10.4 三元一次方程组 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
10.4 三元一次方程组
第10章 二元一次方程组
苏科版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解三元一次方程组的概念，会解简单的三元一次方程组，提升运算能力.
2.通过解简单的三元一次方程组进一步体会“消元”的基本思想.
《三元一次方程组》教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解三元一次方程组的概念，能正确识别三元一次方程组。
熟练掌握三元一次方程组的解法，会用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组。
过程与方法目标
通过对实际问题的分析，经历列三元一次方程组解决问题的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。
在解方程组的过程中，体会 “消元” 思想，培养学生的化归意识和运算能力。
情感态度与价值观目标
通过合作交流，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学好数学的信心。
二、教学重难点
教学重点
三元一次方程组的概念及解法。
用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组。
教学难点
选择合适的消元方法解三元一次方程组，特别是在消元过程中避免计算错误。
灵活运用三元一次方程组解决实际问题。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合，引导学生自主探究、合作交流。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
创设情境：展示一个实际问题，如：一个三位数，个位、十位、百位上的数字之和为 17，十位数字比个位数字大 1，百位数字是个位数字的 2 倍，求这个三位数。
引导学生分析问题，设未知数：设个位数字为 x，十位数字为 y，百位数字为 z。
根据题目中的等量关系列出方程：\( \begin{cases} x + y + z = 17 \\ y = x + 1 \\ z = 2x \end{cases} \)
引出课题：像这样含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程组叫做三元一次方程组，今天我们就来学习三元一次方程组的解法。
（二）讲授新课（20 分钟）
三元一次方程组的概念
给出三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
举例说明：\( \begin{cases} x + y + z = 12 \\ x - 2y + z = 0 \\ 2x + 3y - z = 5 \end{cases} \)
让学生判断是否为三元一次方程组，加深对概念的理解。
三元一次方程组的解法
以刚才导入的方程组为例：\( \begin{cases} x + y + z = 17 \\ y = x + 1 \\ z = 2x \end{cases} \)
讲解代入消元法：
把②式\(y = x + 1\)和③式\(z = 2x\)代入①式\(x + y + z = 17\)中，得到\(x+(x + 1)+2x = 17\)。
先化简方程：\(x+x + 1+2x = 17\)，\(4x+1 = 17\)。
然后求解\(4x = 16\)，\(x = 4\)。
把\(x = 4\)代入②式得\(y = 4\)
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.三元一次方程组：把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，
就组成了一个三元一次方程组.
2.三元一次方程组必须同时满足三个条件：（1）方程组中一共含
有三个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1；（3）方程组
中的每个方程都是整式方程.
典例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A
A. B.
C. D.
解析：
选 项 是否都为 整式方程 是否共含有三个未 知数 含未知数的项的 次数是否都为1 是否为三元
一次方程组
A 是 是 是 是
B 是 否（共含， ， ， 四个未知数） 否
C 否 否
D 是 是 否， 的次 数为2 否
1.解三元一次方程组的基本思路：通过代入消元法或加减消元法消
去一个未知数，就可以把解三元一次方程组转化为解二元一次方程
组，进而转化为解一元一次方程.
2.解三元一次方程组的一般步骤
（1）消元:利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得到关
于另外两个未知数的二元一次方程组.
（2）求解:解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值.
（3）回代:将求得的未知数的值代入原方程组中含有最后一个未知
数的方程中，得到一个一元一次方程.
（4）求解:解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值.
（5）写解:将求得的三个未知数的值用“”联立起来，就是原三元
一次方程组的解.
典例2 解方程组：
（1）
（2）
解：（1）
消去未知数
④与⑤联立，得方程组解得
把,代入②，得
所以原方程组的解为
（2）方法一 ，得 . ④
③与④联立，得方程组解得
把，代入①，得，解得 .
所以原方程组的解为
（2）方法二 由③，得 . ④
把④代入①，得，即 . ⑤
把④代入②，得，即 . ⑥
⑤与⑥联立，得方程组解得
把代入④，得 .
所以原方程组的解为
1. 下列方程组中是三元一次方程组的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. 解方程组 时，要使解法较为简便，应
( )
B
A. 先消去 B. 先消去
C. 先消去 D. 先消去常数
返回
3. [2024内江期中] 三元一次方程组 的解为( )
D
A. B.
C. D.
返回
4.[2024成都郫都区期末] 已知，，满足
则 _______.
【点拨】
，得，即 ，
.
，得 ，
即 ，
，
.
返回
5. 已知等式，且当 时，
；当时，；当时， .
（1）求，， 的值；
【解】由题意得
，得 ，④
，得，即 ，⑤
④与⑤组成方程组，得
解得 把代入①，得 .
（2）当时， 的值又是多少？
【解】由（1）知，，的值分别是2， ，1，
，
当 时，
.
返回
6.如图是一个有三条边的算法图，每个 里有一个数，这个
数等于它所在边的两个里的数的和，请求出三个 里应填
入的数.
【解】如图，设三个数分别是,, ,
根据题意，得解得
返回
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