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分课时教学设计
第七课时《8.3 实数及其简单运算（第二课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课的主要内容是实数的相反数和绝对值的意义以及实数的运算。“实数的简单运算”处于人教版初中数学知识体系的关键节点。在这之前，学生已掌握有理数运算，而实数运算则是对其的拓展，为后续学习方程、函数等知识奠定基础，是从有理数到实数领域的重要过渡内容，对构建完整数学运算体系意义重大。
学习者分析 学生已有有理数运算的知识储备，熟悉整数、分数的四则运算以及乘方运算，对运算顺序和运算律也有一定的认知。但对于无理数，学生刚刚接触，仅了解其概念和简单形式，对无理数参与运算的理解还不够深入，需要在教学中通过实例逐步引导。 初中学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对直观、具体的例子接受度较高，但对于抽象的数学原理和概念理解起来有一定难度.在实数运算学习中，对于将有理数运算律推广到实数范围这一抽象过程，部分学生可能难以理解，需要借助大量实例和直观演示帮助他们掌握。
教学目标 1.了解实数的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值。 2.认识实数范围内的运算法则，会进行实数的四则运算与近似计算。 3.在教学过程中通过渗透类比转化的思想，让学生意识到知识之间的紧密联系，体会数学的一致性。 4.通过共同探索，体验独立思考与合作交流的学习过程，激发学生探索数学的热情和兴趣。
教学重点 了解实数的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值。
教学难点 认识实数范围内的运算法则，会进行实数的四则运算与近似计算。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.了解实数的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值。 2.认识实数范围内的运算法则，会进行实数的四则运算与近似计算。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.无限不循环小数又叫作________． 答案：无理数 2.有理数和无理数统称为________． 答案：实数 3.实数的分类 （1）按照定义分类． 实数 答案：无理数，负，正，循环，不循环 （2）按照大小分类． 实数 答案：负 4. 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．因此实数与数轴上的点是___________的. 答案：实数，一一对应 5.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数______． 答案：大 6.回忆有理数中相反数、绝对值、倒数的定义是什么 答案： 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，用︱a︱表示. 倒数：如果两个数的积是1，则这两个数互为倒数. 引言：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 思考： （1）的相反数是______，的相反数是______， 0 的相反数是______ ； （2） | | ＝ ____ ，|| ＝ ____ ，| 0 | ＝ ____ ． 答案：（1），，0 （2），，0 指出：一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离． 归纳：数 a 的相反数是－a，这里 a 表示任意一个实数． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 即设 a 表示一个实数，则 例1：（1）分别写出，的相反数； （2）指出，分别是什么数的相反数； （3）求的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是，求这个数． 解：（1）因为 ， ∴ ，的相反数分别是， （2）因为 ， 所，分别是，的相反数 （3）因为 ， 所以 （4）因为 ， 所以绝对值为的数是和 讲解1：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用． 随着数的范围的进一步扩充，负数也将可以进行开平方运算． 实数的运算顺序：先算____________，再算_______，最后算_______．同级运算__________依次进行，有括号的要_________里面的． 答案：乘方、开方；乘、除；加、减；从左到右；先算括号 加法交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：(ab)c＝a(bc) 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 例2：计算。 （1）；（2） 解：（1） = （加法结合律） =0 = （2） = （分配律） = 讲解2：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数 （例如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入． 例2：计算（结果保留小数点后两位）. （1）；（2） 解：（1） ≈2.2362.646=0.41 ； （2）≈3.142×1.442 ≈4.53. 指出：在近似计算时，计算过程中有时也使用 “去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入．如≈2.2362.645 ≈ 0.41 学生活动3： 学生认真思考，合作探究，积极发表自己的意见，最后听老师的讲解活动意图说明： 通过类比、讨论、合作探究等活动，让学生理解实数的相反数和绝对值的意义，掌握实数的运算律和运算方法。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：8.3 实数及其简单运算（第二课时） 一、相反数 二、绝对值 三、实数的运算教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简结果是（ ） A． B．b C． D． 答案：A 3．计算 (1) (2) 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类练习】 5．观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小． 解：（1）原式 ． （2）， ， ． 又, ， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．的绝对值是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．对实数，，定义运算．已知，则的值为（ ） A．4 B． C． D．4或 答案：C 3．计算： (1) (2) 解：（1） （2） 选做题： 4．已知x、y都是实数，且，求的平方根 解：根据题意得 ∵，，和互为相反数， ∴，， ∴ ∴ ∴． ∴16的平方根是． 【综合拓展类作业】 5．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 解：（1）∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）由题意得：．
教学反思 本课对平方根、算术平方根、立方根、无理数及实数等内容进行梳理整合。此前，学生已学习加、减、乘、除、乘方运算和有理数概念，为学习数的开方与无理数奠定基础。实数也能像有理数那样规定相反数和绝对值。在教学时，先复习有理数的相反数和绝对值，再引出实数相关规定，并通过例题、习题巩固。 对于实数运算，强调两点：一是有理数的运算律和性质在实数范围内依旧适用；二是无理数近似计算，可取近似值转化为有理数计算。教学过程中让学生多应用、多尝试，发挥主观能动性。 课堂精心设计问题情境，积极引导学生剖析概念，从被动学习转向主动探究，激发学习热情，培养自主学习能力。通过独立思考与小组讨论结合，解决实际问题，培养解题思想方法，提升数学素养。
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第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
（第二课时）
1.了解实数的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值。
2.认识实数范围内的运算法则，会进行实数的四则运算与近似计算。
实数
1.无限不循环小数又叫作________．
2.有理数和无理数统称为________．
3.实数的分类
（1）按照定义分类． （2）按照大小分类．
实数
无理数
实数
无理数
负
正
循环
不循环
负
4. 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．因此实数与数轴上的点是___________的.
5.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数______．
实数
一一对应
大
6.回忆有理数中相反数、绝对值、倒数的定义是什么
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，用︱a︱表示.
倒数：如果两个数的积是1，则这两个数互为倒数.
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数．
思考：
（1）的相反数是______，的相反数是______， 0 的相反数是______ ；
（2） | | ＝ ____ ，|| ＝ ____ ，| 0 | ＝ ____ ．
0
0
一个实数的绝对值 就是它在数轴上的对应点与原点的距离．
数 a 的相反数是－a，这里 a 表示任意一个实数．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．
即设 a 表示一个实数，则
例1：（1）分别写出，的相反数；
（2）指出，分别是什么数的相反数；
（3）求的绝对值；
（4）已知一个数的绝对值是，求这个数．
解：（1）因为 ，
所以 ，的相反数分别是，
例1：（1）分别写出，的相反数；
（2）指出，分别是什么数的相反数；
（3）求的绝对值；
（4）已知一个数的绝对值是，求这个数．
解：（2）因为 ，
所，分别是，的相反数
例1：（1）分别写出，的相反数；
（2）指出，分别是什么数的相反数；
（3）求的绝对值；
（4）已知一个数的绝对值是，求这个数．
解：（3）因为 ，
所以
例1：（1）分别写出，的相反数；
（2）指出，分别是什么数的相反数；
（3）求的绝对值；
（4）已知一个数的绝对值是，求这个数．
解：（4）因为 ，
所以绝对值为的数是和
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
随着数的范围的进一步扩充，负数也将可以进行开平方运算．
实数的运算顺序：先算____________，再算_______，最后算_______．同级运算__________依次进行，有括号的要_________里面的．
乘方、开方
乘、除
加、减
从左到右
先算括号
加法交换律：a+b=b+a
加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律：ab＝ba
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
例2：计算。
（1）； （2）
解：（1）
= （加法结合律）
=0
=
（2）
= （分配律）
=
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数 （例如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入．
例2：计算（结果保留小数点后两位）.
（1） ； （2）
解：（1） ≈2.2362.646=0.41 ；
（2）≈3.142×1.442 ≈4.53.
在近似计算时，计算过程中有时也使用 “去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入．如≈2.2362.645 ≈ 0.41
【知识技能类练习】必做题：
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简结果是（ ）
A． B．b C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：(1)
(2)
解：（1）
；
（2）
．
【知识技能类练习】选做题：
4．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C． D．
A
【综合拓展类练习】
5．观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,
，
…
(1)计算：；
(2)试比较与的大小．
【综合拓展类练习】
解：（1）原式
4．
（2）因为，
所以，
所以 ．
又因为,
，
所以 ，
所以 ．
实数
实数的相反数、绝对值
实数的运算
任意实数 a 的相反数是－a
实数的绝对值：非负性
先乘方、开方，再乘、除，最后加、减
【知识技能类作业】必做题：
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．对实数，，定义运算．已知，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或
C
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1); (2)
解:(1)
(2)
【知识技能类作业】选做题：
4．已知x、y都是实数，且，求的平方根
解：根据题意得
因为，，和互为相反数，
所以，，
所以
所以
所以．
所以16的平方根是．
【综合拓展类作业】
5．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小
数.参考数据：）.
解：（1）因为正方形A和正方形B的面积分别为3和9，
所以正方形A和正方形B的边长各是；
（2）由题意得：．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 8.3 实数及其简单运算（第二课时） 单元 第八章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1.了解实数的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值。 2.认识实数范围内的运算法则，会进行实数的四则运算与近似计算。
重点 了解实数的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值。
难点 认识实数范围内的运算法则，会进行实数的四则运算与近似计算。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.无限不循环小数又叫作________． 2.有理数和无理数统称为________． 3.实数的分类 （1）按照定义分类． （2）按照大小分类． 实数 实数 4. 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．因此实数与数轴上的点是___________的. 5.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数______． 6.回忆有理数中相反数、绝对值、倒数的定义是什么 相反数：只有________不同的两个数叫做互为相反数. 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的______叫做数a的绝对值，用︱a︱表示. 倒数：如果两个数的积是1，则这两个数互为________.
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究实数的相反数、绝对值及实数的运算。 思考： （1）的相反数是______，的相反数是______， 0 的相反数是______ ； （2） | | ＝ ____ ，|| ＝ ____ ，| 0 | ＝ ____ ． 注意：一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的________． 归纳：数 a 的相反数是______，这里 a 表示任意一个实数． 一个正实数的绝对值是_____；一个负实数的绝对值是它的_____；0 的绝对值是____． 即设 a 表示一个实数，则 例1：（1）分别写出，的相反数； （2）指出，分别是什么数的相反数； （3）求的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是，求这个数． 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用． 随着数的范围的进一步扩充，负数也将可以进行开平方运算． 实数的运算顺序：先算____________，再算_______，最后算_______．同级运算__________依次进行，有括号的要_________里面的． 加法交换律：a+b=___+___ 加法的结合律：(a+b)+c=a+(___+___) 乘法交换律：ab＝____ 乘法结合律：(ab)c＝a(___) 分配律：a(b＋c)＝____＋____ 例2：计算。 （1）；（2） 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（例如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入． 例2：计算（结果保留小数点后两位）. （1）；（2） 注意：在近似计算时，计算过程中有时也使用 “去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入．如 ≈2.2362.645 ≈ 0.41
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简结果是（ ） A． B．b C． D． 3．计算 (1)(2) 选做题： 4．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．的绝对值是（ ） A． B． C． D． 2．对实数，，定义运算．已知，则的值为（ ） A．4 B． C． D．4或 3．计算： (1) (2) 选做题： 4．已知x、y都是实数，且，求的平方根 【综合拓展类作业】 5．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
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