2025年数学中考一轮复习课件：1.4 二次根式（共50张PPT）

(共50张PPT)
考 点 突 破
1.4 二次根式训
第一部分 考点系统复习 夯实基础
第一章 数与式
1.了解二次根式的概念,知道被开方数必须是非负数的理由;
2.了解最简二次根式的概念;
3.理解二次根式的性质:(≥0),=(≥0),()=;
4.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算.
知识点1 二次根式的有关概念及性质
二次根式的概念
二次根式有意义的条件. .
被开方数大于或等于0
二次根式有意义的常见变式
二次根式有意义的常见题型
最简二次根式
同类二次根式
(1)被开方数不含 ;
(2)被开方数中不含能开得尽方的 或因式.
把几个二次根式化成最简二次根式以后,它们的被开方数 .
分母
因数
相同
基本性质
≥
≥
【温馨提示】常见的非负数有:,,(≥0),若几个非负数的和为0,则每个非负数的值均为0,如++=0,则=0,=0,=0.
基本性质
知识点2 二次根式的运算
乘法法则
除法法则
加减法法则
先将二次根式化成 ,再将被开方数 的二次根式进行合并(根式保持不变,系数相加减).
最简二次根式
相同
知识点3 二次根式的估值
二次根式的估值
(1)先对二次根式平方,如;
(2)找出平方后与所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如9和16;
(3)对以上两个整数开方,如3,4;
(4)确定这个根式的值在开方所得的两个整数之间,如;
二次根式的估值
(5)当二次根式加减一个数后求取值范围时,根据不等式的性质,给不等号两边同时加上或减去这个数即可得到,如;
(6)对于二次根式的整数部分的确定,可先用上述步骤明确二次根式介于两个整数之间,即,从而得到的整数部分为.
拓展
对于一些常见的二次根式,记住其近似值在解决估值问题时会更方便.
常见无理数的近似值
利用计算结果的规律估算二次根式的值
(1)被开方数的小数点每向左(向右)移动 位,它的算术平方根的小数点相应地向左(向右)移动1位;
(2)被开方数的小数点每向左(向右)移动 位,它的立方根的小数点相应地向左(向右)移动1位.
2
3
考点1 二次根式的有关概念及性质
例1
若为任意实数,下列各式一定是二次根式的是( )
【解析】A选项,当0.5时,10,故该选项不符合题意;B选项,
∵≥0,∴10,故该选项符合题意;C选项为整式,故该选项不符合题意;D选项,当2时,10,故该选项不符合题意.故选B.
(2022·广西贵港)若在实数范围内有意义,则实数的取值范围是 .
例2
【解析】由题意得≥0,解得≥.故答案为≥.
(2024·内蒙古通辽)二次根式在实数范围内有意义,则实数的取值范围在数轴上表示为( )
例3
【解析】根据二次根式有意义的条件求出的取值范围,在根据不等式解集在数轴上的表示方法求解.≥0,≤1.故选C.
（2023 山东烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）　　
例4
【解析】A选项，，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B选项，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C选项，和是同类二次根式，故本选项符合题意；D选项，，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选C．
(2022·四川遂宁)实数在数轴上的位置如图所示,则 .
例5
【解析】由数轴可得,.故答案为2.
(2024·济宁)下列运算正确的是( )
例6
考点2 二次根式的运算
【解析】选项A,和不是同类二次根式,不能合并,不符合题意;选项B,×正确,符合题意;选项C,2÷≠1,原计算错误,不符合题意;选项D,=5,原计算错误,不符合题意.故选B.
(2024·河北)已知均为正整数.
(1)若,则 ;
(2)若,,则满足条件的的个数总比的个数少 个.
例7
考点3 二次根式的估值
本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题,掌握探究的方法是解本题的关键.
(1)由即可得到答案,故;
(2)由,,为连续的三个自然数,,可得再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案,故答案为2个.
达标训练
1.(2024·江苏常州)若式子有意义,则实数的值可能是( )
A. B. 0
C.1 D.2
D
2.(2024·内蒙古)不等式的正整数解的个数有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.(2022·广西桂林)化简的结果是( )
A. B.3
C. D.2
A
A
5.(2022·河北)下列计算正确的是( )
D
B
4.（2023·湖南衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有,该运算法则成立的条件是( )　　
6.若,则代数式的值为( )
A.7 B.4 C.3 D.32
7.若,都是实数,且,的立方根是( )
C
C
10.(2022·天津)计算: .
9.(2023·浙江杭州)计算: .
8.（2023·广西） .
11. 与最简二次根式是同类二次根式,则 .
3
18
2
12.(2022·广西河池)计算:
提升训练
13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的“秦九韶公式”,也叫“三斜求积术”,即如果一个三角形的三边长分别为,则该三角形的面积 .现已知的三边长分别为1,2,,则的面积为 .
1
1.在下列二次根式中,最简二次根式的是( )
C
2.下列各式中:其中一定是二次根式的有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
B
3.下列二次根式中能与合并的是( )
B
4.(2024·黑龙江)若式子有意义,则的取值范围是( )
C
5.(2024·安徽)下列计算正确的是( )
C
6.已知是整数,当取最小值时,的值是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
A
7.设的三条边分别为且满足关系式,则的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
D
8.(2022·山东聊城)射击时,子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算,其中为子弹的加速度,为枪筒的长.如果m/,m,那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为( )
D
9.2,6,是某三角形三边的长,则等于( )
A. B.
C.12 D.-4
A
10.(2022·广西北部湾经济区)化简:.
11.若实数满足,则的值为 .
12.(2023·湖南益阳)计算: .
5
10
13.(2022·湖北荆州)若的整数部分为,小数部分为,则代数式的值是 .
14.如图所示,实数,,在数轴上所对应的点分别为,,,点关于原点的对称点为.若为整数,则的值为 .
15.观察下列各式规律:
的值为( )
A.108 B.109 C.110 D.111
B
16.(2024·江苏扬州)中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积,用现代式子表示为
(秦九韶公式).
古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积.如果一个三角形的三边长分别为记,那么这个三角形的面积
海伦公式.
请完成下列问题:
(1)一个三角形的三边长依次为5,5,6,则该三角形的面积为;
(2)请由秦九韶公式推导出海伦公式;
(3)若三角形的周长为24cm,一边长为6cm,求此三角形的面积的最大值,并判断此时三角形的形状.
答案：