解直角三角形及其应用
中考考点 考查频率 新课标要求
锐角三角函数 ★★ 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(). 知道 30°，45°，60°角的三角函数值. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
解直角三角形 ★★ 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
解直角三角形 的应用 ★★★
锐角三角函数及其应用是中考中比较重要的考点,其考查内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考查，是近几年中考填空压轴题常考题型.在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
一、特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1
二、直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
（2）锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边角之间的关系：
sin A＝，cos A＝，tan A＝，
sin B＝，cos B＝，tan B＝．
三、解直角三角形的几种类型及解法
（1）已知一条直角边和一个锐角（如a，∠A），
其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝（或b＝）；
（2）已知斜边和一个锐角（如c，∠A），
其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A（或b＝）；
（3）已知两直角边a，b，
其解法为：c＝，
由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；
（4）已知斜边和一直角边（如c，a），
其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
四、解直角三角形的应用
（1）仰角与俯角
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
（2）坡角与坡度
坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比），常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．
同角三角函数的关系
在中，，，则等于
A． B． C． D．
1.在中，，，则
A． B． C． D．
2.在中，，，则
A． B． C． D．
3.已知，则 ．
互余两角三角函数的关系
如图，中，，则 ．
1.在中，，若，则 ．
2.已知中，，，则 ．
3.在中，，且，则的值为 ．
特殊角的三角函数值
（2024·江苏省无锡·中考真题）的值为( )
A. B. C. D.
1.计算的结果为
A． B．1 C． D．
2.已知实数，，，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
3.的相反数
A． B． C． D．
4.计算的值等于
A． B． C． D．
5.的值等于
A． B．1 C． D．
计算器—三角函数
如图，中，，，，若用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
1.如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
2.已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
3.如图，为方便行人推车过天桥，市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
4.如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
解直角三角形
（2024·浙江省温州·中考真题）图是第七届国际数学教育大会的会徽，图由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点当，，时，的长为( )
A. B. C. D.
1.如图，是的高，若，，则边的长为
A． B． C． D．
2.如图，在中，，，，则的长为
A．3 B． C． D．4
3.如图，在中，，，，则点到的距离为
A． B． C． D．
4.如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值是
A． B．1 C． D．
解直角三角形的应用
（2024·湖南·中考真题）如图，图为天工开物记载的用于舂捣谷物的工具“碓”的结构简图，图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，若分米，分米，，则点到水平线的距离为 分米结果用含根号的式子表示．
1.如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的，若山的高度米，则缆车索道的长为
A．米 B．米 C．米 D．米
2.如图楼梯示意图，，，米，则楼梯的高度是
A．米 B．米 C．米 D．米
3.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，则点到的距离为
A． B． C． D．
4.如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是6米．若梯子与地面的夹角为，则梯子底端到墙面的距离的长为 米．
A． B． C． D．
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（2024·四川省眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度：，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为______米
1.在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为．如图，若在坡比为的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为
A． B． C． D．
2.在滑轮的牵引下，一个滑块沿坡角为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的高度是 （单位：
A．15 B． C． D．
3.如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，斜坡角，则斜坡的垂直高度的长可以表示为
A．米 B．米 C．米 D．米
4一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，．已知木箱高，斜面坡角为度，则木箱端点距地面的高度
A．（米 B．（米 C．（米 D．（米
5.如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式．已知商场的层高为，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是
A． B． C． D．
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（2024·山东省日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得潮汐塔底端的俯角为点，，，在同一平面内，则潮汐塔的高度为( )
结果精确到参考数据：，，
A. B. C. D.
1.如图所示，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为
A． B．
C． D．
2.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．6sin43° B．6cos43° C． D．6tan43°
3.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为．则自动扶梯的垂直高度约为 （保留一位小数）
A．3.9 B．3.7 C．3.5 D．3.3
4.如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面处测得标志物的仰角为，若到电线杆底部的距离为12米，则电线杆的长为
A．8米 B．米 C．米 D．米
解直角三角形的应用-方向角问题
（2024·重庆·中考真题）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米参考数据：，，
求的长度结果精确到千米；
甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：请计算说明谁选择的路线较近？
1.如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于 米．
A． B． C． D．
2.一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 （参考数据：，，
A．27海里 B．50海里 C．75海里 D．海里
3.如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口和的距离．点，点分别位于测绘点的正北和正西方向．已知测得两定位点和与隧道口和的距离分别为和，测绘点，分别为，的中点，测绘方在测绘点测得点在点的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为 （参考数据：，，
A．1600 B．1300 C．980 D．900
4.如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为
A． B． C． D．解直角三角形及其应用
中考考点 考查频率 新课标要求
锐角三角函数 ★★ 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(). 知道 30°，45°，60°角的三角函数值. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
解直角三角形 ★★ 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
解直角三角形 的应用 ★★★
锐角三角函数及其应用是中考中比较重要的考点,其考查内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考查，是近几年中考填空压轴题常考题型.在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
一、特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1
二、直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
（2）锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边角之间的关系：
sin A＝，cos A＝，tan A＝，
sin B＝，cos B＝，tan B＝．
三、解直角三角形的几种类型及解法
（1）已知一条直角边和一个锐角（如a，∠A），
其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝（或b＝）；
（2）已知斜边和一个锐角（如c，∠A），
其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A（或b＝）；
（3）已知两直角边a，b，
其解法为：c＝，
由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；
（4）已知斜边和一直角边（如c，a），
其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A．
四、解直角三角形的应用
（1）仰角与俯角
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
（2）坡角与坡度
坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比），常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．
同角三角函数的关系
在中，，，则等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：如图：
设，
，
，，
．
故选：．
1.在中，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，；
，
．
故选：．
2.在中，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：在中，，，
，
设，，
，
，
故选：．
3.已知，则 ．
【答案】．
【解析】解：如图，由于，可设，则，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
互余两角三角函数的关系
如图，中，，则 ．
【答案】．
【解析】解：，即，
，
或（舍去），
．
故答案为：．
1.在中，，若，则 ．
【答案】．
【解析】解：在直角中，，
，
所以，
故答案为：．
2.已知中，，，则 ．
【答案】．
【解析】解：如图．
，，
设，则．
．
．
故答案为：．
3.在中，，且，则的值为 ．
【解析】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
在中，，，
设，，则，
．
故答案为．
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
又，
．
又，
．
、互为余角，
．
故答案为．
特殊角的三角函数值
（2024·江苏省无锡·中考真题）的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
1.计算的结果为
A． B．1 C． D．
【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
2.已知实数，，，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
3.的相反数
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
的相反数是．
故选：．
4.计算的值等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：
故选：．
5.的值等于
A． B．1 C． D．
【答案】
【解析】解：．
故选：．
计算器—三角函数
如图，中，，，，若用科学计算器求的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：由，得
．
故选：．
1.如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】解：根据计算器功能键，正确的顺序应该是．
故选：．
2.已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】解：已知，用计算器求锐角的大小，按键顺序“”，“ ”，“0.56”，“ ”．
故选：．
3.如图，为方便行人推车过天桥，市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：．
4.如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】解：由，得
．
故选：．
解直角三角形
（2024·浙江省温州·中考真题）图是第七届国际数学教育大会的会徽，图由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点当，，时，的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求 ．
【详解】解：在菱形中，， ，
，
又 ，
， ，
，
， ，
，
在 中， ，
，
，
，
故选C．
1.如图，是的高，若，，则边的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
，
，，
，
由勾股定理可知：，
，
故选：．
2.如图，在中，，，，则的长为
A．3 B． C． D．4
【答案】
【解析】解：过作，交延长线于，
，，
，
，
，
．
故选：．
3.如图，在中，，，，则点到的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
在中，，，，
，
在中，，
，
点到的距离为．
故选：．
4.如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值是
A． B．1 C． D．
【答案】
【解析】解：如图，连接．
，，，
，
，
．
故选：．
解直角三角形的应用
（2024·湖南·中考真题）如图，图为天工开物记载的用于舂捣谷物的工具“碓”的结构简图，图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，若分米，分米，，则点到水平线的距离为 分米结果用含根号的式子表示．
【答案】
【解析】延长交于点，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解．
【解答】
解：延长交于点，连接，
在中，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
1.如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的，若山的高度米，则缆车索道的长为
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【解析】解：在中，
，，
．
，米，
（米．
故选：．
2.如图楼梯示意图，，，米，则楼梯的高度是
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【解析】解：，
，
在中，，米，
米，
故选：．
3.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，则点到的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
在中，
，
，
即点到的距离为，
故选：．
4.如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是6米．若梯子与地面的夹角为，则梯子底端到墙面的距离的长为 米．
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由题意得：，
在中，，米，
（米，
梯子底端到墙面的距离的长为米，
故选：．
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（2024·四川省眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度：，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为______米
【答案】
【解析】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
米，
米，
答：大树的高度为米．
故答案为：
过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
1.在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为．如图，若在坡比为的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：如图：过点作，交的延长线于点，
斜坡的坡比为，
，
，
，
在中，，
相邻两树间的坡面距离为，
故选：．
2.在滑轮的牵引下，一个滑块沿坡角为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的高度是 （单位：
A．15 B． C． D．
【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
由题意可得：，
则．
故选：．
3.如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，斜坡角，则斜坡的垂直高度的长可以表示为
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【解析】解：在中，，，，
．
故选：．
4一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，．已知木箱高，斜面坡角为度，则木箱端点距地面的高度
A．（米 B．（米
C．（米 D．（米
【答案】
【解析】解：过点作于点，过点作交的延长线于点，
则点距地面的高度就是的长，
由题意，知度，
在中，
，，
，
在中，
，，
，
，
故选：．
5.如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式．已知商场的层高为，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：在中，，，
，
解得，
改造后扶梯的坡比是，
，
解得，
，
．
故选：．
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（2024·山东省日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得潮汐塔底端的俯角为点，，，在同一平面内，则潮汐塔的高度为( )
结果精确到参考数据：，，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，延长交于点，
则，
由题意可知，，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
延长交于点，根据等角对等边得出的长，得出的长，再结合，即可得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
1.如图所示，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
这栋楼的高度为，
故选：．
2.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．6sin43° B．6cos43° C． D．6tan43°
【答案】D
【解析】解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝43°，
∴tanR＝，
∴AL＝LR tanR＝6 tan43°（km）．
故选：D．
3.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为．则自动扶梯的垂直高度约为 （保留一位小数）
A．3.9 B．3.7 C．3.5 D．3.3
【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
4.如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面处测得标志物的仰角为，若到电线杆底部的距离为12米，则电线杆的长为
A．8米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【解析】解：由题意得：，米，
在中，，
（米，
点是的中点，
（米，
电线杆的长为米，
故选：．
解直角三角形的应用-方向角问题
（2024·重庆·中考真题）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米参考数据：，，
求的长度结果精确到千米；
甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：请计算说明谁选择的路线较近？
【答案】解：过作于，如图：
根据已知得，
，
，，
千米，千米，
在的北偏西方向，
，
是等腰直角三角形，
千米，千米，
的长度约为千米；
过作于，如图：
由知千米，千米，
千米，
在中，千米，千米，
在的北偏西方向，
，
千米，千米，
千米；
千米，
；
甲选择的路线比较近．
【解析】过作于，由，可得，，故AE千米，千米，而在的北偏西方向，得是等腰直角三角形，从而千米，千米；
过作于，由千米，千米，得千米，在中，千米，千米，根据在的北偏西方向，知，可得千米，千米，即可得千米，千米，比较即得答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含角的直角三角形三边的关系．
1.如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于 米．
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
在中，，米，
（米，
（米，
在中，，
（米，
米，
故选：．
2.一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 （参考数据：，，
A．27海里 B．50海里 C．75海里 D．海里
【答案】
【解析】解：如图所示标注字母，
根据题意得，，，海里，
，，
，
在中，，
（海里），
此时与灯塔的距离约为75海里．
故选：．
3.如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口和的距离．点，点分别位于测绘点的正北和正西方向．已知测得两定位点和与隧道口和的距离分别为和，测绘点，分别为，的中点，测绘方在测绘点测得点在点的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为 （参考数据：，，
A．1600 B．1300 C．980 D．900
【答案】
【解析】解：在中，，，
，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
．
答：隧道的长约为．
故选：．
4.如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：如图，由题意可知，，，，，
，
，
，
，
，
，
过点作，垂足为点，
是等腰直角三角形，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
在中，
，即，
，
故选：．
