2025年九年级中考数学三轮冲刺训练二次函数压轴题训练（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练二次函数压轴题训练
1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．
①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．
3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），
顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线OP：交BF于点G，求的最大值；
（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．
4．已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为直线x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
5．如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．
①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
6．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知Q（1，）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y＝mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．
（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；
（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；
（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB＝∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．
8．已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
9．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；
（3）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．
11．如图，抛物线yx2x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 　 　，　 　，　 　．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M1，N1．
①求证：△PMM1∽△NPN1；
②设直线MN的方程为y＝kx+m，求证：k+m为常数．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．
（3）在（2）的条件下，点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．
（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
15．抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），
∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5，
∴b＝﹣4，c＝﹣5；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，
令x＝0，则y＝﹣5；
∴C（0，﹣5）
∴直线BC的表达式为：y＝x﹣5，P（x0，4x0﹣5），
①如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，
则D（x0，x0﹣5），
∴S△PBCOB PD5×（x0﹣54x0+5）
x0
（x0﹣2.5）2，
∴当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为；
②存在，理由如下：
由题意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，
由①可得，PE＝x0﹣5﹣x02+4x0+55x0，
∵PF∥x轴，
∴F（4﹣x0，4x0﹣5），
∴PF＝|2x0﹣4|，
∴|2x0﹣4|5x0，
解得x0＝﹣1（舍）或x0＝4或x0或x0（舍），
∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，﹣5），（，）．
2．【解答】解：（1）∵AO＝1，tan∠ACO，
∴OC＝5，即C的坐标为（0，5），
∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点且过C的坐标（0，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点的坐标为（2，9），
过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，
四边形ACDB的面积＝S△AOC+S矩形OMDN﹣S△CDM+S△DNB
；
（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时，
连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，
∵OC＝OB＝5，则BC＝5，
∵∠ACO＝∠PBC，
∴tan∠ACO＝tan∠PBC，
即，
∴，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝45°，
∴∠ECF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴FC＝FE＝1，
∴E的坐标为（1，6），
所以过B、E的直线的解析式为，
令，
解得，或，
所以BE直线与抛物线的两个交点为，
即所求P的坐标为．
3．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点G作GT⊥x轴于点T，如图所示，
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得0＝﹣x2+4x+5，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∵F（0，5），
∴BO＝FO＝5，
设直线BF的解析式为：y＝kx+5，
∴y＝5k+5，
解得k＝﹣1，
∴直线BF的解析式为y＝﹣x+5，
由G在直线BF上，设G（m，﹣m+5），
∵G在直线OP上，直线OP为，
∴﹣m+5m，
∴，
∴，
由P（x1，y1） 在抛物线 y＝﹣x2+4x+5上，知P（x1，4x1+5），
∴，
∵S△BPG＝S△BPO﹣S△BOG，
∴111，
∵，
∴111（x1）2，
∵，，
∴当 时，取最大值，最大值为；
（3）设MF交PH于T，如图：
∵OBFM为正方形，F（0，5），
∴FM＝BM＝OF＝BO＝5，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∵PH⊥x，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∴MTBH为矩形，
∴TH＝MB＝FM＝5，
∵PH＝FC，
∴PT＝MC，
∵BC⊥BE，
∴∠MBC+∠MBE＝90°，
∵∠MBO＝90°，
∴∠OBE+∠MBE＝90°，
∴∠OBE＝∠MBC，
∴∠CMB＝∠EOB＝90°，
∴△EOB∽△CMB，
∴，
∵OB＝MB，
∴EO＝MC，
∵PH＝FC，
∴PT＝MC，
∴EO＝MC＝PT，
设 EO＝MC＝PT＝a，
∴PH＝PT+TH＝5+a，E（0，a），
∵A（﹣1，0），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线AP的解析式为y＝ax+a，
∵PH＝a+5，P在直线AP上，
∴a+5＝ax+a，
∴，即P点横坐标为 ，
∴x1，y1＝a+5，
∴a，y15
∴54x1+5，
∴45＝0，
∴（x1+1）（5x1+5）＝0，
解得x1＝1或x1或x1，
∵x1，
∴x1，
∴点P的横坐标为．
方法2：
设P（m，﹣m2+4m+5），
∴OH＝m，PH＝﹣m2+4m+5，
∵tan∠EAO，
∴，
∴EO＝5﹣m，
∵BC⊥BE，
∴∠CBM＝90°﹣∠MBE＝∠EBO，
∵∠CMB＝90°＝∠EOB，BM＝OB，
∴△CMB≌△EOB（ASA），
∴CM＝EO＝5﹣m，
∴CF＝CM+FM＝5﹣m+5＝10﹣m，
∵PH＝CF，
∴﹣m2+4m+5＝10﹣m，
解得m或m，
∵m，
∴m，
∴点P的横坐标为．
4．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），
∴c＝4；
∵对称轴为直线：x1，
∴b＝﹣2，
∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4．
（2）当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当b，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；
∴b2+b2+b2＝21，解得b1，b2（舍去）；
②b﹣3，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b3＝4，b4＝﹣1（舍去）；
③b﹣3b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x处取到；
∴（）2+b （）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）．
综上所述，b的值为或4．
（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，
设函数y3＝y2﹣y1＝x2+3x+m﹣4，
对称轴为直线x0，
∴当0≤x≤1时，y3随x的增大而增大，
∴当x＝0时，y3即y2﹣y1有最小值m﹣4，
∴m﹣4≥0，
∴m≥4，即m的最小值为4．
5．【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），得：
，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3．
（2）①∵点P（m，n）在抛物线上y＝x2﹣2x﹣3，
∴P（m，m2﹣2m﹣3），
∴PQ＝m﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+3＝﹣（m）2，
∵过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q，
∴Q（m，m），
设点P到直线y＝x的距离为h，
∵直线y＝x是一三象限的角平分线，
∴PQh，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，PQ取得最大值，
∴当m时，PQ有最大值，
∴当P点到直线l：y＝x的距离最大时，m的值为．
②∵抛物线与y轴交于点C，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵OC∥PQ，且以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴PQ＝OC，
又∵OC＝3，PQ＝|﹣m2+3m+3|，
∴3＝|﹣m2+3m+3|，
解得：m1＝0，m2＝3，m3，m4，
当m1＝0时，PQ与OC重合，菱形不成立，舍去；
当m2＝3时，P（3，0），Q（3，3），
此时，四边形OCPQ是平行四边形，OQ，
∴OQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
当m3时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，OQ，
∴CQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
当m4时，Q（，），
此时，四边形OCQP是平行四边形，OQ，
∴OQ≠OC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；
综上所述：不存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．
6．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y2；
（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），
由，可得，
∴x1+x2＝2k，x1 x2＝﹣4，
∴，
∴，
∴，
∴当k＝0时2取最小值为4．
∴△CMN面积的最小值为4．
②假设抛物线上存在点P（m，2），使得点P与点Q关于直线l对称，
∴OP＝OQ，即，
解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，
∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，
当时，点P（），
线段PQ的中点为（），
∴，
∴，
∴直线l的表达式为：y＝（1）x，
当时，点P（，），
线段PQ的中点为（，﹣1），
∴，
∴，
∴直线l的解析式为y＝（1）x．
综上，点P（，），直线l的解析式为y＝（1）x或点P（，），直线l的解析式为y＝（1）x．
7．【解答】解：（1）令y＝mx2﹣16mx+48m＝m（x﹣4）（x﹣12）＝0，则x1＝12，x2＝4，
∴A（12，0），即OA＝12，
又∵C（0，48m），
∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA＝OC，
即12＝48m，
∴m；
（2）由（1）可知点C（0，48m），
∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，
∴必有E（0，﹣48m），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
将E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得
，解得，
∴直线AE的解析式为y＝4mx﹣48m，
∵点D为直线AE与抛物线的交点，
∴解方程组，可得或（点A舍去），
即点D的坐标为（8，﹣16m）；
（3）当∠ODB＝∠OAD，∠DOB＝∠AOD时，△ODB∽△OAD，
∴OD2＝OA×OB＝4×12＝48，
∴OD＝4，
又∵点D为线段AE的中点，
∴AE＝2OD＝8，
又∵OA＝12，
∴OE4，
∴D（6，﹣2），
把D（6，﹣2）代入抛物线y＝mx2﹣16mx+48m，可得﹣236m﹣96m+48m，
解得m，
∴抛物线的解析式为y（x﹣4）（x﹣12），
即y（x﹣8）2，
∵点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，
∴y0，
令t＝﹣4my02﹣12y0﹣50＝﹣2y02﹣12y0﹣50＝﹣2（y0+3）2+4，
则当y0时，t最大值＝﹣2（3）2+4，
若要使n4my02﹣12y0﹣50成立，则n，
∴n≥3，
∴实数n的最小值为．
8．【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，
y关于x的函数解析式为y＝3x，
此时y＝3x与x轴的交点坐标为（，0），
与y轴的交点坐标为（0，）；
②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．
当y＝0时，﹣2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2．
∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）．
当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根．
∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）a＝0，
解得a，
此时yx2x，
当x＝0时，y，
∴与y轴的交点坐标为（0，），
当y＝0时，x2x0，
解得x1＝x2，
∴与x轴的交点坐标为（，0），
综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，，
故答案为：2或0或；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，
根据题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，
当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，
∴P（1，9），
∵B（4，0），C（0，8），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，
∴F（1，6），
∴PF＝9﹣6＝3，
∴△PBC的面积OB PF6；
②S1﹣S2存在最大值，
理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，
由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），
∴PH＝﹣m2+2m+8，
∵OD∥PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴，
∴，
∴OD＝8﹣2m，
∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC3m2+8m＝﹣3（m）2，
∵﹣3＜0，0＜m＜4，
∴当m时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．
9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），
∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
设直线BC的表达式为y＝kx+t，
将B（2，0），C（0，2）代入得，
，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．
（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），
∴点M的坐标为（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
当△OCM为等腰三角形时，
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得或m（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2（舍）或m＝0（舍去）．
综上，m＝1或m．
（3）∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若点P在点B的左侧，
则，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
直线OP的表达式为y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得或m（舍去），
∴，即OP＝2，
∴，即，
解得OQ，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
，
∴，即，
解得m＝1±（舍去）．
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
PQ，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，
∴，即，
解得m，（负值舍去），
∴P（），Q（0.）．
②若点P在点B的右侧，
则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，
直线OP的表达式为y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1或m＝1（舍去），
∴，
∴，即，
解得OQ＝1，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，
PQ，OQ＝m2﹣2m﹣2，
∴，即，
解得m＝1（舍）或m＝1（舍去），
综上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，）或．
10．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），
即﹣12a＝4，则a，
故抛物线的表达式为：yx2x+4①；
（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO，
∵∠CAO+∠ABP＝90°，
则tan∠ABP，
故设直线BP的表达式为：y（x﹣4）②，
联立①②得：x2x+4（x﹣4），
解得：xx0（不合题意的值已舍去）；
（3）作∠EAG＝∠BCD，
设AG＝2BC＝2×48，
∵AE＝2CD，
∴△BCD∽△GAE且相似比为1：2，
则EG＝2BD，
故当C、E、G共线时，CE+2BD＝CE+EG＝CG为最小，
在△ABC中，设AC边上的高为h，
则S△ABCAC hAB×CO，
即5h＝4×7，
解得：h，
则sin∠ACBsin∠EAG，
则tan∠EAG＝7，
过点G作GN⊥x轴于点N，
则NG＝AG sin∠EAG，
即点G的纵坐标为：，
同理可得，点G的横坐标为：，
即点G（，），
由点C、G的坐标得，CG，
即CE+2BD的最小值为．
11．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则x2x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，
∴直线BC的解析式为：yx+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，m2m+4），Q（m2m，m2m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2m）m2m，
∵PQ∥AB，
∴（m）2，
∴当m时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：yx+4，
令x2x+4x+4，
解得x或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m．
12．【解答】（1）解：将A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴E（1，﹣9）；
（2）①证明：∵PN⊥PM，
∴∠MPN＝90°，
∴∠NPN1+∠MPM1＝90°，
∵NN1⊥x轴，MM1⊥x轴，
∴∠NN1P＝∠MM1P＝90°，
∴∠N1PN+∠PNN1＝90°，
∴∠MPM1＝∠PNN1，
∴△PMM1∽△NPN1；
②证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，
设N（x1，kx1+m），M（x2，kx2+m），
联立方程组，
整理得x2﹣（2+k）x+1﹣m＝0，
∴x1+x2＝2+k，x1 x2＝1﹣m，
∵△PMM1∽△NPN1，
∴，即，
∴k+m＝（k+m）2，
∴k+m＝1或k+m＝0，
∵M、N与P不重合，
∴k+m＝1，
∴k+m为常数．
13．【解答】解：（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，
则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），
则，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）存在，理由：
∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），
由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，
设点Q的坐标为（s，t），
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（﹣1，5）或（﹣1，5）或（﹣1，）或（﹣1，）；
（3）存在，理由：
由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），
连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，
理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，
则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，
由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y（x+2），
当x＝﹣1时，y（x+2），故点M的坐标为（﹣1，），
则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝11．
14．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：
∴抛物线解析式为：yx2x﹣2；
（2）如图1，令y＝0，可得x2x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0）．B（3，0），C（0，﹣2），
∴AB＝4，
∠AOC＝90°，AC，AB＝4，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；
当△AOC∽△AEB时
（）2＝（）2，
∵S△AOC＝1，∴S△AEB，
∴AB×|yE|，AB＝4，则yE，
则点E（，）；
由△AOC∽△AEB得：
∴；
（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，
则FG＝CFsin∠FCGCF，
∴CF+BF＝GF+BF≥BE，
当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
由（2）可知∠ABE＝∠ACO
∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4，
|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3，
∴当y时，即点F（0，），CF+BF有最小值为；
（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：
由（3）易得F（0，），
∵C（0，﹣2）∴H（0，2）
设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．
则Rt△QHM∽Rt△FQM
∴QM2＝HM FM，
∴12＝（2﹣m）（m），
解得：m，
则点Q（1，）或（1，）
②当点H为直角顶点时：
点H（0，2），则点Q（1，2）；
③当点F为直角顶点时：
同理可得：点Q（1，）；
综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，）．
15．【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得
，解得，
抛物线的解析式为yx2；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO＝∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3．
∵∠DPO＝∠POB，
∴PG＝OG．
设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为yx
解方程组得，．
∵P（1，﹣3），
∴D（，）．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，）．
（2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c＝0，c＝﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴，
∴OFamt+at2．
同理OE＝﹣amt+at2．
∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC．
∴2．
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