一元二次方程及其应用
中考考点 考查频率 新课标要求
一元二次方程的相关概念 ★ 理解一元二次方程的相关概念.
一元二次方程的解法 ★★ 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；
一元二次方程的根与系数的关系 ★★ 了解一元二次方程的根与系数的关系.
一元二次方程的应用 ★★★ 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考查最值问题，年年考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式等．
一元二次方程运算 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合三个标准： （1）一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． （2）一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． （3）一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
用配方法解一元二次方程的一般步骤 （1）一化 化二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；． （2）二移 移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；． （3）三配 ①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式； ②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数； （4）四解： ①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数． ②分别解这两个一元二次方程，求出两根．
一元二次方程的常用解法 （1）直接开平方法：对于形如（）或（）的方程，直接开平方． （2）配方法：将一元二次方程配方为的形式，再用直接开平方法求解． （3）公式法：一元二次方程的求根公式为（）． （4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为的形式，进而得到或来求解．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 （1）当b=0时，首选直接开平法． （2）当c=0时，首选因式分解法或配方法． （3）当a=1，b≠0，c≠0时，首选配方法或因式分解法． （4）当a≠1，b≠0，c≠0时，首选公式法或因式分解法．
一元二次方程根与系数关系的两类应用 （1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果． （2）构造以两数为根的一元二次方程：由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程．
常见的一元二次方程的应用问题 增长率（降低率）问题：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a（1+x），第三年的产值为 a（1+x）2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为 a（1–x），第三年的产值为a（1–x）2． （2）利润问题：利润=售价–成本，总利润=单件的利润×数量．
【注意】一元二次方程的解法（易错点）：
（1）当时，利用直接降次法解形如的一元二次方程，开方后不要丢掉负根．
（2）配方时，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，这种做法的前提是二次项系数必须是，这是最容易忘记的．
（3）公式法解一元二次方程的步骤：
①把方程化为一般形式；
②确定、、的值；
③计算的值；
④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式．
一元二次方程的定义
下列方程中，一元二次方程是
A． B． C． D．
1.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是
A． B． C． D．为实数
2.关于的方程是一元二次方程，则的值是
A． B．3 C．1 D．1或
3.在下列方程中，属于一元二次方程的是
A． B． C． D．
4.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是
A． B． C． D．
一元二次方程的一般形式
将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为
A．2，9 B．2，7 C．2， D．，
1.关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是
A．1 B．1或2 C．2 D．
2.将方程化成的形式，则，，的值分别为
3.将方程化为一元二次方程一般式后得
4.一元二次方程的一般形式是 ．
5.将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为
A．2，9 B．2，7 C．2， D．，
一元二次方程的解
（2024四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
1.已知方程的一个根是1，则的值为
A．4 B． C．3 D．
2. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为
A．0 B． C．1 D．2
3.已知是方程的一个根，则代数式的值应
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4.若一元二次方程的一根为，则的值为
A． B．0 C．1或 D．2或0
5.如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为
A． B．2022 C．2023 D．2024
估算一元二次方程的近似解
小亮根据的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入求值，估算一元二次方程的近似解
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0.84 2.29 3.76 5.25
由此可确定一元二次方程的近似解的范围正确的是
A． B． C． D．
1.根据表格中的信息，估计一元二次方程、、为常数，的一个解的范围为
0 1 2 3 4
0.5 9.5
A． B． C． D．
2.根据如表的对应值，可判断关于的一元二次方程必有一个根满足
0 0.5 1
1 2.5 3 2.5 1
A． B． C． D．
3.观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在
0 1 2 3 4
5 13 23
A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
解一元二次方程-直接开平方法
一元二次方程的解为 ．
1.方程的两个根是
A．， B．， C．， D．，
2.方程的根是 ．
3.一元二次方程的解为 ．
4.一元二次方程的根是 ．
解一元二次方程-配方法
（2024内蒙古赤峰·中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是( )
A. B.
C. D.
1.将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是
A． B． C． D．
2.一元二次方程配方后是
A． B． C． D．
3.方程经过配方后，其结果正确的是
A． B． C． D．
4.用配方法解方程时，配方后得到方程是
A． B． C． D．
5.用配方法解方程，下列配方结果正确的是
A． B． C． D．
解一元二次方程-公式法
方程的解为 ．
1.方程的根是
A．5 B．0 C．0， D．0，5
2.方程的两根为
A．， B．， C．， D．，
3.一元二次方程的解为 ．
4.代数式与的值相等，则的值为 ．
解一元二次方程-因式分解法
（2024安徽·中考真题）一元二次方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
1.一元二次方程的解是
A．， B．， C．， D．，
2.解一元二次方程，结果正确的是
A．， B．， C．， D．，
3.一元二次方程的解为
A． B． C．， D．，
4.方程的两个根为
A．， B．， C．， D．，
5.方程的两个根是
A．， B．， C．， D．，
换元法解一元二次方程
已知、实数且满足，则的值为
A．3 B． C．3或 D．或2
1.若实数，满足，则的值为
A． B．2 C．或2 D．或1
2.已知实数满足，则代数式的值是
A．7 B． C．7或 D．或3
3.已知，则的值为 ．
4.，则
A．4 B．2 C．4或 D．4或2
根的判别式
（2024湖南· 中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______．
1.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为
A． B． C． D．
2.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
3.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是
A．8 B．9 C．10 D．11
4.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B．且 C． D．且
5.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B．且 C． D．且
根与系数的关系
（2024四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
1.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于
A．7 B．8 C．9 D．10
2.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于
A．4 B．5 C．6 D．7
3.若，是一元二次方程的两个根，则的值是
A．4 B．5 C．6 D．12
4.已知，是方程的两个实数根，则的值为
A． B． C． D．3
5.设，是关于的方程的两个实数根，则
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
由实际问题抽象出一元二次方程
（2024云南·中考真题）两年前生产千克甲种药品的成本为元，随着生产技术的进步，现在生产千克甲种药品的成本为元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
1.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出个支干，则可列方程
A． B． C． D．
2.在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021年上学期每天作业平均时长为，经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后，2022年下学期平均每天作业时长为．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为，则可列方程为
A． B． C． D．
3.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是
A． B．
C． D．
4.2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为
A． B．
C． D．
5.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是
A． B． C． D．
一元二次方程的应用
（2024山东烟台·中考真题）每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆单价每降低元，每天可多售出辆公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元．
求与的函数关系式每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大最大利润为多少元
全国助残日当天，公司共获得销售利润元，请问这天售出了多少辆轮椅
1.某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为60元，若以每瓶100元的价格出售，每天可售出40瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价1元时，每天可多售出2瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到1600元，则这种白酒的销售单价为
A．100元 B．80元 C．80元或100元 D．无法确定
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
3.某市为了更好的吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，绿地面积增加，则这两年平均每年绿地面积的增长率为
A． B． C． D．
4.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
5.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则等于
A．4 B．5 C．6 D．7一元二次方程及其应用
中考考点 考查频率 新课标要求
一元二次方程的相关概念 ★ 理解一元二次方程的相关概念.
一元二次方程的解法 ★★ 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；
一元二次方程的根与系数的关系 ★★ 了解一元二次方程的根与系数的关系.
一元二次方程的应用 ★★★ 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考查最值问题，年年考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式等．
一元二次方程运算 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合三个标准： （1）一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． （2）一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． （3）一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
用配方法解一元二次方程的一般步骤 （1）一化 化二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；． （2）二移 移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；． （3）三配 ①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式； ②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数； （4）四解： ①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数． ②分别解这两个一元二次方程，求出两根．
一元二次方程的常用解法 （1）直接开平方法：对于形如（）或（）的方程，直接开平方． （2）配方法：将一元二次方程配方为的形式，再用直接开平方法求解． （3）公式法：一元二次方程的求根公式为（）． （4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为的形式，进而得到或来求解．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 （1）当b=0时，首选直接开平法． （2）当c=0时，首选因式分解法或配方法． （3）当a=1，b≠0，c≠0时，首选配方法或因式分解法． （4）当a≠1，b≠0，c≠0时，首选公式法或因式分解法．
一元二次方程根与系数关系的两类应用 （1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果． （2）构造以两数为根的一元二次方程：由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程．
常见的一元二次方程的应用问题 增长率（降低率）问题：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a（1+x），第三年的产值为 a（1+x）2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为 a（1–x），第三年的产值为a（1–x）2． （2）利润问题：利润=售价–成本，总利润=单件的利润×数量．
【注意】一元二次方程的解法（易错点）：
（1）当时，利用直接降次法解形如的一元二次方程，开方后不要丢掉负根．
（2）配方时，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，这种做法的前提是二次项系数必须是，这是最容易忘记的．
（3）公式法解一元二次方程的步骤：
①把方程化为一般形式；
②确定、、的值；
③计算的值；
④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式．
一元二次方程的定义
下列方程中，一元二次方程是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：．是分式方程，故此选项不符合题意．
．是一元二次方程，故此选项符合题意；
．当时，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
．是二元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
1.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是
A． B． C． D．为实数
【答案】B
【解析】根据是一元二次方程的条件：二次项系数不为0，即可确定的取值范围．
解：根据题意得：．
故选：．
2.关于的方程是一元二次方程，则的值是
A． B．3 C．1 D．1或
【答案】C
【解析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得．
故选：．
3.在下列方程中，属于一元二次方程的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得．
解：、是一元二次方程，则此项符合题意；
、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符题意；
、不是整式，不是一元二次方程，则此项不符题意；
、方程整理为，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，则此项不符题意；
故选：．
4.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义即可求解．
解：由题意，得，
解得．
故选：．
一元二次方程的一般形式
将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为
A．2，9 B．2，7 C．2， D．，
【答案】
【解析】解：化成一元二次方程一般形式是，则它的二次项系数是2，一次项系数是．
故选：．
1.关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是
A．1 B．1或2 C．2 D．
【答案】C
【解析】一元二次方程，，是常数且中、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
解：由题意，得
且，
解得，
故选：．
2.将方程化成的形式，则，，的值分别为
A．4，8，25 B．4，2， C．4，8， D．1，2，25
【答案】C
【解析】将原方程化为一般形式，进而可得出，，的值．
解：将原方程化为一般形式得：，
，，．
故选：．
3.将方程化为一元二次方程一般式后得
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方程移项把右边化为0，左边按照的降幂排列即可．
解：将方程化成一元二次方程的一般形式得．
故选：．
4.一元二次方程的一般形式是 ．
【答案】．
【解析】先去掉括号，再移项、合并同类项，即可得出答案．
解：，
，
，
故答案为：．
一元二次方程的解
（2024四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
且，
解得：，
故选：．
1.已知方程的一个根是1，则的值为
A．4 B． C．3 D．
【答案】根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到还有的一次方程，然后解一次方程即可．
【解析】解：把代入得，
解得．
故选：．
2. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为
A．0 B． C．1 D．2
【答案】
【解析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数的值．
解：是方程的解，
，
．
故选：．
3.已知是方程的一个根，则代数式的值应
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【解析】根据一元二次方程解的意义可得，从而可得，然后把代入式子中进行计算，即可解答．
解：由题意得：，
，
，
，
，
，
代数式的值应在3和4之间，
故选：．
4.若一元二次方程的一根为，则的值为
A． B．0 C．1或 D．2或0
【答案】把代入方程计算即可求出的值．
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
5.如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为
A． B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【解析】由题意知，，则，根据，计算求解即可．
解：由题意知，，
，
．
故选：．
估算一元二次方程的近似解
小亮根据的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入求值，估算一元二次方程的近似解
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0.84 2.29 3.76 5.25
由此可确定一元二次方程的近似解的范围正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由表格可发现的值和0.84最接近0，再看对应的的值即可得．
解：由表可以看出，当取1.1与1.2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解的取值范围为．
故选：．
1.根据表格中的信息，估计一元二次方程、、为常数，的一个解的范围为
0 1 2 3 4
0.5 9.5
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据值即可估算的解．
解：由表格可知：当时，，则，
当时，，则，
关于的一元二次方程的一个解的范围是，
故选：．
2.根据如表的对应值，可判断关于的一元二次方程必有一个根满足
0 0.5 1
1 2.5 3 2.5 1
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值先增大、后减小，当和时，方程的值相同，在之间由负到正，故在之间由正到负，即可判断时，对应的的值在或之间．
解：根据表格可知，时，对应的的值在或之间．
故选：．
3.观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在
0 1 2 3 4
5 13 23
A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】C
【解析】由表格可发现的值和5最接近0，再看对应的的值即可得到答案．
解：由表可以看出，当取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解的取值范围为1和2之间．
故选：．
解一元二次方程-直接开平方法
一元二次方程的解为 ．
【答案】利用直接开平方法解出方程．
【解析】解：
，，
故答案为：，．
1.方程的两个根是
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】直接开平方法求解即可．
解：，
，
则，
，，
故选：．
2.方程的根是 ．
【答案】，．
【解析】直接开平方即可得出答案．
解：，
或，
解得，，
故答案为：，．
3.一元二次方程的解为 ．
【答案】，
【解析】根据直接开方法求一元二次方程的步骤先进行开方，得到两个一元一次方程，再分别求解即可．
解：，
，
，．
故答案为：，．
4.一元二次方程的根是 ．
【答案】先变形为，再两边开方得到，然后解两个一次方程即可．
【解析】解：，
，
所以，．
故答案为，．
解一元二次方程-配方法
（2024内蒙古赤峰·中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】略
1.将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：，
，
，
．
故选：．
2.一元二次方程配方后是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：，
，
．
故选：．
3.方程经过配方后，其结果正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用完全平方公式进行配方即可得．
解：，
，
，
故选：．
4.用配方法解方程时，配方后得到方程是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
解：用配方法解方程时，
配方结果为．
故选：．
5.用配方法解方程，下列配方结果正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
解：把方程的常数项移到等号的右边，得到
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到
配方得．
故选：．
解一元二次方程-公式法
方程的解为 ．
【答案】 ，．
【解析】先化成一元二次方程的一般形式，再利用解一元二次方程公式法进行计算即可解答．
解：，
，
，
，
，
，．
1.方程的根是
A．5 B．0 C．0， D．0，5
【答案】D
【解析】利用因式分解法求解即可．
解：方程整理得，
，
或，
故选：．
2.方程的两根为
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．
解：方程移项并化简得，
，，
△
解得，．故选：．
3.一元二次方程的解为 ．
【答案】 ，．
【解析】先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．
解：，
化为一般形式得：，
△，
，
，，
故答案为：，．
4.代数式与的值相等，则的值为 ．
【答案】 ，．
【解析】根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，经检验即可得到的值．
解：根据题意得：，
整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
故答案为：，．
解一元二次方程-因式分解法
（2024安徽·中考真题）一元二次方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】略
1.一元二次方程的解是
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】利用因式分解法解答，即可求解．
解：，
，
或，
，．
故选：．
2.解一元二次方程，结果正确的是
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】分解因式得出，推出方程，，求出方程的解即可．
解：，
分解因式得：
，，
解得：，，
故选：．
3.一元二次方程的解为
A． B． C．， D．，
【答案】C
【解析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
解：，
，
，
或，
所以，．
故选：．
4.方程的两个根为
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
解：，
，
或，
所以，．
故选：．
5.方程的两个根是
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】根据已知方程得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：
，
或，
解得，，
故选：．
换元法解一元二次方程
已知、实数且满足，则的值为
A．3 B． C．3或 D．或2
【答案】A
【解析】设，则原方程化为，利用因式分解法解关于的方程得，，所以或，然后利用确定的值．
解：设，
原方程化为，解得，，
即或，
而，
所以的值为3．
故选：．
1.若实数，满足，则的值为
A． B．2 C．或2 D．或1
【答案】C
【解析】设，方程变形后，计算求出解即可．
解：设，
方程整理得：，
整理得：，即，
解得：或，
则或．
故选：．
2.已知实数满足，则代数式的值是
A．7 B． C．7或 D．或3
【答案】A
【解析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出的值就可以求出结论．
解：，
，
或，
或．
当时，，
，
此方程无实数解．
当时，
故选：．
3.已知，则的值为 ．
【答案】1
【解析】令，将原方程化为，解出，再求得即可．
解：令，将原方程化为，
即，
解得，，
，，
，
故答案为1．
4.，则
A．4 B．2 C．4或 D．4或2
【答案】A
【解析】设，原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值，即的值即可．
解：设，由原方程，得，
整理，得，
解得或（舍去），
所以．
故选：．
根的判别式
（2024湖南· 中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：
故答案为：
1.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
解：原方程整理得：，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
即，
解得：，
故选：．
2.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可．
解：关于的一元二次方程即有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故选：．
3.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△，解出的取值范围即可进行判断．
解：方程有两个不相等的实数根，
△，
解得，
个选择中只有符合．
故选：．
4.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【解析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，知△且，解之可得答案．
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△且，
解得且，
故选：．
5.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B．且 C． D．且
【答案】A
【解析】根据判别式的意义得出△，然后解不等式即可得出答案．
解：根据题意得△，
解得．
故选：．
根与系数的关系
（2024四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【解析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可．
【详解】解：方程的两根分别为，，
，，
．
故答案为：．
1.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】根据根与系数的关系可得，，将变形为，再前面括号中的用替换得，最后将，的值代入计算即可求解．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
．
故选：．
2.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据一元二次方程根的定义得，由，整体代入求解即可．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
3.若，是一元二次方程的两个根，则的值是
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】B
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，可得，，再代入，即可求解．
解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
．
故选：．
4.已知，是方程的两个实数根，则的值为
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】根据根与系数的关系可得出，，和方程根的意义得，即可得出结论．
解：，是方程的两个实数根，
，，，
，
．
故选：．
5.设，是关于的方程的两个实数根，则
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】把所求代数式化成，再利用方程根的定义及根与系数的关系可求得答案．
解：，是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，故选：．
由实际问题抽象出一元二次方程
（2024云南·中考真题）两年前生产千克甲种药品的成本为元，随着生产技术的进步，现在生产千克甲种药品的成本为元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：甲种药品成本的年平均下降率为，
根据题意可得，
故选：．
1.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出个支干，则可列方程
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设主干长出个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43，即可列出关于的一元二次方程．
解：设主干长出个支干，则长出个小分支，
根据题意得：．
故选：．
2.在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021年上学期每天作业平均时长为，经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后，2022年下学期平均每天作业时长为．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为，则可列方程为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用2022年下学期平均每天作业时长年上学期每天作业平均时长该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意得．
故选：．
3.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
解：长与宽和为60步，长比宽多步，
长为步，宽为步．
依题意得：．
故选：．
4.2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
．
故选：．
5.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：，
故选：．
一元二次方程的应用
（2024山东烟台·中考真题）每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆单价每降低元，每天可多售出辆公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元．
求与的函数关系式每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大最大利润为多少元
全国助残日当天，公司共获得销售利润元，请问这天售出了多少辆轮椅
【答案】
．
．
，
．
当时，利润最大，最大利润为：元．
与的函数关系式为：；每辆轮椅降价元时，每天的销售利润最大，最大利润为元；
．
解得：不合题意，舍去，．
售出轮椅的辆数为：辆．
即这天售出了辆轮椅．
【解析】本题主要考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用．
根据单价每降低元，每天可多售出辆．可得单价每降低元，每天可多售出辆，那么单价每降低元，每天可多售出辆．销售利润每辆轮椅的销售利润原销售量增加的销售量，把得到的函数关系式整理为顶点式，进而根据每辆轮椅的利润不低于元得到自变量的取值范围，代入到函数关系式可得最大利润；
取，代入中得到的函数关系式，求得合适的的解即可．
1.某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为60元，若以每瓶100元的价格出售，每天可售出40瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价1元时，每天可多售出2瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到1600元，则这种白酒的销售单价为
A．100元 B．80元 C．80元或100元 D．无法确定
【答案】B
【解析】设这种白酒的销售单价为元，则每瓶白酒的销售利润为元，根据日销售利润要达到1600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
解：设这种白酒的销售单价为元，则每瓶白酒的销售利润为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
即这种白酒的销售单价为80元，
故选：．
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】B
【解析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是个，则主干长出支干的数目为个，小分支的总数量为个，根据主干、支干和小分支的总数是57个，列出方程，求得的值即可．
解：设每个支干长出的小分支的数目是个，
根据题意列方程得：，
即，
解得：或（不合题意，舍去）；
，
即这种植物每个支干长出的小分支的个数是7个，故正确．
故选：．
3.某市为了更好的吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，绿地面积增加，则这两年平均每年绿地面积的增长率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题可设这两年平均每年的增长率为，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加，则有，解这个方程即可求出答案．
解：设这两年平均每年的绿地增长率为，
根据题意得，
解得（舍去），．即这两年平均每年绿地面积的增长率为．
故选：．
4.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出一元二次方程，解方程即可．
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
即这批椽的数量为46株．
故选：．
5.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则等于
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
