2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数与一次函数交点问题（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数与一次函数交点问题
一、选择题
1．如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和的图象．观察图象可得不等式的解集为（　　）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
2．反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则k的值为（ 　）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，反比例函数的图象与正比例函数y＝﹣x的图象交于点A，C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，连接BC，若S△ABC＝2，则k的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣1 D．﹣2
5．如图，A，B是函数y＝x与的图象的两个交点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，BC，则四边形ACBD的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在直角坐标系中，直线y＝6﹣x与函数（x＞0）的图象相交于点A、B，设A点的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别是（　　）
A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6
二、填空题
7．如图，平面直角坐标系内有两点A（4，0），B（0，4），若反比例函数的图象交线段AB于点C，D，且BC＝CD，则k＝ 　 　．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点A、B两点，连接AB、OB，若△AOB的面积为12，则k的值为 　 　．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+6与y轴交于点C，与反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，连接OB，若S△OBC＝9，tan∠BOC，则m的值是　 　．
10．如图，直线AB与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点M且满足，连接AO并延长交反比例函数图象于点C，连接BC，若△ABC的面积为24，则k的值为 　 　．
11．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是 　 ．
12．如图，函数y（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；
③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2；
④若MFMB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是　 　．（只填序号）
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y的图象交于M（，4），N（n，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
15．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积．
16．如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
17．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n的解集；
（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．
18．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE＝4CD．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．
19．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，12），B（8，﹣3）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数y（m＞0）的图象相交于点C（x1，y1），D（x2，y2），与y轴交于点E，且CD＝CE，求m的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C A D A A
1．【解答】解：由图象，函数y1＝2x和的交点横坐标为﹣1，1，
∴当﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即，
故选：D．
2．【解答】解：把B（，m）代入，得m，
∴B点坐标为（，），
∵点B为反比例函数图象与一次函数图象的交点，
∴k．
故选：C．
3．【解答】解：∵点A（1，3）在反比例函数图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为y，
∵B（c，﹣1）在反比例函数图象上，
∴c＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣1），
∵A、B在一次函数图象上，
∴，解得，
∴k﹣a＝3﹣1＝2．
故选：A．
4．【解答】解：∵反比例函数的图象与正比例函数y＝﹣x的图象交于点A，C，
∴OA＝OC，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOBS△ABC2＝1，
∵|k|＝2S△AOB＝2，图象在第二象限，
∴k＝﹣2．
故选：D．
5．【解答】解：由对称性可知：OB＝OA，OD＝OC，
∴S△AOC、S△ODA、S△ODB、S△OBC的面积都等于，
∴四边形ABCD的面积为，
故选：A．
6．【解答】解：∵两函数图象的交点在第一象限，
∴x＞0，y＞0，
∴，
∴6﹣x，
∴x2﹣6x+4＝0，
解得x＝3±，
∵A在B的左边，
∴x＝3，y＝3，即A（3，3），
∴矩形的面积＝（3）（3）＝4；
矩形的周长＝2（3）+2（3）＝12．
故选：A．
二、填空题
7．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，把代入点的坐标得到，
，
解得，
∴y＝﹣x+4；
如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，
设点C的坐标为（t，﹣t+4），则CE＝t，OE＝﹣t+4，
∵BC＝CD，
∴BD＝BC+CD＝2BC，
∵∠CBE＝∠DBF，
∴△CBE∽△DBF，
∴，
即，
∴BF＝2t，DF＝2t，
∴OF＝OB﹣BF＝4﹣2t，
∴点D的坐标为（2t，4﹣2t），
∴t（﹣t+4）＝2t（4﹣2t），
解得（不合题意，舍去），
∴点C的坐标为，
∴，
故答案为：．
8．【解答】解：如图，连接AC，
∵直线BC的解析式为直线，
∴C（0，4），
∵两条直线的k值相等，
∴AO∥BC，
∴S△AOB＝S△AOC＝12，
∴，
∴xA＝﹣6，
将xA＝﹣6代入正比例函数得，，
∴A（﹣6，4），
∵A（﹣6，4）在反比例函数图象上，
∴k＝﹣24．
故答案为：﹣24．
9．【解答】解：∵直线y＝kx+6与y轴交于点C，当x＝0时，y＝6，
∴点C的坐标为（0，6），
∴OC＝6，
过B作BD⊥y轴于D，
由条件可知BD＝3，
∵，
∴，
∴OD＝9，
∴点B的坐标为（3，9），
∵反比例函数图象在第一象限内的图象经过点B，
∴m＝3×9＝27．
故答案为：27．
10．【解答】解：分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为E，F，
则△AEM∽△BFM．
又因为，
所以，
即AE＝2BF．
令点B的坐标为（），
则点A的坐标为（）．
因为A，C关于原点对称，
所以点C坐标为（）．
连接OB，
因为△ABC的面积为24，
所以△BCO面积为12．
过点C作x轴的垂线，垂足为P，
由S△COP+S梯形CBFP＝S△BCO+S△BOF，且S△COP＝S△BOF得，
S梯形CBFP＝S△BCO＝12，
所以，
解得k＝16．
故答案为：16．
11．【解答】解：方法一、联立，
∴，
∴，
∴A（），B（），
∴A与B关于原点O对称，
∴O是线段AB的中点，
∵N是线段AM的中点，
连接BM，则ON∥BM，且ON，
∵ON的最大值为，
∴BM的最大值为3，
∵M在⊙C上运动，
∴当B，C，M三点共线时，BM最大，
此时BC＝BM﹣CM＝2，
∴（，
∴k＝0或，
∵k＞0，
∴，
方法二、设点B（a，2a），
∵一次函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点O对称，
∴O是线段AB的中点，
∵N是线段AM的中点，
连接BM，则ON∥BM，且ON，
∵ON的最大值为，
∴BM的最大值为3，
∵M在⊙C上运动，
∴当B，C，M三点共线时，BM最大，
此时BC＝BM﹣CM＝2，
∴2，
∴a1或a2＝0（不合题意舍去），
∴点B（，），
∴k，
故答案为：．
12．【解答】解：①设点A（m，），M（n，），
则直线AC的解析式为yx，
∴C（m+n，0），D（0，），
∴S△ODMn，S△OCA（m+n），
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BM⊥AM，
∴OM＝OA，
∴k＝mn，
∴A（m，n），M（n，m），
∴AM（m﹣n），OM，
∴AM不一定等于OM，
∴∠BAM不一定是60°，
∴∠MBA不一定是30°．故②错误，
∵M点的横坐标为1，
∴可以假设M（1，k），
∵△OAM为等边三角形，
∴OA＝OM＝AM，
1+k2＝m2，
∵m＞0，k＞0，
∴m＝k，
∵OM＝AM，
∴（1﹣m）21+k2，
∴k2﹣4k+1＝0，
∴k＝2，
∵m＞1，
∴k＝2，故③正确，
如图，作MK∥OD交OA于K．
∵OF∥MK，
∴，
∴，
∵OA＝OB，
∴，
∴，
∵KM∥OD，
∴2，
∴DM＝2AM，故④正确．
故答案为①③④．
三、解答题
13．【解答】解：（1）由题意，∵M（，4）在反比例函数y上，
∴k4＝2．
∴反比例函数表达式为y．
又N（n，1）在反比例函数y上，
∴n＝2．
∴N（2，1）．
设一次函数表达式为y＝ax+b，
∴．
∴a＝﹣2，b＝5．
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5．
（2）由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为y＝﹣2x+5，
∴A（，0），B（0，5）．
∴OA，OB＝5．
∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOMAO×BOAO yNBO×xM
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．
（3）由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长．
∵M（，4）与M'关于y轴对称，
∴M'为（，4）．
又N（2，1），
∴直线M′N为yx．
令x＝0，则y，
∴P（0，）．
14．【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣3，﹣1）；
（2）∵，
∴P是AB的中点，
∴P（﹣1，1），
∴OB的解析式为yx，
当PM取得最小值时，PM⊥OB，
∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，
代入p（﹣1，1）得3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，
联立解析式得，
解得，
∴M（，），
∴PM的最小值为：．
15．【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得，
m＝1×3＝3，
所以反比例函数解析式为y．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
n＝﹣3，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2．
（2）由函数图象可知，
当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2，x的取值范围是：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将y＝0代入y＝x+2得，
x＝﹣2，
所以点M的坐标为（﹣2，0），
所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM．
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于点O成中心对称，
所以BO＝CO，
所以S△ABC＝2S△AOB＝8．
16．【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k，
∴yx+2，
把A（2，n）代入yx+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y，得m＝6，
∴k，m＝6；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
∵P（a，0）为x轴上的动点，
∴PC＝|a+4|，
∴S△CBP PC OB|a+4|×2＝|a+4|，S△CAPPC yA|a+4|×3，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4||a+4|，
∴a＝3或﹣11．
17．【解答】解：（1）∵点A（a，4），
∴AC＝4，
∵S△AOC＝4，即，
∴OC＝2，
∵点A（a，4）在第二象限，
∴a＝﹣2 A（﹣2，4），
将A（﹣2，4）代入y得：k＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为：y，
把B（8，b）代入得：b＝﹣1，
∴B（8，﹣1）
因此a＝﹣2，b＝﹣1；
（2）由图象可以看出mx+n的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8；
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大（PA﹣PB＝PA﹣PB′≤AB′，共线时差最大）
∵B（8，﹣1）
∴B′（8，1）
设直线AP的关系式为y＝mx+n，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得：
，
解得：m，n，
∴直线AP的关系式为yx，
当y＝0时，即x0，解得x，
∴P（，0）．
18．【解答】解：（1）将点A（4，1）代入y，
得，m2﹣3m＝4，
解得，m1＝4，m2＝﹣1，
∴m的值为4或﹣1；反比例函数解析式为：y；
（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，
∴∠CDB＝∠CEA＝90°，
∴△CDB∽△CEA，
∴，
∵CE＝4CD，
∴AE＝4BD，
∵A（4，1），
∴AE＝4，
∴BD＝1，
∴xB＝1，
∴yB4，
∴B（1，4），
将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝﹣1，b＝5，
∴yAB＝﹣x+5，
设直线AB与x轴交点为F，
当x＝0时，y＝5；当y＝0时x＝5，
∴C（0，5），F（5，0），
则OC＝OF＝5，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∴CFOC＝5，
则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，
即OMCF．
19．【解答】解：（1）把点A（﹣2，12），B（8，﹣3）代入y＝kx+b
得：
解得：
∴一次函数解析式为：y
（2）分别过点C、D做CA⊥y轴于点A，DB⊥y轴于点B
∵点C（x1，y1），D（x2，y2），
∴x1 y1＝m，
由（1）点E坐标为（0，9），则AE＝9﹣y1，
∵AC∥BD，CD＝CE，
∴BD＝2x1，EB＝2（9﹣y1），
∴OB＝9﹣2（9﹣y1）＝2y1﹣9，
∴点D坐标为（2x1，2y1﹣9），
∴2x1 （2y1﹣9）＝m，
整理得m＝6x1，
∵x1 y1＝m，
∴y1＝6，
则点D坐标化为（2x1，3），
∵点D在y图象上
∴x1＝2
∴m＝x1 y1＝12．
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