2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数的动态几何问题（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数的动态几何问题
一、选择题
1．如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．31
2．如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是，以上所有结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知直线MN：yx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（　　）
A．45°或135° B．30°或150° C．60°或120° D．75°或165°
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为（　　）
A．1 B． C． D．
5．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为（　　）
A．（8，2） B．（﹣6，2） C．（﹣8，2） D．（6，﹣2）
6．已知A点坐标为A（）点B在直线y＝﹣x上运动，当线段AB最短时，B点坐标（　　）
A．（0，0） B．（，）
C．（1，﹣1） D．（，）
7．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　）
A．yx B．yx C．yx D．yx
8．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②△BCD为直角三角形；
③S△ABD＝6；
④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（12，6），D（2，6），直线y＝mx﹣3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为（　　）
A． B．﹣1 C．2 D．
10．在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OB、OC，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，已知BC＝a （a是常数），设△ABC的周长为y，△AEF的周长为x，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（　　）
A． B． C．D．
二、解答题
11．如图1，直线分别交x轴，y轴于点A，B，C为射线OB上一点，把△AOC沿直线AC翻折得到△ACD．
（1）求点A，B的坐标．
（2）当点D在△ABO的内部时，连结OD并延长交AB于点P．若AC＝OP，求点P的坐标．
（3）如图2，点M为AB的中点，当MD与坐标轴平行时，请直接写出OC的长．
12．如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，直线l2经过A，C两点．
（1）则A点的坐标为 　 　，B点的坐标为 　 　；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究△BPC能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．
13．如图，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别相交于点D，C，直线AB经过点A（﹣2，0）和点B（0，6），直线AB，CD相交于点M．
（1）求点M的坐标；
（2）点N在直线CD上，使得S△BMN＝2S△AMC，求N点的坐标；
（3）在直线CD上是否存在点P，使得B，M，P三点构成的三角形与△AMC全等，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，四边形OABC是平行四边形，其中点A的坐标是（10，0），点O的坐标是（0，0），点C的坐标是（4，6）．
（1）请求出点B的坐标；
（2）已知点D是线段CB上一个动点，若三角形OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；
（3）已知直线：y＝kx+b恰好将 OABC分成面积相等的两部分，请求出k与b之间满足的关系式．
15．如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与x轴交于点B（4，0），直线l1与l2交于点C（2，n）．
（1）求点C的坐标及直线l2的函数表达式；
（2）若点D是线段BC上一个动点，点D的横坐标是m，△ADB的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式；
（3）在y轴上是否存在点P，使得PB+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C C B A B B C
1．【解答】解：∵P在直线y＝﹣x+6上，
∴设P坐标为（m，6﹣m），
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2＝PQ2+OQ2，
∴PQ2＝m2+（6﹣m）2﹣2＝2m2﹣12m+34＝2（m﹣3）2+16，
则当m＝3时，切线长PQ的最小值为4．
故选：B．
2．【解答】解：∵直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACDAC×DHCD×AD，
∴DH，
∴当y时，x+6，
∴x，
∴点D（，），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，
∴PD∥OC，PD＝OC＝3，
∴点P纵坐标为，
∵点D（，），
∵点P（，），
∴点P横坐标为，故④正确，
故选：D．
3．【解答】解：∵直线MN：yx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，
令y＝0，则0x+2，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
∴AB4，
∴AB＝2OB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠MAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，∠MBO＝120°．
∵B（0，2），OC＝2，
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
如图，分两种情况考虑：
①当点C在x轴正半轴上时，
∠C1BO＝45°，
∴∠MBC1＝120°﹣45°＝75°；
②当点C在x轴负半轴上时，
∠MBC2＝120°+45°＝165°．
故选：D．
4．【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，yx﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE5，
∵⊙O的半径为2，
∴A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD＝90°，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH，
∴MH＝PH+1，NH＝PH﹣1．
∴点C到直线DE的最小距离为．
故选：C．
5．【解答】解：过A作AP⊥AB交BC于P，过P作PM⊥AC，如图：
∵A（﹣2，0），B（0，6），
∴BO＝6，AO＝2，
∵△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三危形，
∴AP＝AB，∠PAB＝90°，
∴∠BAO＝90°﹣∠PAM＝∠MPA，
∵∠PMA＝90°＝∠BOA，
∴△ABO≌△PAM（AAS），
∴AM＝BO＝6，MP＝AO＝2，
∴OM＝8，
∴P（﹣8，2）．
故选：C．
6．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
当AB⊥OB时，AB最短，此时过B作BD⊥x轴，交x轴于点D，
由直线y＝﹣x为第二、四象限的角平分线，得到∠AOB＝45°，
∵A（，0），即OA，∠ABO＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OD＝AD，即BD为Rt△AOB斜边上的中线，
∴BDOA，
又∵∠BOD＝45°，∠BDO＝90°，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝BD，
∵B在第四象限，
∴B的坐标为（，）．
故选：B．
7．【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，
∴BP AB＝5，
∴AB＝2.5，
∴OA＝3﹣2.5＝0.5，
由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）
设直线方程为y＝kx+b，则，
解得．
∴直线l解析式为yx．
故选：A．
8．【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：yx+m都经过C（，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：yx+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（，）代入直线l2：yx+m，可得m＝1，
yx+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD3×2＝3，
故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：yx+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
9．【解答】解：如图，∵A（0，0），B（10，0），C（12，6），D（2，6），
∴AB＝10﹣0＝10，CD＝12﹣2＝10，
又点C、D的纵坐标相同，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵12÷2＝6，6÷2＝3，
∴对角线交点P的坐标是（6，3），
∵直线y＝mx﹣3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线y＝mx﹣3m+6经过点P，
∴6m﹣3m+6＝3，
解得m＝﹣1．
故选：B．
10．【解答】解：如图，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，
又∵EF∥BC，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EO＝EB，
同理可得FO＝FC，
∵x＝AE+EO+FO+AF，
y＝AE+BE+AF+FC+BC，
∴y＝x+a，（x＞a），
即y是x的一次函数，
所以C选项正确．
故选：C．
二、解答题
11．【解答】解：对于，当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，0，
解得：x＝5，
∴点A的坐标（5，0），点B的坐标为（0，8）；
（2）过点P作PE⊥y轴于点E，如图1所示：
∴∠AOC＝∠OEP＝90°，
设点C的坐标为（0，a），
∴OC＝a，
∵点D在△ABO的内部，点B的坐标为（0，8），
∴0＜a＜8，
由翻折的性质得：AC是线段OD的垂直平分线，
∴AC⊥OD，
∴∠AOD+∠OAC＝90°，
又∵∠EOP+∠AOD＝90°，
∴∠OAC＝∠EOP，
在△OAC和△EOP中，
，
∴△OAC≌△EOP（AAS），
∴OC＝EP＝a，
∴点P的横坐标为a，
∵点P在直线上，
∴点P的坐标为，
∴OP，
∵点A的坐标（5，0），
∴AC，
∵AC＝OP，
∴，
整理得：25，
∴±5，
由，解得：，
由，解得：8，不合题意，舍去；
当时，5，
∴点P的坐标为；
（3）当MD与坐标轴平行时，有以下两种情况，
（ⅰ）当MD平行x轴时，又有两种情况：
①当点C在线段OB上时，设MD交y轴于点T，过点A作AK⊥MD于点K，如图2所示：
设OC＝a，
∵点A的坐标（5，0），点B的坐标为（0，8），点M为AB的中点，
∴OA＝5，OB＝8，点M的坐标为（2.5，4），
∵∠AKT＝∠KTO＝∠AOT＝90°，
∴四边形OAKT为矩形，
∴OT＝AK＝4，TK＝OA＝5，
∴TC＝OT﹣OC＝4﹣a，
由翻折的性质得：DA＝OA＝5，DC＝OC＝a，
在Rt△ADK中，由勾股定理得：DK3，
∴DT＝TK﹣DK＝5﹣3＝2，
在Rt△TCD中，TC＝4﹣a，
由勾股定理得：DC2＝TC2+DT2，
∴a2＝（4﹣a）2+22，
解得：a＝2.5，
此时OC的长为2.5；
②当点C在OB的延长线上时，设MD交y轴于点T，过点A作AK⊥MD于点K，如图3所示：
设OC＝a，
同①得：OT＝AK＝4，TK＝OA＝5，DA＝OA＝5，DC＝OC＝a，
∴TC＝OC﹣OT＝a﹣4，
在Rt△ADK中，由勾股定理得：DK3，
∴TD＝TK+DK＝5+3＝8，
在Rt△TCD中，由勾股定理得：DC2＝TC2+TD2，
∴a2＝（a﹣4）2+82，
解得：a＝10，
此时OC的长为10；
（ⅱ）当MD∥y轴时，此时只有一种情况，即点C在线段OB上，
过点D作DP⊥y轴于点P，过点A作AQ⊥DP，交PD的延长线于点Q，如图4所示：
设OC＝a，
同①得：OP＝AQ，PQ＝OA＝5，DA＝OA＝5，DC＝OC＝a，
∵点M是AB的中点，MD∥y轴，
∴DP＝DQPQ＝2.5，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：AQ，
∴OP＝AQ，
∴PC＝OP﹣OC，
在Rt△PCD中，由勾股定理得：DC2＝DP2+PC2，
∴，
解得：，
此时OC的长为．
综上所述：OC的长为2.5或10或．
12．【解答】解：（1）在l1：y＝﹣3x+6中，
令x＝0，则y＝6，所以点B坐标为（0，6）；
令y＝0，则x＝2，所以点A坐标为（2，0）．
所以点A、B坐标分别是（2，0）和（0，6）；
故答案为：（2，0）；（0，6）；
（2）如图，过点C向y轴作垂线，E为垂足．
由条件可知AB＝BC．
∵∠CBE+∠ABO＝180°﹣90°＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△CBE和△BAO中，∠CBE＝∠BAO，∠BEC＝∠AOB，BC＝AB．
∴△CBE≌△BAO（AAS）．
∴EC＝BO＝yB＝6，BE＝OA＝xA＝2．
∴OE＝6+2＝8．
故点C坐标为（6，8）．
设l2函数表达式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入得：
，解得．
∴直线l2的函数表达式为y＝2x﹣4；
（3）设点P的坐标为（m，2m﹣4），假设以BP为直角边的△BPC是等腰直角三角形，
如图．过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交y轴于点M，交CD于点N，
在△BMP和△PNC中，
，
∴△BMP≌△PNC（AAS），
∴BM＝PN，MP＝CN，
∵BM＝6﹣（2m﹣4）＝10﹣2m，
PN＝6﹣m，MP＝m，CN＝8﹣（2m﹣4）＝12﹣2m．
∴由PM＝CN，m＝12﹣2m，m＝4，
此时BM＝PN＝2，m适合题意．
此时P（4，4）．
13．【解答】解：（1）设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0），B（0，6）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝3x+6，
联立，
解得，
∴M（﹣1，3）；
（2）如图：
在y＝﹣x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝2，
∴C（0，2），D（2，0），
∴AD＝2﹣（﹣2）＝4，BC＝6﹣2＝4，
∴S△AMC＝S△AMD﹣S△ACD4×34×2＝2，S△BCM4×|﹣1|＝2，
∴S△BMN＝2S△AMC＝4，
当N在AB左侧时，S△BCN＝S△BCM+S△BMN＝2+4＝6，
∴4 （﹣xN）＝6，
解得xN＝﹣3，
在y＝﹣x+2中，令x＝﹣3得y＝5，
∴N（﹣3，5）；
当N'在AB右侧时，S△BCN'＝S△BMN'﹣S△BCM＝4﹣2＝2，
∴4 xN'＝2，
解得xN'＝1，
在y＝﹣x+2中，令x＝1得y＝1，
∴N'（1，1）；
综上所述，N的坐标为（﹣3，5）或（1，1）；
（3）直线CD上存在点P，使得B，M，P三点构成的三角形与△AMC全等，理由如下：
∵A（﹣2，0），B（0，6），M（﹣1，3），
∴AM，BM，
∴AM＝BM，
∵B，M，P三点构成的三角形与△AMC全等，∠AMC＝∠BMP，
∴MP＝MC，
设P（x，﹣x+2），
∴（x+1）2+（﹣x+2﹣3）2＝2，
解得x＝0（舍去）或x＝﹣2，
∴P（﹣2，4）．
14．【解答】解：（1）点A坐标是（10，0），O（0，0），
∴OA＝10，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA，
∵点C坐标是（4，6），
∴B（14，6）；
（2）∵点D是线段CB上一个动点，
∴设D（m，6），
①当OD＝OA＝10时，三角形OAD是等腰三角形，
∴OD10，
∴m＝8（负值舍去），
∴D（8，6），
②当OD＝AD时，三角形OAD是等腰三角形，
则点D在OA的垂直平分线上，
∴D（5，6），
③OA＝AD＝10时，
∴AD10，
∴m＝2＜4（不合题意舍去），
综上所述，D（8，6）或（5，6）；
（3）如图，连接AC，OB交于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AE＝CE，
∵点A坐标是（10，0），点C坐标是（4，6），
∴E（7，3），
∵y＝kx+b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线y＝kx+b过E（7，3），
∴3＝7k+b，
∴k，
即k与b的函数关系式为kb．
15．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+2过点C（2，n），
∴n＝2+2＝4，
∴C（2，4），
∵直线y＝kx+b过B（4.0），C（2，4），
∴，解得，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣2x+8；
（2）设D坐标是（m，h），
∵D（m，h）在直线y＝﹣2x+8上，
∴h＝﹣2m+8，
∵直线y＝x+2与x轴交于点A，
∴y＝0时x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∵S△ADB6h
＝3h
＝3（﹣2m+8）
＝﹣6m+24，
∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣6m+24；
（3）如图，作出B关于y轴的对称点B′，连接B′C，与y轴的交点即为P点，此时，PB+PC在值最小，
∵B（4，0），
∴B′（﹣4，0），
∴C（2，4），
∴B′C2，
∴PB+PC的最小值为2，
设直线B′C的解析式为y＝k′x+b′，
∴，解得，
∵直线B′C的解析式为yx，
令x＝0，则y，
∴P点坐标（0，）．
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