2025年中考数学一轮复习 6 一元二次方程小测验（含详解）

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6 一元二次方程
分值：50分 时间30分钟
选择题（15分）
1、（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2、（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
3、（2024·湖北·模拟预测）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由降至，设平均每次降息的百分率是x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4、（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
5、（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
填空题（15分）
6、（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ．
7、（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 ．（写一个即可）
8、（2024·山东·模拟预测）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ．
9、（2024·浙江·模拟预测）已知实数满足则的值为 ．
10、（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ．
解答题（20分）
11、（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．
12、（2024四川遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．
13、 [综合与实践]
【主题】探究日历中的奥秘.
【素材】2024年10月1日是我国成立75周年纪念日，本月日历如图所示.
步骤一：在本月的日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)；
步骤二：设这四个数从小到大依次为a，b，c， C.
【观察】小方框中的4个数a，b，c，d，总存在着某种数量关系.
【猜想与应用】(1)请用含a的式子表示b，c，d；
(2)若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为128，求这个最大数.
14、（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
答案版
一、选择题（15分）
1、（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、不是整式方程，故此选项不符合题意；选：A．
2、（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，选：C．
3、（2024·湖北·模拟预测）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由降至，设平均每次降息的百分率是x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意得：．选：A．
4、（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；选A
5、（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
解：如图所示，四边形是黄金矩形，，，
设，，假设存在点，且，则，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
，
方程无解，即点不存在．
故选：D．
二、填空题（15分）
6、（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ．
【答案】2028
【详解】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，答案为：2028．
7、（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 ．（写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：依题意，令方程另一个根为，
则，，
该方程可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
8、（2024·山东·模拟预测）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ．
【答案】
【详解】解：列表得：
共有36种等可能的结果，
关于x的一元二次方程有实数解，
当方程有实数根，，
，
，
方程有实数根的有17种情况，
∴使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ，答案为：．
9、（2024·浙江·模拟预测）已知实数满足则的值为 ．
【答案】2或
解：∵
∴
先记
∴
∵
∴
则
∴或
综上：
当时，
∴
∴，负值已舍去；
当时，
∴
∴，负值已舍去；
当时，
∴
∴，负值已舍去；
综上：2或
10、（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ．
【答案】36
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
∴
，
∴代数式的最小值为36．答案为：36．
三、解答题（20分）
11、（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．
【答案】，方程的另一个根是
【详解】解：∵是的一个根，
∴
解得，
将代入原方程得，
∴
解得，，
∴，方程的另一个根是．
12、（2024四川遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）或．
【小问1详解】
证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
13、 [综合与实践]
【主题】探究日历中的奥秘.
【素材】2024年10月1日是我国成立75周年纪念日，本月日历如图所示.
步骤一：在本月的日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)；
步骤二：设这四个数从小到大依次为a，b，c， C.
【观察】小方框中的4个数a，b，c，d，总存在着某种数量关系.
【猜想与应用】(1)请用含a的式子表示b，c，d；
(2)若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为128，求这个最大数.
解：(1)b＝a＋1，c＝a＋7，d＝a＋8；
(2)依题意，得ad＝128，
∴a(a＋8)＝128，
整理得a2＋8a－128＝0，解得a1＝8，a2＝－16(不合题意，舍去)，
∴d＝8＋8＝16，
即这个最大数为16.
14、（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【答案】(1)；
(2)能，
(3)的最大值为800，此时
【详解】（1）解：∵篱笆长，
∴，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面积
；
（2）解：令，则，
整理得：，
此时，，
所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为；
∴
∴
∵，
∴；
（3）解：
∵
∴有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
即当时，的最大值为800
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