第七章 复数 单元练习（含答案）

第七章 复数练习
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则复数的虚部为（　　）
A． B． C．1 D．
2．已知复数z满足：，则（　　）
A． B． C．5 D．
3．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设a，b为实数，若复数 ，则（　　）
A． B．a=3，b=1 C． D．a=1，b=3
5．在复平面内，复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称，则（　　）
A． B． C．5 D．
6．已知），若为纯虚数，则（　　）
A．1 B．2 C．或 D．1或2
7．已知定义在复数集C上的函数f(x)满足 ，则f(1+i)等于（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．2+i
8．若 ( 是虚数单位)，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设，为复数，则下列说法中正确的有（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则为纯虚数
10．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小值为
B．的最小值为4
C．当时，则
D．当时，则
11．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限
C．
D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数（i为虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则　 　.
13．复数与复数在复平面内对应的点分别为，若为坐标原点，则的大小为　 　.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a=2，⊙O为△ABC的外接圆，.
（1）若m=n=1，则　 　.
（2）若m，，则点P的轨迹所对应图形的面积为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．已知复数满足，的虚部为．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数，，在复平面上对应的点分别为，，，求的值．
16．已知复数（，i为虚数单位），z在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
（1）求实数b的值；
（2）若复数z是关于x的方程（，且）的一个复数根，求的值．
17．已知复数满足方程，其中为虚数单位，.
（1）当，时，求；
（2）若，求的最小值.
18．任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立．设两个复数用三角函数形式表示为：，则：．如果令，则能导出复数乘方公式：．请用以上知识解决以下问题．
（1）试将写成三角形式；
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
（3）计算：的值．
19．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．
形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，称为虚数单位，当时，为实数；当且时，为纯虚数其中，叫做复数的模．
设，，，，，
如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．
叫做复数的三角形式．
（1）设复数，，求、的三角形式；
（2）设复数，，其中，求；
（3）在中，已知、、为三个内角、、的对应边借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
；
，，．
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．A
5．C
6．B
7．C
8．D
9．B,D
10．A,D
11．A,C,D
12．1
13．
14．（1）
（2）
15．（1）解：设z=x+yi，
∴
∵，的 虚部为 ，
∴
解得或，
∴z=1+i或z=1-i.
（2）解：当复数z的虚部大于零，
则z=1+i，z2=2i，z-z2=1-i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1），
所以.
16．（1）解：∵z在复平面上对应的点在第四象限，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：（法一）由题可知，为关于x方程的两个复数根，
∴，解得，
∴；
（法二）将代入方程可得，
∴，解得，
∴.
17．（1）解：当，时，.
方法一：，.
方法二：.
（2）解：，
，即，，
，的最小值为.
18．（1）解： 由于，故，
则
（2）解： 设模为1的复数为，
则，
由复数乘方公式可得，
故
（3）解： 首先证明：；
由于，则，
则，故
，
则可得
，，
所以
19．（1），．
（2）设，，的模为，的模为，，，
对于，有，，
对于，有，，
所以，，，，
所以．
，所以无意义，
即的角的终边在轴上，又，
所以，．
（3）证明：如图，建立平面直角坐标系，
在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，
则，所以，
即，即，
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，，
同理，，
，所以，
，，．
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