霍山县漫水河中心校初中部“三段式”有效教学导学案
年级 九 学科组 数学 课题 解直角三角形应用 6 主备教师 王甫凤
审核人 授课教师 王甫凤 上课时间
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第十三课时 第24章 解直角三角形的应用（6）
【学习目标】
1.巩固用三角函数有关知识解决问题，使学生学会解决坡度问题．
2.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3.培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
【学习重点】解决有关坡度的实际问题．
【学习难点】理解坡度的有关术语．注意对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．
【导学过程】
1．创设情境，导入新课．
例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面
是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的
坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，
求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡
AB的长(精确到0.1m)．
通过前面例题的教学，学生已
基本了解解实际应用题的方法，会
将实际问题抽象为几何问题加以解
决．但此题中提到的坡度与坡角的
概念对学生来说比较生疏，同时这
两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水
平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示，即ｉ＝。
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
答：i＝＝tan
这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
练习：
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，坡角______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．
(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．
答：(1)
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，
因为 tan＝，AB不变，tan随BC增大而减小 (2)与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα也随之增大，因为tan=不变时，tan随
AB的增大而增大.
2．探究展示：
引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333，查表得
α≈18°26′
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
3．巩固练习
(1)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题．
2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，
如何利用条件求AD？
4.总结与扩展
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．
（1）弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题
（2）认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
（3）选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
（4）按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
5.布置作业
（1）看教材，培养看书习惯，作本章小结．
（2）课本习题P96第5，8题
6.评价
本节课我的收获: 。
学习评价：
自我评价：
同伴评价：
组长评价：
教师评价：
班级： 姓名：霍山县漫水河中心校初中部“三段式”有效教学导学案
年级 九 学科组 数学 课题 解直角三角形应用 1 主备教师 王甫凤
审核人 授课教师 王甫凤 上课时间
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第八课时 第24章 解直角三角形的应用（1）
【学习目标】
1.使学生弄懂直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2.初步运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，会分析问题、解决问题．
3.学用数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．
【学习重点】直角三角形的解法．
【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用；理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
【导学过程】
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有
哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanA
(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二） 探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例1.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= a=，解这个三角形．
例2.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例3.在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：
1.在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2.解决问题要结合图形。
四、布置作业．
p96 第1，2题
五、评价
本节课我的收获: 。
学习评价：
自我评价：
同伴评价：
组长评价：
教师评价：
班级： 姓名：霍山县漫水河中心校初中部“三段式”有效教学导学案
年级 九 学科组 数学 课题 解直角三角形.3 主备教师 王甫凤
审核人 授课教师 王甫凤 上课时间
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第七课时 第24章 解直角三角形（3）
【学习目标】
⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角；
⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法；
⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题。
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型。
【导学过程】
一、自学提纲：
1.坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即i = 铅直高度:水平宽度，常写成i=h:l的形式，如i=1:2.5，
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有
什么关系？
（ 这一关系在实际问题中经常用到）
2.课堂练习：
二、教师点拨：
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
例6 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
三、学生展示：
1、完成课本91页练习：
2、补充练习：
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
坡角______度．
3、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
四、课堂小结：
五、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第5、6、7题
六、评价
本节课我的收获: 。
学习评价：
自我评价：
同伴评价：
组长评价：
教师评价：
班级： 姓名：
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1霍山县漫水河中心校初中部“三段式”有效教学导学案
年级 九 学科组 数学 课题 解直角三角形.1 主备教师 王甫凤
审核人 授课教师 王甫凤 上课时间
发放导学案时间
第五课时 第24章 解直角三角形（1）
【学习目标】
（1）使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
（2）通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
（3）渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【学习重点】直角三角形的解法．
【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
【自学提纲】
1.在三角形中共有几个元素？
2.直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成:
(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
（ 以上三点正是解直角三角形的依据．）
【学习过程】
一、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.
梯子与地面所成的角α一般要满足500≤α≤750，
(如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α等
于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？
三、教师点拨：
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，
a=，解这个三角形．
例2在Rt△ABC中， ∠B =35o，b=20，解这个三角形．
四、学生展示：
完成课本91页练习
【自结测试】
补充题
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
3、 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
4、Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
6、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（ ）
A． B． C．
【课堂小结】
小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第1题、第2题．
七、评价
本节课我的收获: 。
学习评价：
自我评价：
同伴评价：
组长评价：
教师评价：
班级： 姓名：霍山县漫水河中心校初中部“三段式”有效教学导学案
年级 九 学科组 数学 课题 解直角三角形.2 主备教师 王甫凤
审核人 授课教师 王甫凤 上课时间
发放导学案时间
第六课时 第24章 解直角三角形（2）
【学习目标】
⑴使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：
tanA=
二、合作交流：
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
三、教师点拨：
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置 这样的最远点与P点的距离是多少 (地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)
四、学生展示：
课本93页 练习 第1 、2题
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第3、4题
七、评价
本节课我的收获: 。
学习评价：
自我评价：
同伴评价：
组长评价：
教师评价：
班级： 姓名：霍山县漫水河中心校初中部“三段式”有效教学导学案
年级 九 学科组 数学 课题 解直角三角形应用 5 主备教师 王甫凤
审核人 授课教师 上课时间
发放导学案时间
第十二课时 第24章 解直角三角形的应用（5）
【学习目标】
1.巩固直角三角形中锐角的三角函数，使学生会解关于坡度角和有关角度的问题．
2. 逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
3. 培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
【学习重点】能熟练运用有关三角函数知识．
【学习难点】解决实际问题．注意株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
【导学过程】
一、探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
解：
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
二、探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？
练习P95 练习1，2。
三、小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
课本习题P97 9，10
五、评价
本节课我的收获: 。
学习评价：
自我评价：
同伴评价：
组长评价：
教师评价：
班级： 姓名：霍山县漫水河中心校初中部“三段式”有效教学导学案
年级 九 学科组 数学 课题 解直角三角形应用 4 主备教师 王甫凤
审核人 授课教师 王甫凤 上课时间
发放导学案时间
第十一课时 第24章 解直角三角形的应用（4）
【学习目标】
1.使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
2.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
【学习重点】把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
【学习难点】如何添作适当的辅助线．
【导学过程】
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例： 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．
分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但
问题已是处理一些实际应用题，在这些问题
中，有较多的专业术语，关键是要分清每一
术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角
三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
四、布置作业
1．如图6-28，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，AB=8, DE=4, cosA=, 求CD的长.
2．教材课本习题P96第6，7，8题
五、评价
本节课我的收获: 。
学习评价：
自我评价：
同伴评价：
组长评价：
教师评价：
班级： 姓名：第24章 解直角三角形单元达标检测
（时间：90分钟，分值：100分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是……………………（ ）
A．sinA=sinB B．cosA=sinB C．sinA=cosB D．∠A+∠B=90°
2．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为……………………（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．无法确定
3．已知锐角α，且tanα=cot37°，则a等于……………………………………（ ）
A．37° B．63° C．53° D．45°
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（ ）
A．c= B．c= C．c=a·tanA D．c=a·cotA
5．如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB的中点N的最短路线是（ ）
A．8 B．2 C．2 D．2+2
6．已知∠A是锐角，且sinA=，那么∠A等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．当锐角α>30°时，则cosα的值是（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降………………（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于………………（ ）
A．6 B． C．10 D．12
10．已知sinα=，求α，若用计算器计算且结果为“”，最后按键（ ）
A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT “”
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，3×3网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形ABCD的周长是_______．
12．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．
13．若sin28°=cosα，则α=________．
14．已知△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．
15．某坡面的坡度为1：，则坡角是_______度．
16．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是________厘米．
三、解答题（每题9分，共18分）
17．由下列条件解题：在Rt△ABC中，∠C=90°：
（1）已知a=4，b=8，求c．
（2）已知b=10，∠B=60°，求a，c．
（3）已知c=20，∠A=60°，求a，b．
18．计算下列各题．
（1）sin230°+cos245°+sin60°·tan45° （2）+tan60°
（3）tan2°tan4°·tan6°…tan88°
四、解下列各题（第19题6分，其余每题7分，共34分）
19．已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四种三角函数值．
20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？
21．如图所示的燕服槽一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积．
22．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）
23．请你设计一个方案，测量一下你家周围的一座小山的高度．小山底部不能到达，且要求写出需要工具及应测量数据．
24．（附加题10分）如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3米远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45°夹角范围内，才能有效避免雷击（α≤45°），已知接收设备高80厘米，那么避雷针至少应安装多高？
答案：
1．A 2．C [点拨]长为8的边即可能为直角边，也可能为斜边．
3．C [点拨]tanα=cot37°，所α+37°=90°即α=53°．
4．A [点拨]sinA=，所以c=．
5．C [点拨]利用展开图得MN==2． 6．C
7．D [点拨]余弦值随着角度的增大而减小，α>30°，cos30°=，所以cosa<．
8．A 9．A [点拨]tanA=，AC==6． 10．D
11．3+2[点拨]四边形ABCD的周长为+++ =3+2．
12．4+ [点拨]原式=2×+2×+3×1=4+． 13．62°
14． [点拨]BC===12，tanA==．
15．30° [点拨]坡角α的正切tanα=，所以α=30°．
16．6 [点拨]根据条件可得筷子长为12厘米，
如图AC=10，BC== =6．
17．解：（1）c= =4；（2）a=b×cotB=10×=，c=
（3）a=c×sinA=20×=10，b=c×cos60°=10×=5．
18．解：（1）原式=（）2+（）2+××1=++=+
（2）原式=+=+
（3）原式=tan2°·tan4°·tan6°·…cot6°·cot4°·cot2°
=（tan2°·cot2°）（tan4°·cot4°）·（tan6°·cot6°）… =1
19．解：如下图，AD⊥BC，CE⊥AB，AB=AC．
因为AD⊥BC，AB=AC，所以BD=CD=5．
在直角三角形ABD中，AD==12．
S△ABC=×AB×CE=×BC×AD，所以×13×CE=×10×12，CE=．
在直角三角形ACE中，AE==．
在直角三角形ACE中，
sin∠CAE=，
cos∠CAE=，
tan∠CAE=，
cot∠CAE=．
20．第一次观察到的影子长为5×cot45°=5（米）；
第二次观察到的影子长为5×cot30°=5（米）．
两次观察到的影子长的差是5-5米．
21．解：如下图，作DF⊥BC于点F．由条件可得四边形AEFD是矩形，AD=EF=10．
AB的坡角为1：1，所以=1，所以BE=10．同理可得CF=10．
里口宽BC=BE+EF+FC=30（厘米）．
截面积为×（10+30）×10=200（平方厘米）．
22．过点C作CD⊥AB于点D．CD就是连接两岸最短的桥．设CD=x米．
在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x．
在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x．
因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9（米）．
24．解：如图，AE⊥CD于点E，AB=CE=0.8，AE=BC=3．
在直角三角形ADE中，cotα=，DE=AE×cotα=3cotα．
因为α≤45°，所以cotα≥1，所以DE>3．
CD=CE+DE>3.8（米）．
因此，避雷针最少应该安装3.8米高．
- 1 -霍山县漫水河中心校初中部“三段式”有效教学导学案
年级 九 学科组 数学 课题 解直角三角形应用 2 主备教师 王甫凤
审核人 授课教师 王甫凤 上课时间
发放导学案时间
第九课时 第24章 解直角三角形的应用（2）
【学习目标】
1.使学生弄懂仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题．
2. 培养分析问题、解决问题的能力．
3.学用数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．
【学习重点】学习将某些实际问题中的数量关系，转化到直角三角形中元素之间的关系，学会解决问题．
【学习难点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【导学过程】
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
tanA=
（二）探究活动
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所
成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，
在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探
测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，
从飞机上看地平面控制点B的俯角α
=16°31′，求飞机A到控制点B距离
(精确到1米)
解：在Rt△ABC中，sinB=
∴AB===4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。
小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
四、布置作业
课本p96 第 3，.4，.6题
霍山县漫水河中心校初中部“三段式”有效教学导学案
年级 九 学科组 数学 课题 解直角三角形应用 3 主备教师 王甫凤
审核人 授课教师 王甫凤 上课时间
发放导学案时间
第十课时 第24章 解直角三角形的应用（3）
【学习目标】
1.使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.
2.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
【学习重点】学习将某些实际问题中的数量关系，转化到直角三角形中元素之间的关系，学会解决问题．
【学习难点】要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【导学过程】
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角
形)的跨度为10米，∠A-26°， 求中柱BC
(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01
米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方
法求出BC和AB．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东
65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方
向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34
方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
3.巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米
的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72
米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题
转化为数学问题．Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°
CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
五、评价
本节课我的收获: 。
学习评价：
自我评价：
同伴评价：
组长评价：
教师评价：
班级： 姓名：
P
A
B
65
34
