结论：①；②关于的方程有两个不相等的实数根；③．其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解析】解：抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
，
抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
，故①正确；
抛物线开口向下，与轴有两个交点，顶点在轴的上方，且，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不等的实数根，故②正确；
抛物线，，是常数，，经过点，
，
又，
，
，
，
，
，解得，故③正确，
①②③都正确，
故选：．
二次函数图象上点的坐标特征
（2024·广州·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是轴直线，图象的开口向上，在对称轴的右侧，随的增大而增大，再比较即可．
【详解】解二次函数的对称轴为轴，开口向上，
当时，随的增大而增大，
点都在二次函数的图象上，且，
，
故选．
1.已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：二次函数为常数，且，
开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，
当与的函数值相同，
即抛物线经过，
，
．
故选：．
2.已知关于的二次函数的图象上有两点，，，，，且，则与的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，且，
，
，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
．
故选：．
3.已知，，，，是抛物线上的三个点，若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，
，，，，是抛物线上的三个点，且，
，
故选：．
4.如图，在平面直角坐标系中，点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：．
5.已知二次函数，，，为常数），若，记，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：二次函数，
该抛物线开口向上，与轴的交点分别为，、，．
当时，，
．
对称轴，，
，
．
当时，，
，
．
．
故选：．
二次函数图象与几何变换
（2024·黑龙江省牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移个单位长度后，经过点，则 ______．
【答案】
【解析】解：抛物线向下平移个单位长度后得到，
把点代入得到，，
得到，
，
故答案为：．
根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可．
此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
1.将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：将抛物线向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为，
故选：．
2.将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为，
故选：．
3.抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是，
故选：．
4.已知抛物线经过平移后得到抛物线，若抛物线上任意一点坐标是，则其对应点坐标一定是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：抛物线经过平移后得到抛物线，
抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，
抛物线上任意一点坐标是，则其对应点坐标为，
故选：．
二次函数的最值
（2024·黑龙江省哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意，，
当时，取最小值为．
故选：．
依据题意，由，从而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
1.二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为4，最小值为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过点，，
解得：，
二次函数为，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，函数有最大值4，
把代入得，，即，
解得，，
在范围内有最大值为4，最小值为，
．
故选：．
2.抛物线的最大值为
A．4 B． C．5 D．
【答案】
【解析】解：抛物线的最大值是，
抛物线的最大值为．
故选：．
3.关于二次函数的最值，说法正确的是
A．最小值为 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3
【答案】
【解析】解：二次函数中，
，
函数图象开口向下，
函数有最大值，
函数图象的顶点坐标为，
二次函数的最大值为3．
故选：．
4.已知二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为4，最小值为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：把，代入，得，
解得，
，
抛物线开口向下，当时，取得最大值4，
在范围内有最大值为4，
．
解，得，，
当时，抛物线在范围内有最大值为4，最小值为．
故选：．
5.已知二次函数在时有最小值，则
A．或 B．4或 C．或 D．4或
【答案】
【解析】解：二次函数，
对称轴为直线，
①，抛物线开口向上，
时，有最小值，
解得：；
②，抛物线开口向下，
对称轴为直线，在时有最小值，
时，有最小值，
解得：；
故选：．
待定系数法求二次函数解析式
（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
求二次函数的表达式；
若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的倍，求点的坐标．
【答案】解：将 ，代入，
得
解得
所以，二次函数的表达式为．
设，因为点在第二象限，所以 ，．
依题意，得，即，
所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得 ，舍去，
所以点坐标为．
【解析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等．
根据待定系数法求解即可；
设，因为点在第二象限，所以依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标．
1.已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：抛物线的最低点的纵坐标为，
，
即，
，
，
，
解得：，，
当时，抛物线为．
故选：．
2.已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，顶点坐标为，
故不符合题意；
．；顶点坐标为，
故不符合题意；
．，顶点坐标为，
故不符合题意；
．，顶点坐标为，
故符合题意；
故选．
3.已知一个抛物线经过点，和．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）；
（2）顶点坐标为；对称轴为直线．
【解析】解：（1）设，
将代入，则，
，
（2），，
顶点坐标为；对称轴为直线．
4.已知二次函数的图象经过点和．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）当时，有最小值，求的值．
【答案】（1），顶点坐标是；
（2）或3．
【解析】解：（1）根据题意得，，
解得，
二次函数的解析式为，
，
其顶点坐标是；
（2）由（1）知抛物线的对称轴是直线，开口向上，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当，即时，
当时有最小值，
，
解得或（舍去）；
当时，当时有最小值，
，
解得或（舍去）；
当且，即时有最小值，不合题意，舍去；
综上，的值为或3．
5.如图，抛物线经过点，点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【答案】（1）；
（2）3．
【解析】解：（1）抛物线经过点，点，且，
，
，
设抛物线的解析式为，将代入得，
，
，
抛物线的解析式为；
（2），
．
如图，过点作于点，交于点．
设直线的解析式为，将代入得，，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
二次函数的三种形式
用配方法把二次函数写成的形式 ．
【解析】解：
．
故答案为：．
1.将二次函数化成形式为 ．
【答案】．
【解析】解：，
所以，．
故答案为：．
2.将抛物线化成顶点式为 ．
【答案】．
【解析】解：，即，
故答案为：．
3.将二次函数的右边进行配方，正确的结果是
A． B． C． D．
【解析】解：提出二次项系数得，，
配方得，，
即．
故选：．
4.把二次函数化为的形式，那么 3 ．
【解析】解：，
，，
．
故答案为：3．
抛物线与x轴的交点
已知抛物线过点，且，则关于的一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】解：由题意可知，抛物线过点，且，
则有，
，，
方程可化为，
解得：，，
整理关于的一元二次方程可得，
，
或，
解得，，
故选：．
1.抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为
A．3 B．2 C．2或 D．2或3
【答案】
【解析】解：抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，
即与轴有一个交点，与轴一个交点．
令得，
与轴一个交点时，
△，
解得，
当与轴有两个交点，且其中一个交点与轴交点相重合时，
此时，
，
故选：．
2.二次函数的图象与轴的交点情况是
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
【答案】
【解析】解：△，
，
，
△，
二次函数的图象与轴有两个交点，
故选：．
3.若抛物线与轴没有交点，则的值可以是
A． B．0 C．4 D．8
【答案】
【解析】解：抛物线与轴没有交点，
无解，
△，
解得，
故选：．
4.已知二次函数的部分与的值如表：
1 2 4
0
根据表格可知，一元二次方程的解是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】解：时，；时，，
抛物线的对称轴为直线，
时，，
时，，
关于的一元二次方程的解为，．
故选：．
图象法求一元二次方程的近似根
（2024·山东省泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是则下列结论：；方程一定有一个根在和之间；方程一定有两个不相等的实数根；其中，正确结论的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，之间，
与轴的另一个交点在，之间，
方程一定有一个根在和之间，故错误；
抛物线与直线有两个交点，
方程一定有两个不相等的实数根，故正确；
抛物线与轴的另一个交点在，之间，
，
图象与轴交点的纵坐标是，
，
，
故错误．
综上，正确的结论有，共个．
故选：．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．
本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
1.在探究关于的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值：
1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是____，十分位是____．
【答案】1；1．
【解析】解：根据题意可得：，
方程的一个近似根取值范围为：，
这个近似根的个位是1，十分位是1，
故答案为：1，1．
2.下表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
0.36 0.13
那么方程的一个近似根（精确到是
A．1.4 B．1.5 C．3.5 D．3.6
【答案】
【解析】解：观察表格得：方程的一个近似根（精确到是1.5，
的对称轴为，
方程的另一个近似根（精确到是3.5，
故选：．
3.下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【解析】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2，
故选：．
4.小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到为
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
【解析】解：抛物线与轴的一个交点为，又抛物线的对称轴为：，
另一个交点坐标为：，
则方程的另一个近似根为1.4，
故选：．
5.已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
0.56
那么方程的一个近似根是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：根据表格得，当时，，即，
距近一些，
方程的一个近似根是，
故选：．
二次函数与不等式（组）
如图，二次函数的图象经过点，点，点，其中，下列结论：①，②，③方程有两个不相等的实数根，④不等式的解集为，其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】解：①二次函数的图象经过点，点，
二次函数的图象的对称轴是直线：，
，
，
，
，
，，
，
故①正确；
②把点代入中可得：，
，
由①得：，
，
，
，
，
故②正确；
③由图可知：
直线与二次函数的图象抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
故③正确；
④二次函数的图象经过点，点，
，
二次函数的图象经过点，
，
，
二次函数的对称轴为直线：，
把代入二次函数中可得：，
二次函数的图象与轴的交点为：，
设二次函数的图象与轴的另一个交点为，
，
，
不等式的解集为，
不等式的解集为，
二次函数的图象的对称轴是直线：，
，
，
不等式的解集为，
故④正确，
所以：正确结论的个数有4个，故选：．
1.二次函数，，是常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
1
0 0
其中，，，以下结论中不正确的是
A．对称轴为直线
B．关于的方程 的两根为或
C．
D．关于的不等式的解集为
【答案】
【解析】解：（1）当时，；
当时，．
点和关于抛物线对称轴对称，
对称轴为，故对．
（2）对称轴，
．
的根为，，
即的两根为或，故对．
（3）当时，，
．
且，抛物线对称轴为
，点、，、，、、都在对称轴右侧．
在对称轴右侧随增大而增大，且抛物线开口向上，
，．
又．
，
，故正确．
（4）抛物线开口向上，时，时，
时，的解为或，
时即的解集为或．
的解集为或，故错，
综上本题答案为．
2.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是
A．或 B．或 C． D．
【答案】
【解析】解：如图所示：
，，
根据函数图象得：不等式的解集是或，
故选：．
3.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为
A． B． C． D．或
【答案】
【解析】解：，，
时，直线在抛物线上方，即时，，
不等式的解集为．
故选：． 二次函数的图象与性质
中考考点 考查频率 新课标要求
二次函数的相关概念 ★★ 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.
二次函数的图象与性质 ★★★ 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.
二次函数与各项系数的关系 ★★ 理解二次函数与各项系数的关系.
二次函数与方程、不等式 ★★ 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查.而对于二次函数图象和性质的考查，主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识.
一、二次函数的概念
一般地，如果y＝ax ＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．
注意：
（1）二次项系数a≠0；
（2）ax ＋bx＋c必须是整式；
（3）一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；
（4）自变量x的取值范围是全体实数．
二、二次函数y＝ax ＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的图象及性质
图象 （a＞0） （a＜0）
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标 （－，） （－，）
增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
三、二次函数的性质
（1）抛物线的顶点式，对称轴是平行于轴的直线．
（2）当时，抛物线在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；
当时，抛物线在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展．
（3）当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而减小；在对称轴（）的右侧，随着的增大而增大；当时，函数的值最小（是0）；
当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而增大；在对称轴（）的右侧，随着的增大而减小；当时，函数的值最大（是0）．
（4）二次函数与的图像形状相同，可以看作是抛物线整体沿轴平移了个单位（当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位）得到的．
二次函数的定义
下列函数中，二次函数是
A． B． C． D．
1.下列函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
2.下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
3.关于的函数是二次函数的条件是
A． B． C． D．
4.下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
二次函数的图象
（2024·广东省广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当 时，，均随着的增大而减小．
A. B. C. D.
1.二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
2.如图是四个二次函数的图象，则、、、的大小关系为
A． B． C． D．
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是
A． B． C． D．
4.如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B． C． D．
5.已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为
A． B． C． D．
二次函数的性质
（2024·四川省甘孜藏族自治州·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：；；当时，其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
1.对于抛物线，下列判断正确的是
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
2.对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是
A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是轴 D．顶点在轴上
3.已知二次函数，，是常数，的与的部分对应值如下表：
0 1 3
3
下列各选项中，错误的是
A．这个函数的图象开口向上
B．当时，
C．这个函数的最小值为
D．当时，的值随值的增大而减小
4.二次函数，，为常数）中，与的部分对应值如下表：
1 2 3 4
0 1 0
以下结论：①该二次函数图象开口向上；
②当时，该二次函数取最大值为1；
③当时，；
④若点，，在该二次函数图象上，则；
其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④
二次函数图象与系数的关系
（2024·四川省泸州·中考真题）已知二次函数是自变量的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
1.二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有
A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤
2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
3.如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.已知抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线．有下列结论：①；②关于的方程有两个不相等的实数根；③．其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二次函数图象上点的坐标特征
（2024·广州·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则( )
A. B. C. D.
1.已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
2.已知关于的二次函数的图象上有两点，，，，，且，则与的大小关系是
A． B． C． D．
3.已知，，，，是抛物线上的三个点，若，则
A． B． C． D．
4.如图，在平面直角坐标系中，点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是
A． B． C． D．
5.已知二次函数，，，为常数），若，记，则
A． B． C． D．
二次函数图象与几何变换
（2024·黑龙江省牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移个单位长度后，经过点，则 ______．
1.将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为
A． B． C． D．
2.将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为
A． B． C． D．
3.抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是
A． B． C． D．
4.已知抛物线经过平移后得到抛物线，若抛物线上任意一点坐标是，则其对应点坐标一定是
A． B． C． D．
二次函数的最值
（2024·黑龙江省哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是( )
A. B. C. D.
1.二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为4，最小值为，则的取值范围是
A． B． C． D．
2.抛物线的最大值为
A．4 B． C．5 D．
3.关于二次函数的最值，说法正确的是
A．最小值为 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3
4.已知二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为4，最小值为，则的取值范围是
A． B． C． D．
5.已知二次函数在时有最小值，则
A．或 B．4或 C．或 D．4或
待定系数法求二次函数解析式
（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
求二次函数的表达式；
若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的倍，求点的坐标．
1.已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是
A． B． C． D．
2.已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为
A． B． C． D．
3.已知一个抛物线经过点，和．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
4.已知二次函数的图象经过点和．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）当时，有最小值，求的值．
5.如图，抛物线经过点，点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
二次函数的三种形式
用配方法把二次函数写成的形式
1.将二次函数化成形式为 ．
2.将抛物线化成顶点式为
3.将二次函数的右边进行配方，正确的结果是
A． B． C． D．
4.把二次函数化为的形式，那么 ．
抛物线与x轴的交点
已知抛物线过点，且，则关于的一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
1.抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为
A．3 B．2 C．2或 D．2或3
2.二次函数的图象与轴的交点情况是
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
3.若抛物线与轴没有交点，则的值可以是
A． B．0 C．4 D．8
4.已知二次函数的部分与的值如表：
1 2 4
0
根据表格可知，一元二次方程的解是
A．， B．， C．， D．，
图象法求一元二次方程的近似根
（2024·山东省泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是则下列结论：；方程一定有一个根在和之间；方程一定有两个不相等的实数根；其中，正确结论的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
1.在探究关于的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值：
1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是____,十分位是____ ．
2.下表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
0.36 0.13
那么方程的一个近似根（精确到是
A．1.4 B．1.5 C．3.5 D．3.6
3.下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
4.小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到为
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
5.已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
0.56
那么方程的一个近似根是
A． B． C． D．
二次函数与不等式（组）
如图，二次函数的图象经过点，点，点，其中，下列结论：①，②，③方程有两个不相等的实数根，④不等式的解集为，其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
1.二次函数，，是常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
1
0 0
其中，，，以下结论中不正确的是
A．对称轴为直线
B．关于的方程 的两根为或
C．
D．关于的不等式的解集为
2.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是
A．或 B．或 C． D．
3.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为
A． B． C． D．或
