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第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
（第一课时）
1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类。
2.理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
1. ________和________统称为有理数.
整数
分数
2. 填图.
理数
理数
理数
正整数
正分数
负分数
正有理数
正分数
负整数
在前面的学习中，我们通过引入一类新的数———负数，使数的范围扩充到有理数.
本章我们认识了像， 这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？如果不是，我们将再次扩充数的范围．
探究：把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么
，，， ， ，.
整数可以写成小数点后是 0 的小数
， ， ，
， ， .
上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．
有理数
有限小数或
无限循环小数
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方 根、立方根是无限不循环小数，例如，， ， 等．
π＝3.14159265…也是无限不循环小数．
无限不循环小数都不是有理数．
无限不循环小数又叫作无理数．
无理数是不能写成两个整数之比（分数）的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映．
， ， ， ，
，
1.010010001…(两个1之间依次多一个0)
， ， ， ，
，
-1.010010001…(两个1之间依次多一个0)
正
无
理
数
负
无
理
数
像有理数一样，无理数也有正负之分．
常见的无理数的形式:
①开方开不尽的数的方根
②π及化简后含π的数
③有规律但不循环的小数
我国古人对无理数已经有了很多识．《九章算术》中用 “面”来表示开平方开不尽的数．刘徽在其著作 《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法 “求微数法”．
我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
1．按照定义分类．
我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？
2．按照大小分类．
实数
正实数
负实数
正有理数
负有理数
负无理数
0
正无理数
例：把下列各数分别填入相应的集合内：
， ， ， ， ， ，， ， ，，，0，0.3737737773…(两个3之间依次多一个7)，
有理数集合
无理数集合
， ， ，， ，0
， ， ，
，， ，0.3737737773…
与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示． 数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负无理数 （＞0）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度．
下面，我们以， ， 为例，看一看如何在数轴上表示无理数．
－2
－1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O'
O
思考：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于．如图所示，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O′，点O′对应的数是多少？
从图中可以看出， OO′的长是这个圆的周长，所以点O′对应的数是．这样，数轴上的点O′就表示无理数．
以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示 .
当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．因此实数与数轴上的点是___________的.
一一对应
实数
实数
数轴上的点
一一对应
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
【知识技能类练习】必做题：
1．在实数，，，3.14中，无理数是（ ）
A． B． C． D．3.14
C
【知识技能类练习】必做题：
2．下列说法正确的有 （ ）
①无理数都是实数；
②实数都是无理数；
③无限小数都是有理数；
④带根号的数都是无理数；
⑤不带根号的数都是有理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ）
A． B． C． D．
D
【知识技能类练习】选做题：
4．把下列各数分别填入所属的集合中：
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；
⑧；⑨
有理数：{__________________________________________}；
无理数：{_________________________________________ }；
正实数：{_________________________________________ }；
负实数：{_________________________________________ }．
；；0；；；；
；；，
； ；；，
；；
【综合拓展类练习】
5．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“<”连接；，4，，0，（不要求精确表示）
解：
实数
分类
实数的大小比较
与数轴的关系
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和0；
②有理数和数轴上的点一一对应；
③无理数都是无限小数；
④；
⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
【知识技能类作业】必做题：
3．有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每两个3之间依次多一个1）．
(1)属于整数的有____________________．（填序号）
(2)属于负分数的有____________________．（填序号）
(3)属于无理数的有____________________．（填序号）
④⑥
②⑤
③⑦
【知识技能类作业】选做题：
4．请将下列实数写在数轴上的对应点下方，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”连接．
．
解：
【综合拓展类作业】
5．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)求m的值；
(2)求的值．
解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，∴；
（2）∵在与的中间，
∴
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同步探究学案
课题 8.3 实数及其简单运算（第一课时） 单元 第八章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类。 2.理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
重点 理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类。
难点 对无理数的认识，理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
探究过程
导入新课 【引入思考】 在前面的学习中，我们通过引入一类新的数———负数，使数的范围扩充到有理数. 1. ________和________统称为有理数. 2. 填图. 理数 理数 想一想：本章我们认识了像， 这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？
新知探究 本节课来研究： 本节我们来研究实数的相关内容。 探究：把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么 ，，， ， ，. 提示：整数可以写成小数点后是 0 的小数 答：， ， ， ， ， . 上面的有理数都可以写成有限小数或__________的形式。 归纳：事实上，任何一个有理数都可以写成__________或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是__________． 思考1：通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，例如，， ， 等．π＝3.14159265…也是无限________小数．无限不循环小数都不是_________．无限不循环小数又叫作____________． 提示：无理数是不能写成两个整数之比（分数）的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映． 思考2：像有理数一样，无理数也有正负之分．请你列举出一些正无理数和负无理数。 正无理数： 负无理数： 归纳：常见的无理数的形式: ①开方开不尽的数的方根 ②π及化简后含π的数 ③有规律但不循环的小数 溯源：我国古人对无理数已经有了很多识．《九章算术》中用 “面”来表示开平方开不尽的数．刘徽在其著作 《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法 “求微数法”． 问题：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？ 预设： 1．按照定义分类． 实数 2．按照大小分类． 实数 例：把下列各数分别填入相应的集合内： ， ， ， ， ， ，， ， ，，，0，0.3737737773…(两个3之间依次多一个7)， 思考3：与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的______表示． 数轴上表示正无理数a的点在数轴的____半轴上，与原点的距离是____个单位长度；表示负无理数 （＞0）的点在数轴的____半轴上，与原点的距离是个单位长度． 下面，我们以， ， 为例，看一看如何在数轴上表示无理数． 思考4：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于．如图所示，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O′，点O′对应的数是多少？ 答：从图中可以看出， OO′的长是这个圆的周长，所以点O′对应的数是．这样，数轴上的点O′就表示无理数． 动手操作：以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示 . 注意：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个____来表示；反过来，数轴上的每一个____都表示一个实数．因此实数与数轴上的点是________的. 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，____边的点表示的实数总比左边的点表示的实数____．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在实数，，，3.14中，无理数是（ ） A． B． C． D．3.14 2．下列说法正确的有 （ ） ①无理数都是实数； ②实数都是无理数； ③无限小数都是有理数； ④带根号的数都是无理数； ⑤不带根号的数都是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4．把下列各数分别填入所属的集合中： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 有理数：{_____________________________…}； 无理数：{_____________________________…}； 正实数：{_____________________________…}； 负实数：{_____________________________…}． 【综合拓展类练习】 5．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“<”连接；，4，，0，（不要求精确表示）
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各数中，是无理数的是（ ） A．0 B． C． D． 2．下列说法中，正确的个数是（ ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有____________________．（填序号） (2)属于负分数的有____________________．（填序号） (3)属于无理数的有____________________．（填序号） 选做题： 4．请将下列实数写在数轴上的对应点下方，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”连接． ． 【综合拓展类作业】 5．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值．
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分课时教学设计
第六课时《8.3 实数及其简单运算（第一课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要内容是无理数和实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系。是在有理数的基础上学习实数的知识，很多内容可以类比有理数的有关内容得出，本节课把点的坐标扩展到实数范围，并建立点与实数的一一对应关系，为以后的学习函数、函数的图象、函数与方程和不等式的关系等知识打下基础。
学习者分析 无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其严格的数学定义非常高深，再加上初中生对无理数几乎没有任何感性认识，甚至对无理数是否真正存在还有质疑，因此认识无理数就成了初中数学学习中的一个难点，为了突破这一难点，应从学生熟悉的有理数入手，通过与有理数对照的方法引入无理数的概念，进而揭示出有理数和无理数的联系和区别。
教学目标 1.经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类。 2.理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。 3.体会“数形结合”的数学思想，通过了解数系扩充，体会数系扩充对人类发展的作用。 4.通过解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神。
教学重点 理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类。
教学难点 对无理数的认识，理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类。 2.理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 在前面的学习中，我们通过引入一类新的数———负数，使数的范围扩充到有理数. 1. ________和________统称为有理数. 答案：整数，分数 2. 填图. 理数 答案：正整数，正分数，负分数 理数 答案：正有理数，正分数，负分数 引言：本章我们认识了像， 这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？如果不是，我们将再次扩充数的范围．学生活动2： 学生独立思考并举手回答。活动意图说明： 复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过引言，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫.环节三：新知讲解教师活动3： 探究：把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么 ，，， ， ，. 指出：整数可以写成小数点后是 0 的小数 预设：， ， ， ， ， . 上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 归纳：事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数． 讲解1：通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方 根、立方根是无限不循环小数，例如，， ， 等． π＝3.14159265…也是无限不循环小数． 无限不循环小数都不是有理数． 无限不循环小数又叫作无理数． 强调：无理数是不能写成两个整数之比（分数）的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映． 讲解2：像有理数一样，无理数也有正负之分． 举例： 正无理数 ， ， ， ， ， 1.010010001…(两个1之间依次多一个0) 负无理数 ， ， ， ， ， -1.010010001…(两个1之间依次多一个0) 归纳：常见的无理数的形式: ①开方开不尽的数的方根 ②π及化简后含π的数 ③有规律但不循环的小数 溯源：我国古人对无理数已经有了很多识．《九章算术》中用 “面”来表示开平方开不尽的数．刘徽在其著作 《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法 “求微数法”． 问题：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？ 预设： 1．按照定义分类． 实数 2．按照大小分类． 实数 例：把下列各数分别填入相应的集合内： ， ， ， ， ， ，， ， ，，，0，0.3737737773…(两个3之间依次多一个7)， 答案：有理数有：， ， ，， ，0 无理数有：， ， ， ，， ，0.3737737773… 讲解2：与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示． 数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负无理数 （＞0）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度． 下面，我们以， ， 为例，看一看如何在数轴上表示无理数． 思考：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于．如图所示，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O′，点O′对应的数是多少？ 预设：从图中可以看出， OO′的长是这个圆的周长，所以点O′对应的数是．这样，数轴上的点O′就表示无理数． 操作：以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示 . 指出：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此实数与数轴上的点是一一对应的. 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 学生活动3： 学生认真思考、动手操作、小组合作探究、交流，然后听老师讲解活动意图说明： 通过学生的讨论和交流，理解无理数的概念并类比有理数分类方法对实数进行分类，并通过具体操作体会无理数也可以在数轴上表示出来，理解实数和数轴上的点一一对应的关系。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：8.3 实数及其简单运算（第一课时） 一、无理数 二、实数及其分类 三、实数与数轴 实数的大小比较教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在实数，，，3.14中，无理数是（ ） A． B． C． D．3.14 答案：C 2．下列说法正确的有 （ ） ①无理数都是实数； ②实数都是无理数； ③无限小数都是有理数； ④带根号的数都是无理数； ⑤不带根号的数都是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 3．如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ） A． B． C． D． 答案：D 选做题： 4．把下列各数分别填入所属的集合中： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 有理数：{_____________________________…}； 无理数：{_____________________________…}； 正实数：{_____________________________…}； 负实数：{_____________________________…}． 解：∵，，， 有理数：{；；0；；；；}； 无理数：{；；，}； 正实数：{； ；；，}； 负实数：{；； }． 【综合拓展类练习】 5．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“<”连接；，4，，0，（不要求精确表示） 解：， 如图， 故．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各数中，是无理数的是（ ） A．0 B． C． D． 答案：B 2．下列说法中，正确的个数是（ ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 3．有下列各数：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每两个3之间依次多一个1）． (1)属于整数的有____________________．（填序号） (2)属于负分数的有____________________．（填序号） (3)属于无理数的有____________________．（填序号） 解：（1）∵，， ∴整数的有④⑥． （2）∵，， ∴负分数的有②⑤． （3）∵，， ∴无理数的有③⑦． 选做题： 4．请将下列实数写在数轴上的对应点下方，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”连接． ． 解：各实数写在数轴上，如图所示： 把它们按从小到大的顺序排列：． 【综合拓展类作业】 5．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； （2）∵在与的中间， ∴．
教学反思 在本课教学中，先通过梳理有理数知识，类比其研究思路明确实数学习方法，把有理数与有限、无限循环小数统一，对照有理数引出无理数，揭示二者区别，帮助学生理解实数定义。随着无理数引入，数的范围扩至实数，类比有理数分类方式对实数分类。接着类比用数轴表示有理数，借助特定图形在数轴找到表示π、和的点，点明实数与数轴点一一对应，以及借助数轴比较两个实数的大小。 在教学中，精心设计问题情境，引导学生剖析概念，促使学生从被动变主动，激发学习热情，培养自主学习能力。采用独立思考与小组讨论结合的方式解决实际问题，培养学生的数学素养。
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