2025年九年级中考数学三轮冲刺训练四边形压轴题训练（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练四边形压轴题训练
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为y cm2，点E的运动时间为x秒．
（1）求证：BE＝EF；
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10cm，BD＝4cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E．设运动时间为t（s）（0＜t≤5），解答下列问题：
（1）当点M在BD上时，求t的值；
（2）连接BE．设△PEB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式和S的最大值；
（3）是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．
（1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，
①求证：AE＝2EP；
②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
4．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
（1）操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 　 　．
（2）深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．
5．如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α，点F在直线DE上，且AD＝AF，连接BF．
（1）如图1，当0°＜α＜90°时，
①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．
②求证：EFBF．
（2）如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB＝2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°＜α＜360°）△ADG面积的最大值．
6．（1）如图1，AC为四边形ABCD的对角线，∠BAC＝120°，∠ACD＝30°，E，F，G分别为AD，BC，AC的中点，连接EF，FG，EG．判断△EFG的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝3，点E，F分别在AD，BC上，且AEBC．求EF的取值范围；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝4，CD＝4，∠A+∠D＝225°，点E，F分别在AD，BC上，且AEAD，BFBC，求EF的值．
7．如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G．
（1）求证：GE＝GF．
（2）当AE＝2DG时，求AE的长．
（3）令AE＝a，DG＝b．
①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4．
②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K．记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a＝1时，求的值．
8．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC．
【问题引入】
（1）请你在图1或图2中证明EF＝EC（选择一种情况即可）；
【探索发现】
（2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你直接写出线段DE的长．
．
9．如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在边BC上，且BE＝2，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（t＞0）
（1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为 　 　；
（2）当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；
（3）当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；
（4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
10．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠ABC＝60°，点P为线段BO上的动点（不与点B，O重合），连接CP并延长交边AB于点G，交DA的延长线于点H．
（1）当点G恰好为AB的中点时，求证：△AGH≌△BGC；
（2）求线段BD的长；
（3）当△APH为直角三角形时，求的值；
（4）如图2，作线段CG的垂直平分线，交BD于点N，交CG于点M，连接NG，在点P的运动过程中，∠CGN的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
11．已知：四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）．连接AF交CD于点G．
（1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG≌△FCG；
（2）如图二，过点C作CE⊥AF，垂足为E．连接BE，设BF＝x，CE＝y．求y关于x的函数关系式；
（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作BM⊥BE，交FA的延长线于点M．当CF＝1时，求线段BM的长．
12．已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．求证：GE＝（1）DE．
13．如图1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
（1）求线段AE的长；
（2）求证四边形DGFC为菱形；
（3）如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DCM，设DN＝x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
14．已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线．点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证：∠DBG＝90°．
（2）若BD＝6，DG＝2GE．
①求菱形ABCD的面积．
②求tan∠BDE的值．
（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
17．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
参考答案
1．【解答】（1）证明：设CD与EF相交于点M，
∵四边形ABCD为菱形，∴BC﹣＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCF＝60°，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，
∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，
又∵∠DEF＝∠DCF＝60°，
∴∠CDE＝∠CFE，
∴∠CBE＝∠CFE，
∴BE＝EF；
（2）解：过点E作EN⊥BC于N，
则∠ENC＝90°，
∵BE＝EF，
∴BF＝2BN，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴BC＝AB＝10cm，∠ACB＝∠BCD＝60°，即∠ECN＝60°，
∵CE＝2x cm，
∴EN＝CE sin60°＝2x x（cm），CN＝CE cos60°＝2x x（cm），
∴BN＝BC﹣CN＝10﹣x（cm），
∴BF＝2（10﹣x）cm，
∴yBF EN2（10﹣x）xx2+10x，
∵0＜2x≤10，
∴0＜x≤5，
∴yx2+10x（0＜x≤5）；
（3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，
∴DE＝EF，
∵∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF﹣EF，
∴BE＝DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AE＝AB＝AC＝10cm，
∵BE⊥AC，
∴CEAC＝5cm，
∴x，
∴当x时，线段DF的长度最短．
2．【解答】解：（1）由题意得：DQ＝10﹣2t，PM＝2t，PB＝10﹣t，QM＝AP＝t，
如图，点M在BD上时，
∵QM∥PB，PM∥QD，
∴∠DQM＝∠DAB＝∠MPQ，∠DMQ＝∠MBP，
∴△DQM∽△MPB，则，
即，
解得：t；
（2）如图，
∵AD∥PM，
∴∠AEP＝∠EAQ，
∵四边形ABCD是菱形，
则∠QAE＝∠EAP，
∴∠AEP＝∠EAP，
∴△APE为等腰三角形，则PE＝AP＝t，
过点D作DH⊥AB于点H，
则S△ABDAB DHAO DB，
即10 DH4，
解得：DH＝8，
则sin∠DAH，
设△PEB中PB边上的高为h，
则SPB h（10﹣t）×sin∠DAH×PE（10﹣t）t2+4t（0＜t≤5），
∵0，故S有最大值，
当t＝5时，S的最大值为10；
（3）存在，理由：
如图，过点B作BR⊥PE于点R，
当点B在∠PEC的平分线上时，则BR＝OB＝2，
在Rt△PBR中，sin∠EPB＝sin∠DAB，
解得：t．
3．【解答】（1）解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上．
理由：连接QC．∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BD⊥AC，OA＝OC，
∴QA＝QC，
∵QA＝QP，
∴QC＝QP，
∴点Q在线段PC的垂直平分线上；
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AC，∴∠ADO＝∠CDO，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO．
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD．
∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP+∠ABP＝90°，∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°
在 Rt△BPE 中，∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，
∴EPBE，
∵AE＝BE，
∴，
∴AE＝2EP；
②如图，连接QC．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形．∠APB＝90°，
∴BP＝CP，EP＝a，
∴AE＝2a，AP＝3a，
在Rt△APB中，∠APB＝90°，
∵，
∴，
∴，
∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，
△AOE≌△COQ（SAS），
∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO，
∴AE∥CQ，
∵∠APB＝90°，
∴∠QCP＝90°，
在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°，
由勾股定理得 PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQa．
4．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC，
在Rt△CFG中，CF，
∵AB＝GF，BC＝CG，
∴AC＝CF，
∴△ACF是等腰三角形，
∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，
∴△ABC≌△FGC（SAS），
∴∠ACG＝∠GFC，
∵∠GCF+∠GFC＝90°，
∴∠ACG+∠GCF＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，
∴△CDM≌△FGM（AAS），
∴CM＝MF，
∵AC＝CF，CD⊥AF，
∴AD＝DF，
∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，
∴DM＝4﹣CM，
在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，
∴CM2＝22+（4﹣CM）2，
解得CM，
∴MF，
∴△CMF的面积2；
探究二：连接DE，取DE的中点P，连接HP，取AD、BC的中点为M、N，连接MN，MH，NH，
∵H是AE的中点，
∴MH∥DE，且MHDE，
∵CD＝CE，
∴CP⊥DE，DP＝PE，
∵MH∥DP，且MH＝DP，
∴四边形MHPD是平行四边形，
∴MD＝HP，MD∥HP，
∵AD∥BC，MD＝CN，
∴HP∥CN，HP＝CN，
∴四边形HNCP是平行四边形，
∴NH∥CP，
∴∠MHN＝90°，
∴H点在以MN为直径的圆上，
设MN的中点为T，
∴DT，
∴DH的最大值为1，最小值为1．
方法二：设AC的中点为T，连接HT，
∵HT是△ACE的中位线，
∴HTCE＝1，
∴H在以T为圆心，1为半径的圆上，
∵DT，
∴DH的最大值为1，最小值为1．
5．【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA．∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90°，
由题意得CD＝CE，∠DCE＝α：
∴∠CDE＝∠CED（180°﹣α）＝90°α．
∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝90°﹣（90°α）α，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFDα，
∴∠FAD＝180°﹣∠ADF﹣∠AFD＝180°﹣α，
∴∠BAF＝∠FAD﹣∠BAD＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；
②连接BE．
∵∠DCE＝α，
∴∠BCE﹣90°﹣α＝∠BAF，
∵CD＝CE＝AD＝AF＝BC，
∴△BCE≌△BAF（SAS），
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE．
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝90°
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EFBF；
（2）解：过点G作AD的垂线，交直线AD于点H，连接AC，BD相交于点，O，连接OG，
由（1）得△EBF是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点，
∴BG⊥EF，即∠BGD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD．
∴OB＝OD＝OG，
∴点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，
当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值，
∴GHAB+OGABBD221．
∴△ADG面积的最大值为AD×GH＝1．
6．【解答】解：（1）△EFG是直角三角形，
理由：∵点E，F，G分别为AD，BC，AC的中点，
∴GF，GE 分别为△ABC，△ACD 的中位线，
∴FG∥AB，EG∥CD，
∵∠BAC＝120°，∠ACD＝30°，
∴∠AGF＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∠AGE＝∠ACD＝30°，
∴∠FGE＝∠AGF+∠AGE＝60°+30°＝90°，
∴△EFG是直角三角形．
（2）如图2，连接AC，在AC上截取ALAC，连接EL，FL，则LCAC，
∵AEAD，BFBC，AB＝3，CD＝3，
∴FCBC，
∵，∠LCF＝∠ACB，
∴△LCF∽△ACB，
∴，
∴LFAB3＝2，
∵，∠EAL＝∠DAC，
∴△ALE∽△ACD，
∴，
∴LECD3，
∵LF﹣LE＜EF≤LF+LE，
∴2EF≤2，
∴EF的取值范围是2EF≤2．
（3）如图3，连接AC，在AC于截取AKAC，连接KE，KF，作EH⊥FK交FK的延长线于点H，
∵AEAD，BFBC，AB＝4，CD＝4，
∴KCAC，FCBC，
∵，∠KCF＝∠ACB，
∴△KCF∽ACB，
∴，∠KFC＝∠B，
∴KFAB43，
∵，∠KAE＝∠CAD，
∴△AKE∽△ACD，
∴，∠AKE＝∠ACD，
∴KECD4，
∵∠BAD+∠D＝225°，
∴∠B+∠BCD＝360°﹣（∠BAD+∠D）＝360°﹣225°＝135°，
∵∠AKF＝∠KFC+∠ACB＝∠B+∠ACB，
∴∠EKF＝∠AKF+∠AKE＝∠B+∠ACB+∠ACD＝∠B+∠BCD＝135°，
∴∠HKE＝180°﹣∠EKF＝180°﹣135°＝45°，
∵∠H＝90°，
∴∠HEK＝∠HKE＝45°，
∴HE＝HK，
∴KEHK，
∴HE＝HK，
∴HF＝HK+KF34，
∴EF，
∴EF的值为．
7．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GEF＝∠BFE，
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE＝∠GFE，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF；
（2）解：过G作GH⊥BC于H，如图：
设DG＝x，则AE＝2x，
∴GE＝AD﹣AE﹣DG＝8﹣3x＝GF，
∵∠GHC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH＝CD＝AB＝4，CH＝DG＝x，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CF＝AE＝2x，
∴FH＝CF﹣CH＝x，
在Rt△GFH中，FH2+GH2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣3x）2，
解得x＝3（此时AE大于AD，舍去）或x＝3，
∴AE＝2x＝6﹣2；
∴AE的长为6﹣2；
（3）①证明：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，如图：
∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
∴O为EF中点，OA＝OD，OQAB＝2，
∵GE＝GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ＝90°﹣∠EOQ＝∠QEO，
∵∠GQO＝90°＝∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴，即GQ EQ＝OQ2，
∴GQ EQ＝4，
∵OA＝OD，OQ⊥AD，
∴AQ＝DQAD＝4，
∴EQ＝AQ﹣AE＝4﹣a，GQ＝DQ﹣GD＝4﹣b，
∴（4﹣a）（4﹣b）＝4；
②解：连接B'D，OG，OB，如图：
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴BF＝B'F，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BF＝DE，
∴B'F＝DE，
同理OD＝OB＝OB'，
由（1）知GF＝GE，
∴B'F﹣GF＝DE﹣GE，即B'G＝DG，
∵OG＝OG，
∴△DOG≌△B'OG（SSS），
∴∠ODG＝∠OB'G，
∵DG＝B'G，∠DGK＝∠B'GH，
∴△DGK≌△B'GH（ASA），
∴DK＝B'H，GK＝GH，
∴OD﹣DK＝OB'﹣B'H，即OK＝OH，
∵OG＝OG，
∴△OGK≌△OGH（SSS），
∴S△OGK＝S△OGH，
∴S1＝2S△OGK，
∴，
∵∠EGF＝∠DGB'，GE＝GF，GD＝GB'，
∴∠GEF＝∠GFE＝∠GDB'＝∠GB'D，
∴EF∥B'D，
∴△OKF∽△DKB'，△EGF∽△DGB'，
∴，
∵，
∴，
∵△EGF∽△DGB'，
∴，
当a＝1时，由①知（4﹣1）×（4﹣b）＝4，
∴b，
∴AE＝1，DG，
∴GE＝AD﹣AE﹣DG，
∴，
∴的值为．
8．【解答】（1）证明：选择图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△BEA≌△BEC（SAS），
∴EA＝EC，
由旋转得：EA＝EF，
∴EF＝EC．
选择图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△BEA≌△BEC（SAS），
∴EA＝EC，
由旋转得：EA＝EF，
∴EF＝EC．
（2）解：猜想DM＝BF．理由如下：
选择图1，过点F作FH⊥BC交BD于点H，
则∠HFB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠HFB＝∠BCD，
∴FH∥CD，
∴∠HFE＝∠M，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠FCD＝90°，
∴∠EFC+∠M＝90°，∠ECD+∠ECF＝90°，
∴∠M＝∠ECM，
∴EC＝EM，
∴EF＝EM，
∵∠HEF＝∠DEM，
∴△HEF≌△DEM（ASA），
∴DM＝FH，
∵∠HBF＝45°，∠BFH＝90°，
∴∠BHF＝45°，
∴BF＝FH，
∴DM＝BF．
若选择图2，过点F作FH⊥BC交DB的延长线于点H，
则∠HFB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠HFB＝∠BCD，
∴FH∥CD，
∴∠H＝∠EDM，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠EFC+∠FMC＝90°，∠ECF+∠ECM＝90°，
∴∠FMC＝∠ECM，
∴EC＝EM，
∴EF＝EM，
∵∠HEF＝∠DEM，
∴△HEF≌△DEM（AAS），
∴FH＝DM，
∵∠DBC＝45°，
∴∠FBH＝45°，
∴∠H＝45°，
∴BF＝FH，
∴DM＝BF．
（3）解：如图3，取AD的中点G，连接EG，
∵NE＝AE，
∴点E是AN的中点，
∴EGDN，
∵△ADN的周长＝AD+DN+AN＝3+2（AE+EG），
∴当△ADN的周长最小时，AE+EG最小，此时，C、E、G三点共线，如图4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝3，AD∥BC，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝3，
∵点G是AD的中点，
∴DGAD，，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△BEC，
∴，
∴BE＝2DE，
∵BE+DE＝BD＝3，
∴2DE+DE＝3，即3DE＝3，
∴DE．
9．【解答】解：如图所示，连接BQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAQ＝∠ABE＝90°，
∵∠PEQ＝90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
当点P和点B重合时，
∴QE＝AB＝3，BE＝2，
在Rt△QBE中，，
故答案为：．
（2）如图所示，
∵∠PEQ＝90°，∠PBE＝∠ECD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△PBE∽△ECD，
∴，
∵BE＝2，CD＝AB＝3，
∴．
（3）如图所示，过点P作PH⊥BC于点H，
∵∠PEQ＝90°，∠PHE＝∠ECQ＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABHP是矩形，
∴PH＝AB＝3，
又∵EC＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，
∴PH＝EC，
∴△PHE≌ECQ（ASA），
∴PE＝QE，
∴△PQE 是等腰直角三角形；
（4）①如图所示，当点P在BE上时，
∵QE＝QF＝3，AQ＝BE＝2，
在Rt△AQF中，，
则 ，
∵PE＝t，
∴BP＝2﹣t，PF＝PE＝t，
在Rt△PBF中，PF2＝PB2+FB2，
∴，
解得：，
当 时，点F在矩形内部，
∴0＜t符合题意．
②当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意，此时如图，
则PB＝t﹣BE＝t﹣2，PE＝AP＝AB﹣PB＝3﹣（t﹣2）＝5﹣t，
在Rt△PBE中，PE2＝PB2+BE2，
∴（5﹣t）2＝（t﹣2）2+22，
解得t．
③当点P在AD上，当F，D重合时，此时点Q与点C重合，则PFQE是正方形，此时t＝2+3+2＝7．
综上所述，0＜t或t或t＝7．
10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠HAB＝∠ABC，
∵点G是AB的中点，
∴AG＝BG，
又∵∠AGH＝∠BGC，
∴△AGH≌△BGC（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD∠ABC＝30°，
∴AOAB＝3，BOAO＝3，
∴BD＝6；
（3）解：当∠PAD＝90°时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠ADB∠ADC＝30°，
∴ADAP＝6，PD＝2AP，
∴AP＝2，DP＝4，
∴BP＝2，
∵AD∥BC，
∴△BPC∽△DPH，
∴，
∴2；
当∠APH＝90°时，
∴∠DPA＝∠DPC＝45°，
∴AO＝PO＝3，
∴BP＝33，DP＝33，
∵AD∥BC，
∴△BPC∽△DPH，
∴，
∴2；
综上所述：2或2；
（4）解：∠CGN的度数是定值，
如图，取BC的中点H，连接OH，HM，NC，
∵MN是CG的垂直平分线，
∴GN＝CN，GM＝CM，
∴∠NGC＝∠GCN，
又∵点H是BC的中点，
∴MH∥AB，
∵点H是BC的中点，AO＝CO，
∴OH∥AB，
∴点M，点H，点O三点共线，
∵点H是BC的中点，AC⊥BD，
∴HO＝HB＝CH，
∴∠CBO＝∠BOH＝30°，
∵∠COB＝∠NMC＝90°，
∴点O，点C，点M，点N四点共圆，
∴∠BOH＝∠NCM＝30°，
∴∠CGN＝∠NCM＝30°．
11．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
.∴AD∥BF，
∴∠D＝∠DCF，
∵G为CD中点，
∴DG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，
∴△ADG≌△FCG（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵CE⊥AF，
∴∠CEF＝90°＝∠ABC，
∵∠F＝∠F，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∵AB＝4，BF＝x，
在Rt△ABF中，AF，
∵CE＝y，
∴，
∴y（或者y）；
（3）解：过点E作EN⊥BF于点N，
∵四边形ABCD为矩形，AD＝3，
∴AD＝BC＝3，
∵AB＝4，CF＝1，
∴AB＝BF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴∠CFE＝∠BAF＝45°，
∵CE⊥AF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，
∵EN⊥CF，
∴EN平分CF，
∴CN＝NF＝NE，
在Rt△BNE中，根据勾股定理得：
BE2＝BN2+EN2，
∴BE，
∵∠ECF＝∠BAF＝45°，
∴∠BAM＝∠BCE＝135°，
∵BM⊥BE，
∴∠MBA+∠ABE＝90°，
∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠MBA＝∠EBC，
∴△BAM∽△BCE，
∴，
∴，
∴BM．
12．【解答】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：①△FBG为等腰三角形，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝90°，
∴∠AGD+∠ADG＝90°，
由（1）知，△ABE≌△ADE，
∴∠ADG＝∠EBG，
∴∠AGD+∠EBG＝90°，
∵FB⊥BE，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∴∠AGD＝∠FBG，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝FB，
∴△FBG是等腰三角形；
②如图，过点F作FH⊥AB于H，
∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB＝4，
∴AG＝BG＝2，AD＝4，
由①知，FG＝FB，
∴GH＝BH＝1，
∴AH＝AG+GH＝3，
在Rt△FHG与Rt△DAG中，∵∠FGH＝∠DGA，
∴tan∠FGH＝tan∠DGA，
∴2，
∴FH＝2GH＝2，
在Rt△AHF中，AF；
（3）∵FB⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
在Rt△EBF中，BE＝BF，
∴EFBE，
由（1）知，BE＝DE，
由（2）知，FG＝BF，
∴GE＝EF﹣FGBE﹣BFDE﹣DE＝（1）DE．
13．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝10，BC＝AD＝8，
在Rt△BCF中，CF＝CD＝10，BC＝8，
∴BF＝6，
∴AF＝AB﹣BF＝4，
设AE＝x，则EF＝DE＝8﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，
EF2﹣AE2＝AF2，
∴（8﹣x）2﹣x2＝42，
∴x＝3，
∴AE＝3；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△AGE∽△DCE，
∴，
由（1）得：AE＝3，
∴DE＝8﹣3＝5，
∴，
∴AG＝6，
∴FG＝AF+AG＝4+6＝10，
∴FG＝CD，
∴四边形DGFC是平行四边形，
∵CD＝CF，
∴ DGFC是菱形；
（3）解：∵四边形FGDC是菱形，
∴∠DGC＝∠DCG＝∠FGC，DG＝CD＝10，
在Rt△BCG中，BC＝8，BG＝BF+FG＝6+10＝16，
∴tan∠FGC，CG8，
∴sin∠FCG，
如图1，
当∠MDN＝90°时，
在Rt△GDM中，
DM＝DG tan∠DGM＝10 tan∠FGC＝105，
在Rt△DMN中，
DN＝DM tan∠DMN，
∵∠DMN＝∠DCM，∠DCM＝∠FGC，
∴DN＝DM tan∠FGC＝5，
如图2，
当∠MND＝90°时，∠DMN+∠GDM＝90°，
∵∠DMN＝∠DCM＝∠DGM，
∴∠DGM+∠GDM＝90°，
∴∠DMG＝90°，
∴DM＝DG sin∠DGM＝102，
在Rt△DMN中，
DN＝DM sin∠DMN＝DM sin∠FGC＝22，
综上所述：DN或2．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°．
∵DE＝DF，∠EDF＝90°．
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．
∵∠ADP＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°．
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF．
∵∠DPA＝∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．
∴∠PGN＝90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，
∴∠MBN＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．
∴∠ABM＝∠CBN．
又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴△AMB≌△CNB．
∴MB＝NB．
∴矩形BMGN是正方形；
②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，
此时△AMB≌△AHD．
∴BM＝AH．
∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，
∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2．
∴BM最小值＝AH最小值．
由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小值．
15．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠CBD＝∠ABD∠ABC，
∵∠CBG＝∠EBG∠EBC，
∴∠DBG＝∠CBD+∠CBG（∠ABC+∠EBC）180°＝90°．
（2）解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵AC⊥BD，
∴∠AKB＝90°，
∵AB＝5，BD＝6，
∴BK＝DKBD＝3，
∴AK4，
∴CK＝AK＝4，
∴AC＝8，
∴S菱形ABCDAC BD8×6＝24.
②∵∠DKL＝∠DBG＝90°，
∴AC∥BG，
∴1，
∴DL＝GLDG，
∵DG＝2GE，
∴GEDG，
∴DL＝GL＝GE，
∵CD∥AB，
∴，
∴CLAC8，
∴KL＝4，
∴tan∠BDE．
（3）解：如图3，过点G作GT∥BC，交AE于点T，则GT为定值，
理由：连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵∠DKL＝∠DBG＝90°，
∴当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG∥AC，
∴△BGE∽△ALE，
∵BE＝AB，
∴1，
∴EG＝LG，
∵KL∥BG，
∴1，
∴DL＝LG＝EGED，
∵AD∥BC，
∴GT∥AD，
∴△ETG∽△EAD，
∴，
∵BE＝AB＝DA＝5，
∴GTDA5，
∴GT为定值；
∵EA＝BE+AB＝10，
∴ETEA10．
16．【解答】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
，
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM；
（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，
∴BE，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4，FM＝BE，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC5，
∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴CF．
当点E在CD上时，作FH⊥AC于点H，可证DE＝AD＝AH＝FH＝3，CH＝2，
可得CF．
综上所述，CF的值为或；
（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．
∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴，
∴，
∴MJ，CJ，
∴DJ＝CD﹣CJ＝4，
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，
∴△CMJ∽△DHJ，
∴，
∴，
∴DH，
∴DF的最小值为．
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．
∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
∵AE＝AF，AD＝AR，
∴△ADE≌△ARF（SAS），
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴AQ＝AD cos∠BAC＝3，
∵AR＝AD＝3，
∴DK＝QR＝AR﹣AQ，
∴DF的最小值为，
∵，
∴DF的最小值为．
解法二：当点E在BC上时，如图，将线段AD绕点A逆时针旋转，旋转角的度数＝∠BAC，得到AT，连接DT，ET，DF．
证明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，
当TE⊥BC时，DF的值最小，可得DF的最小值为．
当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为．
17．【解答】解：（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM＝AC﹣CM＝4﹣a，BN＝4﹣b，
∴AE，BF，
∴AE2+BF2＝2（4﹣a）2+2（4﹣b）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
∵AB4，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF[4﹣（4﹣a）﹣（4﹣b）]（a+b﹣4），
∵ab＝8，
EF2＝2（a+b﹣4）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+16+2ab）＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
∴AE2+BF2＝EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）①如图1，
连接PC交EF于G，
∵a＝b，
∴ME＝AM＝BN＝NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PGE＝90°，
∵CM＝CN＝PM＝PN，
∴PE＝PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，
EF2＝AE2+BF2，EF2＝PE2+PF2，
∴PE＝AE＝PF＝BF，
∴ME＝EG＝FG＝FN，
∴∠MCE＝∠GCE，∠NCF＝∠GCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECG+∠FCG，
∴∠ECF＝45°；
②如图2，
仍然成立，理由如下：
将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC＝∠B＝45°，AD＝BF，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAB＝90°，
∴DE2＝AD2+AE2＝BF2+AE2
∵EF2＝BF2+AE2，
∴DE＝EF，
∵CD＝CF，CE＝CE，
∴△DCE≌△FCE（SSS），
∴∠ECF＝∠DCE．
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