勾股定理
中考考点 考查频率 新课标要求
直角三角形的性质与判定 ★★ 1.理解直角三角形的概念. 2.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
勾股定理 ★★★ 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
勾股定理逆定理 ★★
此部分内容在中考中一直是较为重要的考点，考查难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更是考查的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，也可以融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考查形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考查方向.
一．直角三角形性质
①直角三角形的两锐角互余；
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半；
③直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半．
二．勾股定理概念
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
（1）；（2）．
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形．
三．勾股定理的证明
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为，
大正方形面积为，
所以．
方法三：，
，
化简得证．
四．勾股数
（1）概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
（2）常见的勾股数：如；；；等
（3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
①（为正整数）．
②（为正整数）．
③（，为正整数）．
勾股定理
（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，过点作于，
，，，
，，
，
，
，
故选B．
1.如图，在中，已知，，则边上的高为
A． B． C． D．无法确定
【答案】
【解析】解：作于点，作交的延长线于点，如图所示，
，，，
，
，
，
，
解得，
故选：．
2.如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
边长的高，
故选：．
3.如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，．连接，若，则的长为
A．2 B．3 C． D．
【答案】
【解析】解：如图，连接，由尺规作图可知为的垂直平分线，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
为斜边上的中线，
，
故选：．
4.如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形的面积是
A．12 B．24 C．30 D．10
【答案】
【解析】解：由勾股定理可得：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
正方形的边长的平方，
正方形的面积，
故选：．
5.如图，线段与相交于点，，，，则的最小值是
A． B．5 C． D．
【答案】
【解析】解：如图，
过点作，过点作，与相交于点，连接，则四边形为平行四边形，
，
，
，
当三点，，在同一条直线上时，的长就是所求的最小值．
过点作于点．
，，
．
在中，，
．
．
在中，由勾股定理得，
即的最小值是．
故选：．
勾股定理的证明
（2024·四川省南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成在正方形中，下列三个结论：若，则；若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：在中，
．
令，，
则，
解得舍负，
所以，．
因为外部的四个直角三角形全等，
所以，
所以．
故正确．
因为的面积是正方形面积的倍，
所以．
因为，
所以，
整理得，
．
则，
解得舍负，
则点是的三等分点．
故正确．
由旋转可知，
，
所以点在以为直径的圆上．
在中，
．
当点，，共线时，取得最大值，
此时．
故正确．
故选：．
根据的正切值，结合勾股定理可求出的值．根据的面积与正方形面积之间的关系，得出关于和的方程，据此可解决问题．得出点的运动轨迹即可解决问题．
本题考查旋转的性质、勾股定理及解直角三角形，熟知图形旋转的性质及勾股定理是解题的关键．
1.如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上．
（1） ．
（2）利用正方形网格，证明（1）中的结论．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解析】（1）解：，
故答案为：；
（2）证明：延长交格点于，连接，如图，
则，，，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
，
．
2.如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，试求的值．
【解析】解：大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
直角三角形的斜边的平方为13，
直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，
，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，
，即，
．
3.（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
．分类讨论思想 ．整体思想 ．数形结合思想 ．转化思想
（2）如图2，，，且，，在同一直线上．
求证：；
（3）伽菲尔德年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
【解析】解：（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出：
；
利用数形结合得出：在推得这个公式的过程中，主要运用了数形结合思想；
故答案为：；；
（2），
．
，
，
，
即．
（3），，
，
，
即
勾股定理的逆定理
下列长度的三条线段首尾相接不能构成直角三角形的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【解析】解：．因为，所以以，，为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
．因为，所以以，，为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
．因为，所以以，，为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
．因为，所以以，，为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
1.如图，在中，，，边上的中线，则的面积为
A．30 B．24 C．20 D．48
【解析】解：延长到，使，连接，
为的中点，
，
在与中，
，
，
．
又，，，
，
，
则．
故选：．
2.有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为
A．3 B． C．3或 D．3或
【答案】
【解析】解：当要求的边是斜边时，则第三边的长是；
当要求的边是直角边时，则第三边的长是．
故选：．
3.小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是
A．2、3、4 B．3、4、5 C．4、5、6 D．5、6、7
【答案】
【解析】解：，故选项不符合题意；
，故选项符合题意；
，故选项不符合题意；
，故选项不符合题意；
故选：．
4.下列条件中不能判断是直角三角形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：，故是直角三角形，选项不符合题意；
，
，故是直角三角形，选项不符合题意；
，
是直角三角形，选项不符合题意；
，
最大角，故不是直角三角形，选项符合题意；
故选：．
勾股定理的应用
（2024·江苏省淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺无空隙、不重叠的拼接而成，铺设方式如图图是其中一块地砖的示意图，，，，，，部分尺寸如图所示单位：结合图、图信息，可求得的长度是______．
【答案】
【解析】解：作，设，，
由图一可知，，，四边形是矩形，
则，，
则，
，
，
．
故答案为：．
作，设，，由图一可知，，，四边形是矩形，，再根据勾股定理求出，即可解答．
本题考查了平面镶嵌，勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识构造出直角三角形是解题的关键．
1.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：如图是长为的细木筷斜放在杯子内的示意图，
在中，，，
，
细木筷在杯子内的部分最长为，
，
木筷露在杯子外面的部分至少，
故选：．
2.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：设绳索的长是，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
即绳索的长是，
故选：．
3.如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【答案】
【解析】解：设，则，
依题意知，
在中，，
即，解得，
米．
故选：．勾股定理
中考考点 考查频率 新课标要求
直角三角形的性质与判定 ★★ 1.理解直角三角形的概念. 2.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形
勾股定理 ★★★ 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
勾股定理逆定理 ★★
此部分内容在中考中一直是较为重要的考点，考查难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更是考查的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，也可以融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考查形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考查方向.
一．直角三角形性质
①直角三角形的两锐角互余；
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半；
③直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半．
二．勾股定理概念
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
（1）；（2）．
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形．
三．勾股定理的证明
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为，
大正方形面积为，
所以．
方法三：，
，
化简得证．
四．勾股数
（1）概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
（2）常见的勾股数：如；；；等
（3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
①（为正整数）．
②（为正整数）．
③（，为正整数）．
勾股定理
（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是( )
A. B. C. D.
1.如图，在中，已知，，则边上的高为
A． B． C． D．无法确定
2.如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为
A． B． C． D．
3.如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，．连接，若，则的长为
A．2 B．3 C． D．
4.如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形的面积是
A．12 B．24 C．30 D．10
5.如图，线段与相交于点，，，，则的最小值是
A． B．5 C． D．
勾股定理的证明
（2024·四川省南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解<<周髀算经>>时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成在正方形中，下列三个结论：若，则；若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
1.如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上．
（1） ．
（2）利用正方形网格，证明（1）中的结论．
2.如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，试求的值．
3.（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
．分类讨论思想 ．整体思想 ．数形结合思想 ．转化思想
（2）如图2，，，且，，在同一直线上．
求证：；
（3）伽菲尔德年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
勾股定理的逆定理
下列长度的三条线段首尾相接不能构成直角三角形的是
A．，， B．，， C．，， D．，，
1.如图，在中，，，边上的中线，则的面积为
A．30 B．24 C．20 D．48
2.有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为
A．3 B． C．3或 D．3或
3.小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是
A．2、3、4 B．3、4、5 C．4、5、6 D．5、6、7
4.下列条件中不能判断是直角三角形的是
A． B． C． D．
勾股定理的应用
（2024·江苏省淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺无空隙、不重叠的拼接而成，铺设方式如图图是其中一块地砖的示意图，，，，，，部分尺寸如图所示单位：结合图、图信息，可求得的长度是______．
1.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有
A． B． C． D．
2.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是
A． B． C． D．
3.如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
