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2025年初中数学《第17章函数及其图像》单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
1．嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如图是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
2．在关系式中，自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
3．若点在第二象限，则点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
4．若一次函数的图象上有，两点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图象中，不表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
7．函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 （ ）
A．9 B． C．6 D．
9．甲、乙两人从公园门口骑自行车沿同一路线匀速行驶，乙先出发，一段时间后甲再出发．甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．乙的行驶速度为
B．甲的行驶速度为
C．
D．乙出发或时，甲、乙两人之间的路程差为
10．如图()，点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设)，图()是点运动时随变化的关系图象，则（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．如图，直线与直线交于点A，则关于x，y的方程组的解为 ．
12．已知直线经过第一、三、四象限，那么直线经过第 象限．
13．2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点 的坐标为，点 的坐标为，则点 的坐标为 ．
14．如图，一条直线经过原点O，且与反比例函数相交于点A，B，过点A作轴，垂足为点C，连接．若的面积为6，则 ．
15．如图，已知等腰直角的顶点分别在、轴上，，点的坐标是的坐标是则直线的函数关系式为 ．
16．如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为 ．
评卷人得分
三、解答题(本大题共7个小题，第 17 题 6 分；第 18 题 6 分；第 19 题8分；第 20 题 10 分；第 21 题 10 分；第 22 题 12 分；第 23 题 14 分，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知点．分别根据下列条件．求点P的坐标．
(1)点P在x轴上，求P点坐标；
(2)点Q的坐标是，且轴，求P点坐标．
若点P的坐标为，其中x满足不等式组，求点P坐标及所在象限．
19．、两地相距，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．
(1)求点C的坐标
(2)甲、乙两人离开A地的距离与时间的关系如图所示，则乙出发几小时后和甲相遇？
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)关于的不等式的解集为 ；
(3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ．
21．如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接和，求的面积；
22．如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若的面积为，求反比例函数的解析式；
(3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
23．综合运用
(1)如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程）
(2)如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式．
(3)如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标．
试卷第6页，共8页
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2025年初中数学《第17章函数及其图像》单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
1．嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如图是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价7.38是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
∴变量是：金额与数量．
故选：D．
2．在关系式中，自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】此题考查了函数自变量有意义的条件，根据关系式中不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，
解得：，
故选：．
3．若点在第二象限，则点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了象限内点坐标特征，根据第二象限的点横坐标是负数，判断出，结合选项即可得出答案．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
∴只有D符合条件，
∴点的坐标可能为，
故选：D．
4．若一次函数的图象上有，两点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握：对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．据此解答即可．
【详解】解：对于一次函数，
∵，
∴一次函数随的增大而增大，
∵，两点都在一次函数的图象上，且，
∴．
故选：C．
5．下列图象中，不表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【详解】解：．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，则y是x的函数，故该选项不符合题意；
．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，则y是x的函数，故该选项不符合题意；
．根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，则y是x的函数，故该选项不符合题意；
．根据图象知给自变量一个值，有2个函数值与其对应，则y不是x的函数，故该选项符合题意；
故选：D．
6．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得．
【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得，
∴点的坐标为，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴关于的方程的解是，
故选：A．
7．函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：对于（），当时，，观察图象可排除B和D；
当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、三、四象限；
当时，函数在第二、四象限，一次函数经过二、三、四象限；
观察A、C选项，选项C符合题意，
故选：C．
8．如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 （ ）
A．9 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，
根据题意，可知，再根据，可得答案．
【详解】解：∵点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，
∴.
∵正方形的面积是9，
∴，
解得．
故选：B．
9．甲、乙两人从公园门口骑自行车沿同一路线匀速行驶，乙先出发，一段时间后甲再出发．甲、乙两人之间的路程差与乙行驶的时间的关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．乙的行驶速度为
B．甲的行驶速度为
C．
D．乙出发或时，甲、乙两人之间的路程差为
【答案】D
【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是数形结合；根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；根据题意和图象中的数据，可以得到的值，由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题．
【详解】解：由图可得，乙先出发，一段时间后甲再出发
乙的速度为：，A正确；
由图可得，乙出发小时后，到达目的地，
总路程为：，C正确；
当时，甲到达目的地，即甲走了小时，
则甲的速度为：B正确；
前，乙行驶的路程为：，
则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，
设乙出发时，甲、乙两人路程差为，
，
解得，，
，得；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．故D选项错误，符合题意，
故选：D．
10．如图()，点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设)，图()是点运动时随变化的关系图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数动点问题，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，点沿直线运动时，又，点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，然后由勾股定理即可求解．
【详解】解：设点为点运动的转折点，如图，
结合题图可知，，，，点沿直线运动时，，
∴故点在的平分线上，
∴，
过点作于点，则，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
故选：．
评卷人得分
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．如图，直线与直线交于点A，则关于x，y的方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求得点A坐标；根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标．根据图象交点坐标直接判断即可．
【详解】解：直线与直线交于点，
方程组的解是，
故答案为：，
12．已知直线经过第一、三、四象限，那么直线经过第 象限．
【答案】一、二、四
【分析】本题考查了一次函数的图象（已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限），熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：对于一次函数（），当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限．
根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案．
【详解】解：直线经过第一、三、四象限，
，，
，，
直线经过第一、二、四象限，
故答案为：一、二、四．
13．2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点 的坐标为，点 的坐标为，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键．
根据点的坐标建立平面直角坐标系，再根据坐标系的特点写出点的坐标即可求解．
【详解】解：点 的坐标为，点 的坐标为，建立平面直角坐标系如图所示，
∴点 的坐标为，
故答案为： ．
14．如图，一条直线经过原点O，且与反比例函数相交于点A，B，过点A作轴，垂足为点C，连接．若的面积为6，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即．首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于3，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知的面积等于，从而求出k的值．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴，
∴的面积的面积，
又∵A是反比例函数图象上的点，且轴于点C，
∴的面积|k|，
∴，
∵，
∴．
故答案为6．
15．如图，已知等腰直角的顶点分别在、轴上，，点的坐标是的坐标是则直线的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质．过点作轴于点，如图，先证明△△得到，，再写出，然后利用待定系数法求直线的解析式，熟知一线三等角原理是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，如图，
，，
，，
为等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为．
故答案为：．
16．如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，由直线，分别求出，，又点为线段的中点，则，所以，求出直线解析式为即可．
【详解】解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，
∴，
由根据两点之间线段最短可得：的周长，
∵点在直线上，
∴，
∴，
由直线，当时，，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
评卷人得分
三、解答题(本大题共7个小题，第 17 题 6 分；第 18 题 6 分；第 19 题8分；第 20 题 10 分；第 21 题 10 分；第 22 题 12 分；第 23 题 14 分，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知点．分别根据下列条件．求点P的坐标．
(1)点P在x轴上，求P点坐标；
(2)点Q的坐标是，且轴，求P点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了点的坐标性质，掌握点在x轴上纵坐标为0，及平行坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键．
（1）利用点在x轴上纵坐标为0，即可求出答案．
（2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等即可得出答案．
【详解】（1）解：在x轴上，
，
．
，
．
（2），Q的坐标是，
，
，
，
．
18．若点P的坐标为，其中x满足不等式组，求点P坐标及所在象限．
【答案】，在第四象限
【分析】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法及判断点的坐标的象限，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
【详解】解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为
∴
∴，在第四象限．
19．、两地相距，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．
(1)求点C的坐标
(2)甲、乙两人离开A地的距离与时间的关系如图所示，则乙出发几小时后和甲相遇？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，点C的横坐标为，点C的纵坐标为，由此即可得出点C的坐标；
（2）设甲离开A地的距离与时间之间的函数解析式为，将，代入，得，解得，于是可得；由“乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶”可知，乙的速度在和内是不同的，需要分别求解：设内乙离开A地的距离与时间之间的函数解析式为，将，代入，得，解得，于是可得内函数解析式为，设内乙离开A地的距离与时间之间的函数解析式为，将，代入，得，解得，于是可得内函数解析式为，综上所述，；依题意，联立方程组，得，解方程组即可求出的值，进而可求出乙出发几小时后和甲相遇．
【详解】（1）解：由题意得：
点C的横坐标为：，
点C的纵坐标为：，
点C的坐标为；
（2）解：设甲离开A地的距离与时间之间的函数解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
，
乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，
乙的速度在和内是不同的，需要分别求解，
设内乙离开A地的距离与时间之间的函数解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
内函数解析式为，
设内乙离开A地的距离与时间之间的函数解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
内函数解析式为，
综上所述，，
依题意，联立方程组，得：
，
解得：，
，
答：乙出发小时后和甲相遇．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（行程问题），求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，写出直角坐标系中点的坐标，从函数的图象获取信息，解二元一次方程组等知识点，能够从函数图象中获取正确信息并熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)关于的不等式的解集为 ；
(3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或．
【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法、三角形面积公式及数形结合思想是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解；
（2）根据数形结合思想求解；
（3）根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
，
解得：
一次函数的表达式为：；
（2）解：由图象得，当时，，
故答案为；
（3）解：设，
由题意得：，
解得：或，
或，
或，
故答案为：或．
21．如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接和，求的面积；
【答案】(1)反比例函数，一次函数
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解解析式，反比例函数与一次函数的性质，割补法求图形的面积，是解决问题的关键．
（1）将点A坐标代入两个函数解析式求出k值，b值即可；
（2）首先求出点C的坐标，再联立两个函数解析式求得点B的坐标，运用计算即得．
【详解】（1）把点分别代入和 ，
得，，
解得，，
∴；
（2）设直线交y轴于点C，
当时，，
∴，
∴，
当时，，
解得，（舍去），
∴，
∴，
∴，
故的面积为，
22．如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若的面积为，求反比例函数的解析式；
(3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)反比例函数的解析式为
(3)存在，
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质，在解答此题时要注意整体思想的运用．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得出，故可得出结论；
（2）根据列方程，解方程即可得出m的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（3）根据题意可得直线与的交点即为点P，求出直线的解析式，进而得到P点的坐标即可．
【详解】（1）证明：正方形的边长为3，
∴，，
∵点E和F在上，
∴点E的坐标为，点F的坐标为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴反比例函数解析式为；
（3）解：由题可知点E，F关于直线对称，
则连接交于点P，则长最小，
∵点F的坐标为，点D的坐标为，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
同理可求：直线的解析式为，
解方程组得，
∴点的坐标为．
23．综合运用
(1)如图1，，顶点在直线上，过点作于点，过点作于点，当时，判断线段与的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程）
(2)如图2，直线与坐标轴交于点，，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数解析式．
(3)如图3，四边形为长方形，其中为坐标原点，点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据可判定，即可得出结论；
（2）过点做交直线于点，过点作轴于，根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式；
（3）根据是以点为直角顶点的等腰直角三角形，当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点在矩形的内部时，当点在矩形的外部时，设，分别根据，得出，据此列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，
又，，
，，
，
，
，
；
（2）解：直线与坐标轴交于点，，
、，
如图2，过点做交直线于点，过点作轴于，
，，，
，
将直线绕点顺时针旋转至直线，
，
，
，
，，
，
点坐标为，
设的解析式为，将，点坐标代入，得，
解得，
的函数表达式为；
（3）解：当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况：
当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，
设，则，，，
由（1）可得，，则，
即：，
解得，
，
，
此时，，，符合题意；
当点在矩形的外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，
设，则，，，
同理可得：，则，
即：，
解得，
，
，，
此时，，，，符合题意，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
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