第三章 图形的平移与旋转 单元综合测试题（含答案）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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第三章 图形的平移与旋转 单元综合测试题
考试范围：第三章 图形的平移与旋转；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝2，BF＝8，则AD的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转60°，点A对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于（　　）
A．55° B．45° C．40° D．35°
5．如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形不变的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，3），将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C的坐标为（5，2），则B的对应点D的坐标为（　　）
A．（2，5） B．（5，1） C．（0，5） D．（1，5）
8．四根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移此象形字火柴棒后，变成的象形文字是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　）
A． B． C． D．3
10．如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB，顶点A的坐标为（0，10）．将Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知点A（x﹣1，1）与点B（1，y﹣2）关于原点对称，则x+y的值等于 　 　．
12．如图，△ABC和△DBC都是边长为1的等边三角形，点B1在BC边上，将△DBC沿BC方向平移到△D1B1C1的位置．当四边形ABD1C1为矩形时，平移距离BE1＝　 　．
13．在平面直角坐标系中，O为原点，将点A（2，﹣3）绕点O逆时针旋转180°得点A′，则点A′的坐标为 　 　．
14．如图，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，BC＝12，△BED是等边三角形，当CE最大时，△BDE的面积为　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，将边AB逆时针旋转90°交CD于点E．若AD∥BC，∠C＝45°，AD＝3，则CE＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|．
已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B．
（1）点B的坐标为 　 　，A、B两点间的坐标距离为 　 　；
（2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点，
①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标；
②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离．
17．（9分）（1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．求证：BD＝AN．
（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，根据题意，画出图形进行思考研究，问题（1）结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出反例．
18．（9分）把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上，∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，BM为∠CBE的平分线．
（1）求∠CBE和∠ABM的度数；
（2）若BN为∠CBD的平分线，求∠MBN的度数．
（3）若将图中三角尺BDE逆时针旋转20度，则∠MBN大小变化吗？（选填不变、增大（或缩小）多少度）请直接写出结论．
19．（9分）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：BC＝EF；
（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．
20．（9分）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系　 　；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
21．（9分）综合与实践
在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为30m，宽都为20m．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，EF＝1m，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地．
数学思考：
（1）求图1中草地的面积．
深入探究：
（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题
①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求DE的长．
23．（11分）构造模型问题：
问题背景：如图1，P是等边△ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．
小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成这个证明；
（1）迁移应用：如图2，P是等边△ABC内一点，且PC2+PB2＝PA2；求∠BPC的度数；
（2）拓展提升：如图3，在等腰直角△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若PC＝6，则△APC的面积是 　 　（不必证明）．
参考答案
一．选择题
1．下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，此选项符合题意；
选：D．
2．如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝2，BF＝8，则AD的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
解：∵△DEF是由△ABC向右平移得到，
∴BC＝EF，AD＝BE，
∴BE＝CF＝（8﹣2）÷2＝3，
∴AD＝BE＝3．
选：B．
3．将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转60°，点A对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
解：过A'作A'C⊥y轴于C，
∴∠A'CO＝∠OBA＝90°，
∵∠OBA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，
由旋转的性质得OA'＝OA，∠A'OA＝60°，
∴∠AOC＝∠COB﹣∠AOB＝30°，
∴∠A'OC＝∠A'OA﹣∠AOC＝30°，
在△A'OC和△OAB中，
，
∴△A'OC≌△OAB（AAS），
∴，A'C＝OB＝1，
∴点A'的坐标为．
选A．
4．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠BOC等于（　　）
A．55° B．45° C．40° D．35°
解：∵△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，
∴∠AOC＝80°，
而∠AOB＝45°，
∴∠BOC＝80°﹣45°＝35°．
选：D．
5．如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
解：如图，两个格点三角形分别为△ABP和△QRA，连接CA、CQ、CP、CB、CR，
设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，
由勾股定理得CA＝CP＝CQ，CB＝CR，
∵△ABP和△QRA的每一组对应顶点到点C的距离都相等，
∴两个格点△ABP和△QRA的旋转中心是点C，
选：C．
6．如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形不变的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形发生变化，不符合题意；
B、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形发生变化，不符合题意；
C、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形不变，符合题意；
D、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形发生变化，不符合题意；
选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，3），将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C的坐标为（5，2），则B的对应点D的坐标为（　　）
A．（2，5） B．（5，1） C．（0，5） D．（1，5）
解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴点A向左平移4个单位，向上平移3个单位得到点B，
∵C（5，2），
∴点C向左平移4个单位，向上平移3个单位得到点D，
∴D（1，5），
选：D．
8．四根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移此象形字火柴棒后，变成的象形文字是（　　）
A． B． C． D．
解：原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有C符合．
选：C．
9．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　）
A． B． C． D．3
解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∴∠AHD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BDAB＝6，
∴DHAD＝3，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，
∴∠EBF﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵BD＝BC＝6，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴DE＝CF，
当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为3，
∴CF长的最小值是3，
选：D．
10．如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB，顶点A的坐标为（0，10）．将Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）
解：如图，过点B作BC⊥y轴于点C，
∵点A的坐标为（0，10），
∴OA＝10，
∴设AB＝x，则OB＝3x，
∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，
∴x2+（3x）2＝102，
解得x，
∴OB＝3x＝3，
在Rt△OBC中，设BC＝y，则OC＝3y，
∴，
解得y＝3，
∴BC＝3，则OC＝9，
∴B（3，9），
∵Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点B的坐标为（﹣9，3）；
则第2次旋转结束时，点B的坐标为（﹣3，﹣9）；
则第3次旋转结束时，点B的坐标为（9，﹣3）；
则第4次旋转结束时，点B的坐标为（3，9）；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2022÷4＝505…2，
则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（﹣3，﹣9）．
选：D．
二．填空题
11．已知点A（x﹣1，1）与点B（1，y﹣2）关于原点对称，则x+y的值等于 　1　．
解：∵点A（x﹣1，1）与点B（1，y﹣2）关于原点对称，
∴x﹣1+1＝0，y﹣2+1＝0，
解得：x＝0，y＝1，
则x+y＝0+1＝1．
答案为：1．
12．如图，△ABC和△DBC都是边长为1的等边三角形，点B1在BC边上，将△DBC沿BC方向平移到△D1B1C1的位置．当四边形ABD1C1为矩形时，平移距离BE1＝　1　．
解：当移动距离BB1＝1时，四边形ABC1D1是矩形．
理由：连接BC1，AD1，
∵△ABD，△BDC都是边长为2的等边三角形，
∴AD＝BD＝DD1，∠ADB＝60°，
∴∠DAD1＝∠DD1A＝30°，
∴∠BAD＝60°+30°＝90°，
根据等边三角形的性质，得到AC＝B1D1，∠BB1D1＝∠ACC1，
∴△BB1D1≌△ACC1，
∴AC1＝BD1，
∵AB＝C1D1，
∴四边形ABD1C1是平行四边形，
∴平行四边形ABC1D1是矩形．
答案为：1．
13．在平面直角坐标系中，O为原点，将点A（2，﹣3）绕点O逆时针旋转180°得点A′，则点A′的坐标为 　（﹣2，3）　．
解：∵将点A（2，﹣3）绕点O逆时针旋转180°得点A'，
∴A，A′关于原点对称，
∴点A'的坐标为（﹣2，3）．
答案为：（﹣2，3）．
14．如图，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，BC＝12，△BED是等边三角形，当CE最大时，△BDE的面积为　　．
解：如图所示，根据题意可知点D在以BC为直径的半圆上运动，
在BC的另一侧作等边△BCF，连接DF，OF，OD，
∵△BDE，△BCF是等边三角形，
∴BC＝BF，BD＝BE，∠CBF＝∠DBE＝60°，
∴∠DBF＝∠EBC，
∴△BCE≌△BFD（SAS），
∴CE＝DF．
在△DOF中，FO+DO≤DF，
当DF＝FO+DO时，即点F，O，D三点共线时，CE最大．
如图所示，作EG⊥BD，交BD于点G，
∵FO⊥BC，
∴BD＝CD．
∵BD2+CD2＝BC2，BC＝12，
即2BD2＝122，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
当CE最大时，△BDE的面积为：．
答案为：．
15．如图，在四边形ABCD中，将边AB逆时针旋转90°交CD于点E．若AD∥BC，∠C＝45°，AD＝3，则CE＝　3　．
解：如图，过A点作AF⊥AD交CD延长线于点F，连接BD，
根据旋转有：∠BAE＝90°，AB＝AE，
∵∠C＝45°，AD∥BC，
∴∠ADF＝45°，
即∠ADC＝180°﹣∠FDA＝180°﹣45°＝135°，
∵AF⊥AD，
∴∠DAF＝90°，
∴∠AFD＝∠ADF＝45°，
∴AF＝AD＝3，
即D，
∵∠BAE＝90°，∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠EAF，
又∵AB＝AE，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴∠BDA＝∠AFE＝45°，BD＝FE，
∴2∠BDC＝∠ADC+∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
又∵∠C＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
∴EF＝CD，
∴EC+DE＝FD+ED，
∴，
答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|．
已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B．
（1）点B的坐标为 　（6，4）　，A、B两点间的坐标距离为 　3　；
（2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点，
①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标；
②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离．
解：（1）将点A（3，2）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B（6，4），
A（3，2），B（6，4），
∵|3﹣6|＝3，|2﹣4|＝2，
∴|3﹣6|＞|2﹣4|，
∴A、B两点间的坐标距离为3，
答案为：（6，4），3；
（2）设点M（m，0），N（0，n），
①∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于4，
∴|m﹣3|＝4，
解得m＝7或m＝﹣1＜0舍去，
∴点M（7，0）；
②∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3，
∴|m﹣3|＝3，
解得m＝6或m＝0（舍去），
∴点M（6，0），
又∵点N（0，n）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3，
∴|n﹣2|≤3，
∴﹣1≤n≤5，
又∵n＞0，
∴0＜n≤5，
∵点M（6，0），点N（0，n），而0＜n≤5，
∴|6﹣0|＞|0﹣n|，
∴M、N两点间的坐标距离是6．
17．（9分）（1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．求证：BD＝AN．
（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，根据题意，画出图形进行思考研究，问题（1）结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出反例．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
又∵M是BC的中点，
∴∠AMB＝∠AMN＝90°，BC＝2BM＝2MC，∠BAM∠BAC＝30°，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AD，
∴∠MAD＝120°，AD＝AM，
∴∠BAD＝∠MAD﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，
∴∠BAD＝∠AMN＝90°，
∵MC＝CN，
∴MN＝2MC＝BC＝AB，
在△DBA和△ANM中，
，
∴△DBA≌△ANM（SAS），
∴BD＝AN．
（2）结论成立，理由如下：
①如图②﹣1中，当BMBC时，分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分别为G、H．
∴∠DHB＝∠AGM＝90°，
∵∠AMG+∠BAM+∠ABC＝180°，∠ABC＝60°，
∴∠AMG＝180°﹣∠ABC﹣∠BAM＝120°﹣∠BAM，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AB，
∴∠MAD＝120°，AD＝AM，
∴∠DAB＝120°﹣∠BAM，
∴∠DAB＝∠AMB，
在△DAH和△AMG中，
，
∴△DAH≌△AMG（AAS），
∴DH＝AG，AH＝GM，
又∵△ABC是等边三角形，AG⊥BM，
∴BG＝GC，
∴GN＝GC+CN＝GC+CM＝BG+GC﹣GM＝BC﹣GM，
又∵BH＝AB﹣HA，AH＝GM，AB＝BC，
∴BH＝GN．
∵DH＝AG，∠DHA＝∠AGM＝90°，BH＝GN，
在△DBH和△ANG中，
，
∴△DBH≌△ANG（SAS），
∴BD＝AN．
②当BMBC时，如图②﹣2，分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分别为G、H．
∴∠DHB＝∠AGM＝90°，
∵∠AMG+∠BAM+∠ABC＝180°，∠ABC＝60°，
∴∠AMG＝180°﹣∠ABC﹣∠BAM＝120°﹣∠BAM，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AB，
∴∠MAD＝120°，AD＝AM，
∴∠DAB＝120°﹣∠BAM，
∴∠DAB＝∠AMB，
在△DAH和△AMG中，
，
∴△DAH≌△AMG（AAS），
∴DH＝AG，AH＝GM，
又∵△ABC是等边三角形，AG⊥BM，
∴BG＝GC，
∴GN＝GC+CN＝GC+CM＝BG+GC﹣GM＝BC﹣GM，
又∵BH＝AB﹣HA，AH＝GM，AB＝BC，
∴BH＝GN．
∵DH＝AG，∠DHA＝∠AGM＝90°，BH＝GN，
在△DBH和△ANG中，
，
∴△DBH≌△ANG（SAS），
∴BD＝AN．
18．（9分）把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上，∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，BM为∠CBE的平分线．
（1）求∠CBE和∠ABM的度数；
（2）若BN为∠CBD的平分线，求∠MBN的度数．
（3）若将图中三角尺BDE逆时针旋转20度，则∠MBN大小变化吗？（选填不变、增大（或缩小）多少度）请直接写出结论．
解：（1）∵A、B、D三点在同一直线上，且∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，
∴∠CBE＝180°﹣（∠DBE+∠ABC）＝75°，
∵BM为∠CBE的平分线，
∴∠CBM∠CBE75°＝37.5°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠CBM＝45°+37.5°＝82.5°；
∠CBE＝75°；∠ABM＝82.5°；
（2）∵∠CBE＝75°，∠DBE＝60°，
∴∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝135°，
∵BN为∠CBD的平分线，
∴∠CBN∠CBD135°＝67.5°，
∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝67.5°﹣37.5°＝30°；
（3）∠MBN大小不发生变化，∠MBN＝30°，理由如下，如图所示：
∵将图中三角尺BDE逆时针旋转20度，
∴∠CBE＝180°﹣（∠DBE+∠ABC）﹣20°＝55°，
∴∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝115°，
∵BM为∠CBE的平分线，BN为∠CBD的平分线，
∴∠CBM∠CBE55°＝27.5°，∠CBN∠CBD115°＝57.5°，
∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝57.5°﹣27.5°＝30°．
19．（9分）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：BC＝EF；
（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．
（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴BC＝EF；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝64°，
∴∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，
∴∠FAG＝∠BAE＝52°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝52°+25°＝77°，
∴∠AGE＝77°．
20．（9分）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系　∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°　；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
解：（1）由图知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位得到的；
（2）∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°．
答案为：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°；
（3）由（1）中的平移变换得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得a＝3，b＝4．
a的值是3，b的值是4．
21．（9分）综合与实践
在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为30m，宽都为20m．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，EF＝1m，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地．
数学思考：
（1）求图1中草地的面积．
深入探究：
（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题
①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．
解：（1）根据题意草地的面积为：20×30﹣1×20＝580（平方米）；
答案为：580m2；
（2）小路往AB、AD边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为：（30﹣1）×（20﹣1）＝551（平方米）；
（3）将小路往AB、AD、DC边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为：30+20×2﹣2＝68（米）．
答案为：68m．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求DE的长．
（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE；
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：由（1）知△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD＝10，
∵∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
又∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
在Rt△ADE中，．
23．（11分）构造模型问题：
问题背景：如图1，P是等边△ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．
小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成这个证明；
（1）迁移应用：如图2，P是等边△ABC内一点，且PC2+PB2＝PA2；求∠BPC的度数；
（2）拓展提升：如图3，在等腰直角△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若PC＝6，则△APC的面积是 　18　（不必证明）．
问题背景：
证明：如图1，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，得到△P′AC，连接PP′，
则AP＝AP′，∠PAP′＝60°，
∴△PAP′是等边三角形，
∴PP′＝PA，∠PP′A＝60°，
由旋转的性质得：∠APB＝∠AP′C＝30°，PB＝P′C，
∴∠PP′C＝∠PP′A+∠AP′C＝60°+30°＝90°，
∴PC2＝PP′2+P′C2，
∵PP′＝PA，P′C＝PB，
∴PA2+PB2＝PC2；
（1）迁移应用：
解：如图2，把△PBC绕点B逆时针旋转60°，得到△P′BA，连接PP′，
由旋转的性质得：BP＝BP'，∠PBP'＝60°，PC＝P'A，∠BPC＝∠BP'A，
∴△PBP'是等边三角形，
∴∠BP'P＝60°，PP'＝BP，
∵PC2+PB2＝PA2，
∴P'A2+P'P2＝PA2，
∴△APP'是直角三角形，∠AP'P＝90°，
∴∠BPC＝∠BP'A＝∠AP′P+∠BP′P＝90°+60°＝150°；
（2）拓展提升：
解：如图3，过点B作BM⊥BP交PC的延长线于点M，连接AM，
则∠PBM＝90°，
∵∠BPC＝45°，
∴△BPM为等腰直角三角形，
∴BP＝BM，∠BMP＝45°，
∵∠MBA+∠MBC＝∠ABC＝90°，∠PBM＝∠PBC+∠MBC＝90°，
∴∠PBC＝∠MBA，
在△PBC和△MBA中，
，
∴△PBC≌△MBA（SAS），
∴PC＝MA，∠BPC＝∠BMA＝45°，
∴∠AMP＝∠BMP+∠BMA＝45°+45°＝90°，
∴S△APCPC×MAPC262＝18，
答案为：18．
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