第十七章勾股定理单元测试题（含答案）人教版八年级数学下册

八年级数学下册人教版第十七章《勾股定理》单元测试题
一、选择题
1．若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（　　）
A．13 B． C．13或15 D．15
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，连接直线，分别交、于点、，连接，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，，，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（　　）
A．6 B．36 C．16 D．49
7．如图，在中，平分交于点，则点到的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（　　）
A．6cm B．6cm C．2cm D．10cm
9．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　）
A．28 B．26 C．32 D．30
10．如果一个三角形的三边满足关系式，那么这个三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．针角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
二、填空题
11．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在距离根部4m处，这棵大树在折断前的高度为　 　m．
12．如图，在中，，，点在上，，，则的长为　 　．
13．如图， 中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则　 　．
14．如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为　 　 ．
15． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 　 　．
16．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，如果一只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达点，那么蚂蚁爬行的最短路径长为　 　．
17．如图一只蚂蚁从长为5cm，宽为3cm，高为4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短距离是　 　cm．
三、解答题
18．如图，在中，，点位于上，于点，且．
（1）求证：≌；
（2）如果，，求的长．
19．在中，的对边分别用来表示，且满足，试判断的形状．
20． 如图，在中，，，．
（1）求的长；
（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．
21．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
22．荡秋千(图1)是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推送 (水平距离 )时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
23．如图，有一张四边形纸片，°．经测得，，，．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
24．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，技术人员通过测量确定了．
（1）小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出人，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点到点将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.
（1）求CD的长.
（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.
（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等 若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.
26．如图
（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两条直角边a，b与斜边满足关系式，称为勾股定理.
证明：大正方形的面积可表示为，又可表示为，
，
　 　.
即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.
27．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）　 　；
②（十字相乘法）　 　；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
答案
1．A
2．A
3．D
4．B
5．D
6．B
7．A
8．A
9．A
10．C
11．8
12．
13．
14．
15．9
16．13
17．
18．（1）证明：，
，
，
在 和中，
，
≌
（2）解：，，，
，
又≌
，
，
，，
在中，，
，
，
解得 ，
．
19．解：因为，且，
所以，
即，
因为，
所以是直角三角形
20．（1）解：在中，，，
，
；
（2）解：设，则．
在中，
，
，
解得，
．
21．（1）解：AP=CQ．理由如下：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ
（2）解：∵等边△ABC和等边△BPQ中，
PB=PQ=4，PA=QC=3，
∵PQ2+CQ2=PC2，
∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）
22．解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为，则，
∴，
解得：，
答：绳索的长度是．
23．（1）解：连结．
在中，°，，，
．
即、两点之间的距离为
（2）解：，
∴△ACD是直角三角形且，
四边形纸片的面积
（7分）
．
24．（1）解：如图，连接，
，
答：居民从点到点将少走路程；
（2），
是直角三角形，，
，
，
答：这片绿地的面积是．
25．（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴.
∵CD⊥AB于点D，
∴，
∴ 10CD=6×8，即.
（2）解：如图1，∵3AE=2CE，AC=8，，
∴，即CE=CD.
∵CD⊥AB，EF⊥AC，
∴∠CDF=∠CEF=90°.
∵CF=CF，
∴△CEF≌△CDF(HL)，
∴∠ECF=∠DCF，
∴CF平分∠ACD.
（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.
由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，
CF是公共边，有四种情形：
①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.
当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，
∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，
∴，.
∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，
②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.
同①可得△CEF≌△CDF，
③如图4，若点E在线段AC上，点在线段BD上.
当时，
，
，
④如图5，若点E在射线CA上，点在射线BA上.
当时，
，此时，
综上，所有符合条件的DF的长是.
26．（1）
（2）证明：由图得，大正方形面积，由可以表示为，
∴，
整理得，
即.
27．（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．