8.4 乘法公式 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
8.4 乘法公式
第8章 整式乘法
苏科版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会推导完全平方公式、平方差公式,并能运用公式进行简单的计算,发展运算能力.
2.通过几何图形面积的计算,了解乘法公式的几何意义，感悟数形结合的思想.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.完全平方公式
.
.
也就是说,两个数的和（或差）的平方,等于它们的平方和加上（或
减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.
本节中的字母, 可以是单项式,也可以是多项式.
2.完全平方公式的推导方法
（1）用多项式乘法法则推导完全平方公式
.
.
（2）借助几何图形推导完全平方公式
如图（1）,边长是的正方形的面积
是,它的面积还可以视为两个小
正方形与两个小长方形面积的和,即
,
所以.
如图（2）,边长是 的正方形的面积是 ,它的面积还可以视为大正方形的面积与两个小长方形面积的差,即
,
所以 .
用几何图形推导完全平方公式的方法还有很多，举例如下：
3.完全平方公式的结构特征
（1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方,两者仅有一个
“符号”不同;
（2）两个公式的等号右边都是二次三项式,其中首尾两项是等号左
边二项式中每一项的平方,中间一项是等号左边二项式中两项
乘积的2倍,两个公式等号右边的中间项仅有一个“符号”的差异.
示例1 利用完全平 方公式计算 ____________________________________________________________________________________________________
三项或三项以上的和（或差）的平方可转化为两项的和
（或差）的平方,如
.
典例1 计算：
（1） ;
解：
.
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
1.平方差公式
.
也就是说,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
这个公式叫作（乘法的）平方差公式.
（1）用多项式乘法法则推导平方差公式
2.平方差公式的推导方法
（2）借助几何图形推导平方差公式
如图所示,图（1）中阴影部分的
面积是 ,图（2）中阴影部
分的面积是 ,
于是
用几何图形推导平方差公式的方法还有很多，
如下方式都可以得到
示例2 利用平方差公式计 算 ______________________________________________________________________
3.平方差公式的结构特征
（1）等号左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,
另一项互为相反数;
（2）等号右边是一个二项式,这个二项式是左边两个二项式中相同
项与相反项的平方差.
4.平方差公式的变化及应用
变化形式 应用举例
位置变化 .
符号变化 .
系数变化 .
指数变化 .
增项变化 .
连用公式 .
在运用平方差公式时,要分清哪一项相当于公式中的 ,哪
一项相当于公式中的 ,不要混淆.
典例2 计算：
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） .
解：方法一
.
方法二
1. 下列各式能用平方差公式计算的是
(　B　)
A. ( x －3)(3－ x )
B. (－2 x －1)(－2 x ＋1)
C. ( x －3)(2 x ＋3)
D. (－ x －3)( x ＋3)
B
2. 乘积等于 a2－ b2的式子是(　C　)
A. ( a ＋ b )(－ a ＋ b )
B. (－ a － b )( a － b )
C. (－ a ＋ b )(－ a － b )
D. 以上都不对
C
3. 计算 a2－( a ＋1)( a －1)的结果是(　A　)
A. 1 B. －1
C. 2 a2＋1 D. 2 a2－1
4. [新考法 整体代入法]已知( x ＋2)( x －2)－2 x ＝1，则2 x2
－4 x ＋3的值为(　A　)
A. 13 B. 3
C. －3 D. 5
A
A
5. [母题教材P108练习T2(3)] 已知 M ＝2 0242， N ＝2 023× 2 025，则 M 与 N 的大小关系是(　A　)
A. M ＞ N B. M ＜ N
C. M ＝ N D. 不能确定
【点拨】
∵ M ＝2 0242， N ＝2 023×2 025＝(2 024－1)(2 024＋ 1)＝2 0242－1，∴ M － N ＝2 0242－(2 0242－1)＝1＞0， ∴ M ＞ N .
A
6. 若(2 x ＋3 y )( mx － ny )＝9 y2－4 x2，则 m ， n 的值分别
为 .
7. [母题教材P112习题T1(5)] 计算：
(1)9 ×8 ；　　　
【解】原式＝ ＝92－ ＝80 .
－2，－3　
(2) .
【解】原式＝ ＝ ＝
＝21.
8. [整体思想 2024·北京房山区二模]已知 x2－ x －1＝0，求式
子( x ＋3)( x －3)＋ x ( x －2)的值.
【解】( x ＋3)( x －3)＋ x ( x －2)＝ x2－9＋ x2－2 x ＝2 x2－
2 x －9＝2( x2－ x )－9.
∵ x2－ x －1＝0，∴ x2－ x ＝1，
∴原式＝2×1－9＝2－9＝－7.
1. 下列式子中，可利用完全平方公式计算的是(　D　)
A. (3 x － y )(－3 x － y )
B. (3 x － y )(3 x ＋ y )
C. (－3 x － y )(－3 x ＋ y )
D. (－3 x － y )(3 x ＋ y )
D
2. 如果 x2＋ kxy ＋16 y2是一个完全平方式，那么 k 的值是
(　D　)
A. 4 B. ±4
C. 8 D. ±8
D
3. 如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是
(　B　)
A. a2－ b2＝( a － b )( a ＋ b )
B. ( a － b )2＝ a2－2 ab ＋ b2
C. 4 ab ＝( a ＋ b )2－( a － b )2
D. ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2
B
4. [母题教材P112习题T7] 若 m － n ＝－4， mn ＝9，则( m
＋ n )2＝(　A　)
A. 52 B. 50
C. 45 D. 60
A
5. 若 ＝ x2－4 xy ＋ k2 y2，则 k 的值为 .
6. [2024常州钟楼区月考]若( x ＋9 y )2＝( x －9 y )2＋ A ，则代
数式 A 为 .
±6　
36 xy 　
7. [母题教材P110例4] 利用完全平方公式计算：
(1) ；　　　
【解】原式＝
＝3 600＋2＋ ＝3 602 .
(2)1012＋992－98×102；
【解】原式＝(100＋1)2＋(100－1)2－(100－2)(100＋2)
＝1002＋200＋1＋1002－200＋1－(1002－4)＝1002＋6
＝10 006.
(3)[2023山西] x ( x ＋2)＋( x ＋1)2－4 x .
【解】原式＝ x2＋2 x ＋ x2＋2 x ＋1－4 x ＝2 x2＋1.
谢谢观看！