8.2 单项式乘多项式 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
8.2 单项式乘多项式
第8章 整式乘法
苏科版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解单项式乘多项式的运算法则,能熟练地进行单项式乘多项式的
计算，发展运算能力.
2.体会乘法分配律的作用和转化的思想,提升分析问题的能力及语言表达能力.
3.经历探索单项式乘多项式运算法则的过程,感悟数形结合思想,知道使用符号可以进行推理运算,得到的结论具有一般性，培养抽象能力.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
单项式乘多项式
感悟新知
1
1. 运算法则：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
用字母表示为 m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc．其中m、a、b、c都是单项式.
感悟新知
2. 单项式与多项式相乘的几何解释：如图8.2－1，大长方形的面积可以表示为m(a＋b＋c)，也可以视为三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为
ma＋mb＋mc. 所以m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc.
感悟新知
3. 单项式与多项式相乘的步骤
(1)根据乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；
(2)将单项式与单项式相乘的结果相加.
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 单项式与多项式相乘，实际上是利用乘法分配律将其转化为单项式与单项式相乘.
2. 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.
3. 单项式与多项式相乘时，要把单项式与多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘.
感悟新知
计算：(1)(－3x)(－2x2＋1)；
例 1
解：(－3x)(－2x2＋1)
=(－3x)·(－2x2)＋(－3x)·1
= 6x3－3x.
感悟新知
知1－练
(2)(3xy2－6xy－1)· xy.
解题秘方：用单项式乘多项式的法则进行计算.
解：(3xy2－6xy－1)· xy
=3xy2· xy＋(－6xy)· xy＋(－1)· xy
=x2y3－2x2y2－ xy.
感悟新知
知1－练
特别警示
1. 单项式乘多项式，当多项式的某项为1 时， 千万不能出现漏乘的情况.
2. 多项式的各项都包括它前面的符号，(2)中多项式的项有3xy2，－6xy，－1，计算时要将这三项分别与xy相乘.
典例 计算：
（1） ;
解： .
.
（2） .
解：
.
1. 化简： a ( a －2)＋4 a ＝(　A　)
A. a2＋2 a B. a2＋6 a
C. a2－6 a D. a2＋4 a －2
2. 方程－2 x ( x －1)＋ x (2 x －5)＝3的解是(　D　)
A. x ＝1 B. x ＝2
C. x ＝ D. x ＝－1
A
D
3. 一个长方体的长、宽、高分别为3 x －4，2 x 和 x ，则它的
体积等于(　C　)
A. 3 x3－4 x B. 6 x3－4 x
C. 6 x3－8 x2 D. 6 x2－8 x
4. [2024北京海淀区期中]已知2 a2－7 a －1＝0，则代数式 a
(2 a －7)＋5的值为(　A　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. －4
C
A
5. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，回到家，小丽
拿出课堂笔记复习，突然发现一道题：－3 x2(2 x －□＋1)
＝－6 x3＋3 x2 y －3 x2，“□”的地方被墨水污染了，则
“□”上应是 .
6. [学科素养 逻辑推理] n 为自然数，那么式子 n (2 n ＋1)－2
n ( n －1)能否被3整除？
【解】原式＝2 n2＋ n －2 n2＋2 n ＝3 n ，则代数式 n (2 n
＋1)－2 n ( n －1)能被3整除.
y 　
7. [母题教材P100例5] 计算：
(1)－6 a · ；
【解】原式＝－6 a · －(－6 a )· a ＋(－6 a )×2
＝3 a3＋2 a2－12 a .
(2)(5 mn2－4 m2 n )·(－2 mn )；
【解】原式＝5 mn2·(－2 mn )－4 m2 n ·(－2 mn )＝－10
m2 n3＋8 m3 n2.
(3) x2( x －1)－ x ( x2＋ x －1)；
【解】原式＝ x3－ x2－ x3－ x2＋ x ＝ x －2 x2.
(4)－2 a2· －5 ab · .
【解】原式＝－ a3 b －2 a2 b2－2 a3 b ＋5 a2 b2＝－3 a3 b
＋3 a2 b2.
8. 已知有理数 a ， b ， c 满足｜ a － b －3｜＋( b ＋1)2＋
｜ c －1｜＝0，先化简，再求值：(－3 ab )·( a2 c －6 b2 c ).
【解】(－3 ab )·( a2 c －6 b2 c )＝－3 a3 bc ＋18 ab3 c .
由｜ a － b －3｜＋( b ＋1)2＋｜ c －1｜＝0，得
解得∴原式＝－3×23×(－1)×
1＋18×2×(－1)3×1＝24－36＝－12.
9. 已知( x4－ n ＋ ym＋3)· xn ＝ x4＋ x2 y7，则 m ＋ n 的值是
(　D　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. [2024蚌埠龙子湖区期中]要使 x ( x ＋2 a )＋2 x －2 b ＝ x2＋6 x ＋8成立，则 a ， b 的值分别为(　C　)
A. a ＝－2， b ＝－4 B. a ＝2， b ＝4
C. a ＝2， b ＝－4 D. a ＝－2， b ＝4
D
C
11. 要使( x2＋ ax ＋5)(－6 x3)的展开式中不含 x4项，则 a 等于
(　D　)
A. 1 B. －1
C. D. 0
D
12. 定义 表示3 abc ， 表示 xz ＋ wy ，则 ×
的结果为(　B　)
A. 72 m2 n －45 mn2 B. 72 m2 n ＋45 mn2
C. 24 m2 n －15 mn2 D. 24 m2 n ＋15 mn2
B
13. 已知 A ＝－2 x2， B ＝ x2－3 x －1， C ＝－ x ＋1，则
A · B ＋ A · C 的值为 .
14. 某同学在计算一个多项式乘－3 x2时，算成了加上－3x2，得到的答案是 x2－ x ＋1，则正确的计算结果
是 .
－2 x4＋8 x3　
－12 x4＋ x3－3 x2　
【点拨】
由题意可得，原多项式为 x2－ x ＋1＋3 x2＝4 x2－
x ＋1，故正确的计算结果应为－3 x2·(4 x2－ x ＋1)＝
－12 x4＋ x3－3 x2.
15. (1)[母题教材P106习题T12] 一张长方形硬纸板的长为
(5 a2＋4 b2)m，宽为6 a4 m，在它的四个角上分别剪去一个边长为 a3 m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成的无盖盒子所用硬纸板的面积；
【解】长方形硬纸板的面积是(5 a2＋4 b2)·6 a4＝(30 a6＋
24 a4 b2)(m2)，一个小正方形的面积是 ＝ a6(m2)，则折成的无盖盒子所用硬纸板的面积是30 a6＋24 a4 b2－4× a6＝(21 a6＋24 a4 b2)(m2).
(2)如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求
这块地的面积.
【解】长方形地的长为(3 a ＋2 b )＋
(2 a － b )＝5 a ＋ b ，宽为4 a ，
所以这块地的面积为4 a ·(5 a ＋ b )＝
20 a2＋4 ab .
16. [整体思想]阅读下面的解题过程，并解决问题.
已知：2 ab2＝3，求 ab ·(8 a2 b5＋4 ab3－2 b )的值.
分析：因为满足2 ab2＝3的 a ， b 的值较多，优先考虑用
整体代入的思想，将2 ab2＝3整体代入.
解： ab ·(8 a2 b5＋4 ab3－2 b )
＝8 a3 b6＋4 a2 b4－2 ab2
＝(2 ab2)3＋(2 ab2)2－2 ab2
＝33＋32－3
＝33.
请你结合上述思想解决问题：已知2 m2＝5，求(4 m5－
2 m3＋ m )·(－2 m )的值.
【解】∵2 m2＝5，
∴(4 m5－2 m3＋ m )·(－2 m )＝－8 m6＋4 m4－2 m2＝－(2
m2)3＋(2 m2)2－2 m2＝－53＋52－5＝－105.　
谢谢观看！