第十章 二元一次方程组 能力提优测试卷（含答案）2024-2025学年人教版数学七年级下册

第十章　二元一次方程组
能力提优测试卷
时间:60分钟　　满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.下列方程中,以为解的二元一次方程是 (　　)
A.y-3x=5 B.2x=7-3y C.x=-2y D.y=0.5x
2.我们在解二元一次方程组时,可将第一个方程代入第二个方程消去y得x+4x=5,从而求解,这种解法体现的数学思想是 (　　)
A.转化思想 B.分类讨论思想
C.数形结合思想 D.公理化思想
3.用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中,无法消元的是 (　　)
A.①×2-② B.②×(-3)-①
C.①×(-2)+② D.①-②×3
4.由方程组可得x与y的关系是 (　　)
A.2x+y=4 B.2x+y=-4
C.2x-y=4 D.2x-y=-4
5.若关于x,y的方程组和有相同的解,则(a+b)2 025的值为 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2 025
6.为了节能减排,某公交公司计划购买甲、乙两种型号的新能源公交车.若购买甲型公交车1辆,乙型公交车2辆,共需要260万元;购买甲型公交车2辆,乙型公交车1辆,共需要280万元.设适当的未知数可列出二元一次方程组对该方程组进行变形可得到方程x-y=20.下列对“x-y=20”的意义说法正确的是 (　　)
A.甲型公交车比乙型公交车多购买20辆
B.每辆甲型公交车比乙型公交车贵20万元
C.甲型公交车比乙型公交车少购买20辆
D.每辆甲型公交车比乙型公交车便宜20万元
7.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为了看图方便,我们把它改成横排,如图1、图2,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来就是类似地,图2所示的算筹图对应的二元一次方程组的解为(　　)
A. B. C. D.
8.已知关于x,y的方程组给出下列结论:①当a=1时,方程组的解也是方程x+y=2a+1的解;②无论a取何值,x,y的值都不可能互为相反数;③若2x+y=8,则a=2.其中正确的结论有 (　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
9.解二元一次方程组有一种较简便的方法是先消去y,即由②×3-①×2化简得x=　　　　.
10.若关于x,y的方程组的解满足x+y=2 024,则k的值为　　　.
11.若方程组的解是则方程组的解为　　　　.
12.如图,一个长方形被分割成11个正方形,原长方形的长为a,宽为b(a>b),则=　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,共52分)
13.(8分)解方程组:(1)(2)
14.(8分)下表中每一对x,y的值都满足方程ax+by=2.
x … 2 3 4 …
y … -2 -4 -6 …
(1)求a,b的值;
(2)若关于x,y的方程组的解满足方程3x-2y=-10,求m的值.
15.(10分)一辆汽车从A地驶往B地,前路段为普通公路,其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h,在高速公路上行驶的速度为100 km/h,汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h.请你根据以上信息,就该汽车行驶的“路程”或“时间”,提出一个用二元一次方程组解决的问题,并写出解答过程.
16.(12分)某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳.经班长统计需要购买足球的共有12名同学,需要购买跳绳的共有10名同学.
(1)请根据下图中班长和售货员阿姨的对话信息,分别求出足球和跳绳的单价.
(2)由于足球和跳绳的需求量增大,该体育用品商店老板计划再次购进足球a(a>15)个和跳绳b根,恰好用了1 800元,其中足球每个的进价为80元,跳绳每根的进价为15元,则有哪几种购进方案
(3)假如(2)中所购进的足球和跳绳全部售出,且单价与(1)中的相同,为了使销售获利最多,应选择哪种购进方案
17.(14分)【阅读理解】在解方程组或求式子的值时,可以用整体代入或整体求值的方法化繁为简.
(1)解方程组: 解:把②代入①得x+2×1=3, 解得x=1, 把x=1代入②得y=0, 所以方程组的解为 (2)已知求x+y+z的值. 解:①+②得10x+10y+10z=40③, ③÷10得x+y+z=4.
【类比迁移】
(1)直接写出方程组的解.
(2)若求x+y+z的值.
【实际应用】
(3)打折前,买36件A商品,12件B商品用了960元;打折后,买45件A商品,15件B商品用了1 100元,则打折后比打折前少花了多少元
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D A A B D D
1.C　A.当x=2,y=-1时,y-3x=-1-3×2=-1-6=-7≠5,故此选项不符合题意;B.当x=2,y=-1时,左边=2×2=4,右边=7-3×(-1)=7+3=10,左边≠右边,故此选项不符合题意;C.当x=2,y=-1时,左边=2,右边=-2×(-1)=2,左边=右边,故此选项符合题意;D.当x=2,y=-1时,左边=-1,右边=2×0.5=1,左边≠右边,故此选项不符合题意.
2.A　在解二元一次方程组时,可将第一个方程代入第二个方程消去y得x+4x=5,从而将二元一次方程降元转化为一元一次方程求解,这种解法体现的数学思想是转化思想.
3.D　用加减消元法解二元一次方程组时,①×2-②或①×(-2)+②可消去x,②×(-3)-①可消去y.
4.A　把②代入①得2x+y-3=1,整理得2x+y=4.
5.A　由题意,可得关于x,y的方程组与的解相同,解方程组得把代入方程组中,得(①+②)÷4,得a+b=-1.∴(a+b)2 025=(-1)2 025=-1.
6.B　根据题意,可得x表示每辆甲型公交车的价格,y表示每辆乙型公交车的价格,所以“x-y=20”的意义是每辆甲型公交车比乙型公交车贵20万元.
7.D　由题意可得,题图2所示的算筹图对应的二元一次方程组是解得
8.D　①-②,得y=2-2a,将y=2-2a代入②,得x=1+2a,∴方程组的解为当a=1时,方程组的解为∴x+y=3=2a+1,∴①结论正确;∵x+y=1+2a+2-2a=3,∴无论a取何值,x,y的值都不可能互为相反数,∴②结论正确;∵2x+y=2(1+2a)+(2-2a)=4+2a=8,∴a=2,∴③结论正确.
二、填空题
9.　②×3,得81x-12y=57.①×2,得26x-12y=50.∴②×3-①×2,得55x=7.∴x=.
10.2 025　①+②,得5(x+y)=5(k-1),所以x+y=k-1=2 024,解得k=2 025.
11.　由题意可得解得所以所求方程组的解为
12.　设长方形中最小的正方形的边长为x,最大的正方形的边长为y,由题意得解得又∵b=3x+a=a,∴=.
三、解答题
13.解:(1)
由①得y=2-2x,③
把③代入②中,得3x-2(2-2x)=10,解得x=2. (3分)
把x=2代入③中,得y=2-2×2=-2.
故原方程组的解为 (4分)
(2)整理得
②-①,得8y=-16,
解得y=-2,
把y=-2代入①,得2x-5×(-2)=20,解得x=5,
∴原方程组的解为 (8分)
14.解:(1)将x=2,y=-2代入方程ax+by=2,可得2a-2b=2,①
将x=3,y=-4代入方程ax+by=2,可得3a-4b=2,②
由①得a=b+1,③
将③代入②,得b=1,
将b=1代入③,得a=2; (4分)
(2)将a=2,b=1代入方程组
得
①-②,得y=-1,
∵3x-2y=-10,
∴x=-4,
将x=-4,y=-1代入②,得m=-11. (8分)
15.解:答案不唯一.如,问题:普通公路和高速公路各为多少千米 (2分)
解答:设普通公路长为x km,高速公路长为y km.
则根据题意,得解得
答:普通公路长为60 km,高速公路长为120 km. (10分)
思路点拨　本题是一道结论开放型问题,求解时一定要抓住行程中“速度、路程、时间”这三者之间的关系,注意条件中提供的量,紧靠题目,以避免走弯路.另外,应注意条件中的含义,不能因此带来错误. 本题也可提出问题:汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时
解答:设汽车在普通公路上行驶了x h,高速公路上行驶了y h.
则根据题意,得解得
答:汽车在普通公路上行驶了1 h,高速公路上行驶了1.2 h.
16.解:(1)设足球的单价为x元,跳绳的单价为y元,
由题意得
解得
答:足球的单价为100元,跳绳的单价为20元. (3分)
(2)由题意得80a+15b=1 800(a>15),
当全买足球时,可买足球的数量为=22.5,
∴15当a=16时,b=(舍去);
当a=17时,b=(舍去);
当a=18时,b=24;
当a=19时,b=(舍去);
当a=20时,b=(舍去);
当a=21时,b=8;
当a=22时,b=(舍去).
∴有两种方案:方案一,购进足球18个,跳绳24根;方案二,购进足球21个,跳绳8根.
答:有两种方案:方案一,购进足球18个,跳绳24根;方案二,购进足球21个,跳绳8根. (8分)
(3)方案一利润为(100-80)×18+(20-15)×24=480(元),
方案二利润为(100-80)×21+(20-15)×8=460(元),
∵480元>460元,
∴选方案一,购进足球18个,跳绳24根. (12分)
17.解:(1)
把②代入①中,得3×2+4=2a,
解得a=5,
把a=5代入②中,得b=3,
∴方程组的解为 (4分)
(2)
①-②,得4x+4y+4z=4,
∴x+y+z=1. (9分)
(3)设打折前A商品每件x元,B商品每件y元,
根据题意得36x+12y=960,
两边同时乘,得45x+15y=1 200,
1 200-1 100=100(元),
答:打折后比打折前少花了100元. (14分)
单元闯关测试卷