一次方程(组)及其应用
中考考点 考查频率 新课标要求
一元一次方程 ★ 能解一元一次方程
二元一次方程（组） ★★ 掌握消元法，能解二元一次方程组
一次方程（组） 的应用 ★★★ 利用一次方程求解实际问题
一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考对于方程的解法及其应用一直都有考查，需要夯实基础，灵活运用.
1.判断一个式子是否为方程
（1）只需看两点：一是等式；二是含有未知数，二者缺一不可．
（2）不看未知数的个数，也不看未知数的次数．
（3）未知数可以是x，也可以是其他字母，如：y，s，t，v等．
（4）若题中有“××是关于**的方程”的条件，则字母**就是未知数，其他字母要当做已知数对待，这种方程也称为含字母参数的方程．
2.方程的解与解方程
（1）使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，即方程的解可以有多个．
（2）方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，解方程是求解的过程，要区别开．解方程的目的就是求出方程的解．
3.一元一次方程
（1）其中“一元”指只含一个未知数，“一次”指的是未知数的次数都是1．
（2）ax+b=0（a≠0）通常叫做关于x的一元一次方程的标准形式，其中，只有一个未知项ax，一个常数项b，方程右边是0．
4.解一元一次方程
（1）一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）若方程中有的分母不是整数，可以先把分母化为整数，再根据等式的性质去分母；解一元一次方程的五个步骤不是一成不变的，要根据方程的特点和需要灵活选用；解完方程后，最好把求得的解分别代入原方程的左边和右边，看两边的值是否相等．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．
（4）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
5.一元一次方程中的参数问题
利用方程的解求方程中字母的值时，若两个方程中只有一个方程含有字母，则可以先求出不含字母的方程的解，再根据两个方程的解之间的关系求出另一个方程的解，进而求出字母的值；若两个方程都含有字母，则可以分别求出这两个方程的解（用字母参数表示），然后根据两个方程的解之间的关系列出新的方程，求解即可得到字母的值．
6.利用一元一次方程解决规律探究题
数字中的规律探究题一般是通过观察与猜想、类比与分析、探索与归纳题目所给的已知条件，发现题目中数字的规律．解决这类题的思路是找到相邻数字之间的关系，设数列中其中一个数为x，用x表示出相关各数，然后根据题中的相等关系列方程求解．有时设出的未知数不一定是数列中的数，也有可能是正整数n，要根据具体问题而定．
7.列一元一次方程解决实际应用问题
（1）配套问题
配套问题找准要配套物品之间的数量关系，根据它们的等量关系列出方程解答．
①配套问题常见的是“1：n”型，即1个甲种零件和n个乙种零件配成一个物件．但也有“n：m”型（n，m均不为1），后者在寻找相等关系、列方程时更容易出错．
②在解决配套问题时，为避免倍数乘错对象，可以先根据题目描述，将配套方式写成A：B=m：n的形式，然后利用外项之积=内项之积，化为An=Bm的形式．
（2）工程问题
工程问题的主要关系：工作总量=工作时间×工作效率．
①工程问题中的工作总量有两种情况：一种是具体的数量；另一种是看作总体“1”，此时工作效率=．
②几个人合作的工作效率等于各个人单独工作效率之和．
③工作总量=各部分工作量之和．
（3）销售问题
销售问题一般涉及打折、进价、原价、售价、利润、利润率等基本量及其关系．销售问题经常用到以下基本等量关系：
①利润=售价－进价．
②利润率=．
③售价=进价×（1＋利润率）．
（4）比赛积分问题
①有些比赛只有胜、负之分，如篮球比赛；有些比赛有胜、负、平之分，如足球比赛中的小组循环赛．
②涉及比赛的关键词：比赛场数、胜场数、平场数、负场数、胜场积分、平场积分、负场积分、总积分等．
③根据比赛积分规则，可得相等关系：某队的比赛总积分=该队的胜场积分（+该队的平场积分）+该队的负场积分．
④解决比赛积分问题时，首先要找出已知量和未知量以及题中涉及的等量关系，再根据等量关系列出方程．
⑤体育比赛中，每两个队之间进行一场比赛的赛制叫做单循环比赛．每两个队之间进行两场比赛的赛制叫做双循环比赛．
（5）行程问题
行程问题常用的相等关系：路程=速度×时间． 行程问题又分相遇问题、追及问题等．
①相遇问题
A．特点：相向而行
B．等量关系：双方所走路程之和=全部路程．
C．相遇问题中等量关系的寻找方法
▲从时间考虑：两人同时出发，相遇时两人所用时间相等．
▲从路程考虑：沿直线运动时，两人相向而行，相遇时两人所走路程之和等于全程；沿圆周运动时，两人由同一地点相背而行，第一次相遇时两人所走的路程之和为圆周长．
▲从速度考虑：两人相向而行，他们的相对速度等于他们的速度之和．
②追及问题中等量关系的寻找方法
▲从时间考虑：若同时出发，追及时两人所用的时间相等．
▲从路程考虑：沿直线运动时，两人所走路程之差等于需要赶上的距离；沿圆周运动时，两人所走路程之差等于一个圆周长（从同时、同向、同一地点出发）．
▲从速度考虑：两人的相对速度等于他们的速度之差．
8.二元一次方程组
（1）定义：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（2）二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
9.二元一次方程组的解法
（1）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；
②将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到含有一个未知数的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
（2）加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数；
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．
10.二元一次方程组的实际应用常见题型
（1）工作（或工程）问题：工作量=工作效率×工作时．
（2）利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息．
（3）行程问题：路程=速度×时间；其中，相遇问题：s甲+s乙=s总；．
（4）追及问题：（同地异时）前者走的路程=追者走的路程；（异地同时）前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程．
（5）利润问题：利润=卖价-进价；利润率=×100%．
方程的定义
下列各式中，不是方程的是
A． B． C． D．
1.下列所给条件，不能列出方程的是
A．某数比它的平方小6 B．某数加上3，再乘以2等于14
C．某数与它的的差 D．某数的3倍与7的和等于29
2.在①；②；③④中方程有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.在下列各式中：
①；②；③；
④；⑤；⑥；⑦．
其中是方程的有 个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4.下列各式中，属于方程的是
A． B． C． D．
5.下列各式中，不是方程的是
A． B． C． D．
方程的解
若方程的解为，则的值为
A．10 B． C． D．
1.若是方程的解，则的值是
A． B．4 C． D．8
2.已知是关于的方程的一个解，则的值是
A． B． C． D．
3.方程★，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知是方程的解，则的值是
A．2 B．3 C．7 D．8
等式的性质
（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡若设“”与“”的质量分别为、，则下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
1.已知，下列等式不一定成立的是
A． B． C． D．
2.若，，为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
3.设、、是实数，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4.下列等式变形中，不正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5.下列变形中，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
一元一次方程的定义
已知方程是关于的一元一次方程，则的值是_______．
1.若方程是关于的一元一次方程，则_______．
2.已知是关于的一元一次方程，则值为_______．
3.方程是关于的一元一次方程，那么的值是
A．0 B．7 C．8 D．10
一元一次方程的解
关于x的方程的解是3，则的值为_______．
1.若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则_______．
2.一元一次方程的解为，则_______．
3.若关于的方程的解为，则的值为_______．
4.若是方程的解，则_______．
解一元一次方程
（2024·海南·中考真题）若代数式的值为，则等于( )
A. B. C. D.
1.解方程的第一步应是
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并
2.若的值与互为相反数，则的值为
A．1 B． C．3 D．
3.下列解方程过程正确的是
A．系数化为1，得
B．解得
C．移项得
D．去括号得
4.代数式的值是5，请问是
A． B．6 C．4 D．5
5.关于的一元一次方程的解为_______．
由实际问题抽象出一元一次方程
（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
1.我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清，醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为
A． B．
C． D．
2.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程
A． B． C． D．
3.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有辆车，则
A． B． C． D．
4.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为
A． B． C． D．
5.把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺20本．设这个班有学生名，根据题意列方程正确的是
A． B． C． D．
一元一次方程的应用
（2024·山东烟台·中考真题）周髀算经是中国现存最早的数理天文著作书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
1.欧拉是18世纪瑞士著名的数学大师，在他所著的《代数学入门》一书中，有这样一个问题：父亲死后，四个儿子按下述方式分了他的财产：老大拿了财产的一半少3000英镑，老二拿了财产的少1000英镑；老三拿了恰好是财产的；老四拿了财产的加上600英镑．问整个财产有多少？每个儿子分了多少？根据题意下列叙述正确的是
A．老大分了1000英镑 B．老二分了2000英镑
C．老三分了3000英镑 D．老四分了4000英镑
2.相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他设宴请客，他看到几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人听了，心想难道我们是不该来的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分着急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩余客人的三分之一离开了，他着急地一拍大腿：“我说的不是他们．”于是剩下的6个人也走了，聪明的你知道最开始来了多少客人吗？
A．16 B．18 C．20 D．22
3.某商场按标价销售某品牌电器一件可获利1250元，利润率为．为了让利顾客，提高销量，今年“五一”期间，该商场按同一标价打九折销售该品牌电器．那么“五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为
A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元
4.某班级劳动时，将全班同学分成个小组，若每小组8人，则余下1人；若每小组9人，则有一组少5人．按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？
A．6组 B．7组 C．8组 D．9组
5.“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置，已知搬运工体重均为120斤，则每块条形石的重量是
A．120斤 B．240斤 C．100斤 D．160斤
二元一次方程的定义
如果是二元一次方程，那么，的值分别是
A．1，0 B．0，1 C．，2 D．2，
1.下列方程是二元一次方程的是
A． B． C． D．
2.已知是关于，的二元一次方程，则的值为
A． B． C．16 D．
3.下列各式中是二元一次方程的是
A． B． C． D．
4.下列方程是二元一次方程的是
A． B． C． D．
二元一次方程的解
已知是方程的解，则的值是
A． B．1 C． D．7
1.已知是二元一次方程的一个解，则的值为
A． B．1 C． D．2
2.下面4组数值中，哪组是二元一次方程的解
A． B． C． D．
3.已知二元一次方程，其中与互为相反数，则，的值为
A．， B．， C．， D．，
4.不是下列哪个方程的解
A． B． C． D．
二元一次方程组的定义
下列方程组为二元一次方程组的是
A． B． C． D．
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
2.下列方程组中是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
3.下列方程组中是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
4.下列方程组是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
二元一次方程组的解
（2023·江苏无锡·中考真题）下列组数中，不是二元一次方程的解的为( )
A. B. C. D.
1.已知方程组的解满足，则的值是
A． B． C． D．
2.若关于，的二元一次方程组的解为 则关于，的二元一次方程组
的解为
A． B． C． D．
3.已知有理数，满足方程组，则的值为
A． B．0 C．1 D．2
4.若关于，的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则的值为
A．2 B．1 C． D．0
5.已知方程组的解满足，则的值是
A． B．2 C． D．
解二元一次方程组
（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的方程组的解是 ．
1.方程组的解是
A． B． C． D．
2.已知，那么的值是
A．1 B． C．0 D．2
3.方程组的解是
A． B． C． D．
4.方程组的解是
A． B． C． D．
5.方程组的解是
A． B． C． D．
由实际问题抽象出二元一次方程组
（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的算法统宗记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”设绳长尺，竿长尺，根据题意得注：“托”和“尺”为古代的长度单位，托尺
A. B.
C. D.
1.现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是
A． B．
C． D．
2.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是
A． B．
C． D．
3.《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为
A． B．
C． D．
4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为
A． B．
C． D．
5.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为
A． B．
C． D．
二元一次方程组的应用
（2024·四川绵阳·中考真题）如图，每只蜻蜓有条腿，对翅膀，每只蝉有条腿，对翅膀现有若干蜻蜓和蝉，共有条腿，对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
1.《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，3大桶加3小桶共盛 斛米．（注斛是古代一种容量单位）
A． B． C． D．
2.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”在这个问题中，物价钱数为
A．49 B．53 C．56 D．59
3.开学前明明、亮亮和小伟去购买学习用品，明明用17元买了1支笔和4个本亮亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，则小伟的购买方案共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
4.小明同学剪纸片：把一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片：从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片：如此下去，若剪了10剪刀后，小明藏起所剪纸片中的一部分，剩下纸片中有4张三角形纸片，5张四边形纸片，1张五边形纸片，则关于小明藏起来的纸片的说法正确的是
A．1张三角形和1张四边形 B．1张四边形和1张五边形
C．1张七边形 D．1张九边形
5.《孙子算经》卷中著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”根据所学知识，计算出鸡兔的只数分别是
A．鸡23只，兔12只 B．鸡12只，兔23只
C．鸡20只，兔15只 D．鸡15只，兔20只一次方程(组)及其应用
中考考点 考查频率 新课标要求
一元一次方程 ★ 能解一元一次方程
二元一次方程（组） ★★ 掌握消元法，能解二元一次方程组
一次方程（组） 的应用 ★★★ 利用一次方程求解实际问题
一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考对于方程的解法及其应用一直都有考查，需要夯实基础，灵活运用.
1.判断一个式子是否为方程
（1）只需看两点：一是等式；二是含有未知数，二者缺一不可．
（2）不看未知数的个数，也不看未知数的次数．
（3）未知数可以是x，也可以是其他字母，如：y，s，t，v等．
（4）若题中有“××是关于**的方程”的条件，则字母**就是未知数，其他字母要当做已知数对待，这种方程也称为含字母参数的方程．
2.方程的解与解方程
（1）使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，即方程的解可以有多个．
（2）方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，解方程是求解的过程，要区别开．解方程的目的就是求出方程的解．
3.一元一次方程
（1）其中“一元”指只含一个未知数，“一次”指的是未知数的次数都是1．
（2）ax+b=0（a≠0）通常叫做关于x的一元一次方程的标准形式，其中，只有一个未知项ax，一个常数项b，方程右边是0．
4.解一元一次方程
（1）一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）若方程中有的分母不是整数，可以先把分母化为整数，再根据等式的性质去分母；解一元一次方程的五个步骤不是一成不变的，要根据方程的特点和需要灵活选用；解完方程后，最好把求得的解分别代入原方程的左边和右边，看两边的值是否相等．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．
（4）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
5.一元一次方程中的参数问题
利用方程的解求方程中字母的值时，若两个方程中只有一个方程含有字母，则可以先求出不含字母的方程的解，再根据两个方程的解之间的关系求出另一个方程的解，进而求出字母的值；若两个方程都含有字母，则可以分别求出这两个方程的解（用字母参数表示），然后根据两个方程的解之间的关系列出新的方程，求解即可得到字母的值．
6.利用一元一次方程解决规律探究题
数字中的规律探究题一般是通过观察与猜想、类比与分析、探索与归纳题目所给的已知条件，发现题目中数字的规律．解决这类题的思路是找到相邻数字之间的关系，设数列中其中一个数为x，用x表示出相关各数，然后根据题中的相等关系列方程求解．有时设出的未知数不一定是数列中的数，也有可能是正整数n，要根据具体问题而定．
7.列一元一次方程解决实际应用问题
（1）配套问题
配套问题找准要配套物品之间的数量关系，根据它们的等量关系列出方程解答．
①配套问题常见的是“1：n”型，即1个甲种零件和n个乙种零件配成一个物件．但也有“n：m”型（n，m均不为1），后者在寻找相等关系、列方程时更容易出错．
②在解决配套问题时，为避免倍数乘错对象，可以先根据题目描述，将配套方式写成A：B=m：n的形式，然后利用外项之积=内项之积，化为An=Bm的形式．
（2）工程问题
工程问题的主要关系：工作总量=工作时间×工作效率．
①工程问题中的工作总量有两种情况：一种是具体的数量；另一种是看作总体“1”，此时工作效率=．
②几个人合作的工作效率等于各个人单独工作效率之和．
③工作总量=各部分工作量之和．
（3）销售问题
销售问题一般涉及打折、进价、原价、售价、利润、利润率等基本量及其关系．销售问题经常用到以下基本等量关系：
①利润=售价－进价．
②利润率=．
③售价=进价×（1＋利润率）．
（4）比赛积分问题
①有些比赛只有胜、负之分，如篮球比赛；有些比赛有胜、负、平之分，如足球比赛中的小组循环赛．
②涉及比赛的关键词：比赛场数、胜场数、平场数、负场数、胜场积分、平场积分、负场积分、总积分等．
③根据比赛积分规则，可得相等关系：某队的比赛总积分=该队的胜场积分（+该队的平场积分）+该队的负场积分．
④解决比赛积分问题时，首先要找出已知量和未知量以及题中涉及的等量关系，再根据等量关系列出方程．
⑤体育比赛中，每两个队之间进行一场比赛的赛制叫做单循环比赛．每两个队之间进行两场比赛的赛制叫做双循环比赛．
（5）行程问题
行程问题常用的相等关系：路程=速度×时间． 行程问题又分相遇问题、追及问题等．
①相遇问题
A．特点：相向而行
B．等量关系：双方所走路程之和=全部路程．
C．相遇问题中等量关系的寻找方法
▲从时间考虑：两人同时出发，相遇时两人所用时间相等．
▲从路程考虑：沿直线运动时，两人相向而行，相遇时两人所走路程之和等于全程；沿圆周运动时，两人由同一地点相背而行，第一次相遇时两人所走的路程之和为圆周长．
▲从速度考虑：两人相向而行，他们的相对速度等于他们的速度之和．
②追及问题中等量关系的寻找方法
▲从时间考虑：若同时出发，追及时两人所用的时间相等．
▲从路程考虑：沿直线运动时，两人所走路程之差等于需要赶上的距离；沿圆周运动时，两人所走路程之差等于一个圆周长（从同时、同向、同一地点出发）．
▲从速度考虑：两人的相对速度等于他们的速度之差．
8.二元一次方程组
（1）定义：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（2）二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
9.二元一次方程组的解法
（1）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；
②将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到含有一个未知数的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
（2）加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数；
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．
10.二元一次方程组的实际应用常见题型
（1）工作（或工程）问题：工作量=工作效率×工作时．
（2）利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息．
（3）行程问题：路程=速度×时间；其中，相遇问题：s甲+s乙=s总；．
（4）追及问题：（同地异时）前者走的路程=追者走的路程；（异地同时）前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程．
（5）利润问题：利润=卖价-进价；利润率=×100%．
方程的定义
下列各式中，不是方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：根据方程的定义可知，、、都是方程，不是方程，
故选：．
1.下列所给条件，不能列出方程的是
A．某数比它的平方小6 B．某数加上3，再乘以2等于14
C．某数与它的的差 D．某数的3倍与7的和等于29
【答案】
【解析】解：设某数为，
、，是方程，故本选项错误；
、，是方程，故本选项错误；
、，不是方程，故本选项正确；
、，是方程，故本选项错误．
故选：．
2.在①；②；③④中方程有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】解：①，没有“”，不是方程；
②，没有未知数，不是方程；
③，是方程；
④，是方程．
故选：．
3.在下列各式中：
①；②；③；
④；⑤；⑥；⑦．
其中是方程的有 个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【解析】解：①，是方程；
②，是方程；
③，是代数式，不是方程；
④，是不等式，不是方程；
⑤，是不等式，不是方程；
⑥，是等式，不是方程；
⑦，是方程；
所以是方程的有①②⑦共3个．
故选：．
4.下列各式中，属于方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、不含未知数，不是方程，不符合题意；
、不是等式，故不是方程，不符合题意；
、不是等式，故不是方程，不符合题意；
、是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：．
方程的解
若方程的解为，则的值为
A．10 B． C． D．
【答案】
【解析】解：依题意，得
，即，
解得，．
故选：．
1.若是方程的解，则的值是
A． B．4 C． D．8
【解析】解：
把代入方程
可得：，
解得：，
故选：．
2.已知是关于的方程的一个解，则的值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：．
故选：．
3.方程★，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：将代入方程，得：★，
解得：★，
即★处的数字是1，
故选：．
4.已知是方程的解，则的值是
A．2 B．3 C．7 D．8
【答案】
【解析】解：把 代入方程，
得：，
解得：，
故选：．
等式的性质
（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡若设“”与“”的质量分别为、，则下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等式的性质，掌握等式的个基本性质是解题的关键．
设“”的质量为，根据甲、乙两个天平，分别列等式，再根据等式的基本性质将消去得到与的关系式即可．
【解答】
解：设“”的质量为．
根据甲天平，得；
根据乙天平，得．
根据等式的基本性质，将的两边同时减，得；
根据等式的基本性质，将的两边同时减，得；
根据等式的基本性质，将的两边同时乘以，得，
．
故选：．
1.已知，下列等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
故不符合题意，
，
，
故不符合题意；
，
，
故不符合题意；
，
当时不成立，故符合题意，
故选：．
2.若，，为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
3.设、、是实数，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【解析】解：．若，则，故该选项错误，不符合题意；
．若，则，故该选项正确，符合题意；
．若且，则，故该选项错误，不符合题意；
．若，则，故该选项错误，不符合题意；
故选：．
4.下列等式变形中，不正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【解析】解：．，，故本选项不符合题意；
．，，，故本选项符合题意；
．，，故本选项不符合题意；
．，，故本选项不符合题意；
故选：．
5.下列变形中，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【解析】解：．若，则，故错误，本选项不符合题意；
．若，则，故错误，本选项不符合题意；
．当时，若，则，故错误，本选项不符合题意；
．若，则，故正确，本选项符合题意．
故选：．
一元一次方程的定义
已知方程是关于的一元一次方程，则的值是_______．
【答案】．
【解析】解：由一元一次方程的特点得，
解得：．
故答案为：．
1.若方程是关于的一元一次方程，则_______． ．
【答案】2023．
【解析】解：方程是关于的一元一次方程，
，
解得：，
．
故答案为：2023．
2.已知是关于的一元一次方程，则值为_______．
【答案】．
【解析】解：根据一元一次方程的定义得到且，
由原方程，得解得，
，
，
解得．
故答案为：．
3.方程是关于的一元一次方程，那么的值是
A．0 B．7 C．8 D．10
【答案】
【解析】解：方程是关于的一元一次方程，
且，
解得：，
故选：．
一元一次方程的解
关于的方程的解是3，则的值为_______．
【解析】解：根据题意将代入得：，
解得：．
故填：4．
1.若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则 ．
【解析】解：方程，
移项合并得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故答案为：
2.一元一次方程的解为，则 ．
【答案】1．
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：1．
3.若关于的方程的解为，则的值为 ．
【解析】解：关于的方程的解为，
，
解得：．
故答案为：．
4.若是方程的解，则 ．
【解析】解：根据题意，得
，
解得，．
故答案为：．
解一元一次方程
（2024·海南·中考真题）若代数式的值为，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意得，，
解得，
故选：．
由题意列出方程，然后通过移项、合并同类项即可求解．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
1.解方程的第一步应是
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并
【解析】解：解方程的第一步应是去括号，
故选：．
2.若的值与互为相反数，则的值为
A．1 B． C．3 D．
【答案】
【解析】解：由题意，得，
解得；
故选：．
3.下列解方程过程正确的是
A．系数化为1，得
B．解得
C．移项得
D．去括号得
【答案】
【解析】解：、系数化为1，得，故本选项不合题意；
、解得，正确，故本选项符合题意；
、移项得，故本选项不合题意；
、去括号得，故本选项不合题意；
故选：．
4.代数式的值是5，请问是
A． B．6 C．4 D．5
【答案】
【解析】解：由题意得，．
．
故选：．
5.关于的一元一次方程的解为 ．
【答案】．
【解析】解：去分母得：，
移项得：．
故答案为：．
由实际问题抽象出一元一次方程
（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】略
1.我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清，醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：设清酒斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：．
2.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：设乙出发日，甲乙相逢，则甲出发日，故可列方程为：
．
故选：．
3.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有辆车，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
4.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：依题意，得：．
故选：．
5.如果是二元一次方程，那么，的值分别是
A．1，0 B．0，1 C．，2 D．2，
一元一次方程的应用
（2024·山东烟台·中考真题）周髀算经是中国现存最早的数理天文著作书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】C
【解析】解：设每天减少尺布，
第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，
，
解得：，
尺，
故选：．
设每天减少尺布，因为第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，可得，解得的值即得每天减少多少尺布，将天织的布相加可得天一共织了多少布．
本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意列方程求解．
1.欧拉是18世纪瑞士著名的数学大师，在他所著的《代数学入门》一书中，有这样一个问题：父亲死后，四个儿子按下述方式分了他的财产：老大拿了财产的一半少3000英镑，老二拿了财产的少1000英镑；老三拿了恰好是财产的；老四拿了财产的加上600英镑．问整个财产有多少？每个儿子分了多少？根据题意下列叙述正确的是
A．老大分了1000英镑 B．老二分了2000英镑
C．老三分了3000英镑 D．老四分了4000英镑
【答案】
【解析】解：设整个财产是英镑，则老大分了英镑，老二分了英镑，老三分了英镑，老四分了英镑，
根据题意得：，
解得：，
，，，，
老大、老二、老三、老四每人分了3000英镑．
故选：．
2.相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他设宴请客，他看到几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人听了，心想难道我们是不该来的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分着急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩余客人的三分之一离开了，他着急地一拍大腿：“我说的不是他们．”于是剩下的6个人也走了，聪明的你知道最开始来了多少客人吗？
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】
【解析】解：设开始来了位客人，根据题意得
解得：
答：开始来的客人一共是18位．
故选：．
3.某商场按标价销售某品牌电器一件可获利1250元，利润率为．为了让利顾客，提高销量，今年“五一”期间，该商场按同一标价打九折销售该品牌电器．那么“五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为
A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元
【答案】
【解析】解：设某品牌电器的进价为元，则标价为元，
根据题意得：，
解得：，
，
“五一”期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为875元．
故选：．
4.某班级劳动时，将全班同学分成个小组，若每小组8人，则余下1人；若每小组9人，则有一组少5人．按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？
A．6组 B．7组 C．8组 D．9组
【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
则全班人数为：（人，
要使每组人数相同，则每小组7人，即可分成（组．
故选：．
5.“曹冲称象”是流传很广的故事，如图，按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置，已知搬运工体重均为120斤，则每块条形石的重量是
A．120斤 B．240斤 C．100斤 D．160斤
【答案】
【解析】解：设每块条形石的重量是斤，
根据题意得：，
解得：，
每块条形石的重量是240斤．
故选：．
二元一次方程的定义
如果是二元一次方程，那么，的值分别是
A．1，0 B．0，1 C．，2 D．2，
【答案】
【解析】解：是二元一次方程，
，
解得，．
故选：．
1.下列方程是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
．是一元一次方程，故本选项不符合题意；
．是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：．
2.已知是关于，的二元一次方程，则的值为
A． B． C．16 D．
【答案】
【解析】解：方程是关于，的二元一次方程，
且，
解得：，，
，
故选：．
3.下列各式中是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．方程是二元一次方程，选项符合题意；
．方程是二元二次方程，选项不符合题意；
．多项式不是方程，选项不符合题意；
．方程是分式方程，选项不符合题意．
故选：．
4.下列方程是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：是一元一次方程，不符合题意．
含有两个未知数，且未知数的次数为1，是二元一次方程，符合题意．
不是整式方程，不符合题意．
是二元二次方程，不符合题意．
故选：．
二元一次方程的解
已知是方程的解，则的值是
A． B．1 C． D．7
【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
1.已知是二元一次方程的一个解，则的值为
A． B．1 C． D．2
【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
2.下面4组数值中，哪组是二元一次方程的解
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．把代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
．把代入方程，左边右边，所以是方程的解；
．把代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
．把代入方程，左边右边，所以不是方程的解．
故选：．
3.已知二元一次方程，其中与互为相反数，则，的值为
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】解：由题意得，即，
代入，得．
故选：．
4.不是下列哪个方程的解
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：经代入计算，可知能使方程、、成立，
不能使成立，
不是的解．
故选：．
二元一次方程组的定义
下列方程组为二元一次方程组的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，第2个方程中的次数是2，此选项不符合题意；
，此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
，此选项第2个方程不是整式方程，此选项不符合题意；
，此方程含有3个未知数，此选项不符合题意；
故选：．
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【解析】解：、第二个方程不是整式方程，不符合题意；
、整个方程组含有3个未知数，不符合题意；
、符合题意；
、最高次项的次数是2，不符合题意；
故选：．
2.下列方程组中是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：、第一个方程中的是二次的，故此选项错误；
、第二个方程有，不是整式方程，故此选项错误；
、含有3个未知数，故此选项错误；
、符合二元一次方程组定义，故此选项正确．
故选：．
3.下列方程组中是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【解析】解：、是分式方程，故该选项错误．
、符合二元一次方程组的定义；
、有三个未知数，是三元一次方程组，故该选项错误．
、第二个方程的二次的，故该选项错误．
故选：．
4.下列方程组是二元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：、有3个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
、有2个未知数，但是最高次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意；
、有两个未知数，方程的次数是1次，所以是二元一次方程组，故符合题意；
、有两个未知数，第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故不符合题意．
故选：．
二元一次方程组的解
（2023·江苏无锡·中考真题）下列组数中，不是二元一次方程的解的为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】略
1.已知方程组的解满足，则的值是
A． B． C． D．
【解析】解：，
①②得，
，
，
．
故选：．
2.若关于，的二元一次方程组的解为 则关于，的二元一次方程组
的解为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：关于，的二元一次方程组的解为，
关于，的二元一次方程组中，，，
解得：，，
则该方程组的解为：，
故选：．
3.已知有理数，满足方程组，则的值为
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【解析】解：，
由①②得：，
化简得：，
故选：．
4.若关于，的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则的值为
A．2 B．1 C． D．0
【答案】
【解析】解：解原方程组得，
，
将其代入方程得，
，
解得，
故选：．
5.已知方程组的解满足，则的值是
A． B．2 C． D．
【答案】
【解析】解：，
②①得，
，
，
解得．
故选：．
解二元一次方程组
（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的方程组的解是 ．
【答案】
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可．
【详解】解：把代入，得：
，即：
，得：，
方程组有解，
，
，
把代入，得：，解得：；
方程组的解集为：；
故答案为：．
1.方程组的解是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
原方程组的解为，故正确．
故选：．
2.已知，那么的值是
A．1 B． C．0 D．2
【答案】
【解析】解：方程组
（1）（2）得：．
故选：．
3.方程组的解是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程组的解是．
故选：．
4.方程组的解是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
①②得，
，
将代入②得，
，
方程组的解为，
故选：．
5.方程组的解是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为．
故选：．
由实际问题抽象出二元一次方程组
（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的算法统宗记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”设绳长尺，竿长尺，根据题意得注：“托”和“尺”为古代的长度单位，托尺
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：若用绳去量竿，则绳比竿长尺，
；
若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，
．
根据题意得可列出方程组．
故选：．
根据“若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
1.现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：设张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，由题意得
．
故选：．
2.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：每人出八钱，会多三钱，
；
每人出七钱，又差四钱，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
3.《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，
根据题意可列方程组为：．
故选：．
4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：设有人，辆车，根据题意可得：
，
故选：．
5.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：马六匹、牛五头，共价四十四两，
；
马二匹、牛三头，共价二十四两，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
二元一次方程组的应用
（2024·四川绵阳·中考真题）如图，每只蜻蜓有条腿，对翅膀，每只蝉有条腿，对翅膀现有若干蜻蜓和蝉，共有条腿，对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】解：设蜻蜓是只，蝉是只，
由题意得：，
解得：，
故选：．
设蜻蜓是只，蝉是只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有条腿，对翅膀，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
1.《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，3大桶加3小桶共盛 斛米．（注斛是古代一种容量单位）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：设一个大桶盛酒斛，一个小桶盛酒斛，
根据题意得：，即．
，即．
故答案为：．
2.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”在这个问题中，物价钱数为
A．49 B．53 C．56 D．59
【答案】
【解析】解：设合伙购物的人有人，物价为钱，
根据题意得：，
解得：，
物价为53钱．
故选：．
3.开学前明明、亮亮和小伟去购买学习用品，明明用17元买了1支笔和4个本亮亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，则小伟的购买方案共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】C
【解析】解：设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元．
根据题意得：．
解得：．
设小伟购买了a支笔，b个本．
根据题意得：5a+3b＝4．
当a＝3时，b＝11．
当a＝6时，b＝6．
当a＝9时，b＝1
故选：C．
4.小明同学剪纸片：把一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片：从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片：如此下去，若剪了10剪刀后，小明藏起所剪纸片中的一部分，剩下纸片中有4张三角形纸片，5张四边形纸片，1张五边形纸片，则关于小明藏起来的纸片的说法正确的是
A．1张三角形和1张四边形 B．1张四边形和1张五边形
C．1张七边形 D．1张九边形
【答案】
【解析】解：设小明藏起来的纸片是边形．
，
解得，
答：小明藏起来的纸片是七边形．
故选：．
5.《孙子算经》卷中著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”根据所学知识，计算出鸡兔的只数分别是
A．鸡23只，兔12只 B．鸡12只，兔23只
C．鸡20只，兔15只 D．鸡15只，兔20只
【答案】
【解析】解：设鸡、免各有，只，则
，解得．
故选：．
