10.5 用二元一次方程组解决问题 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
10.5 用二元一次方程组解决问题
第10章 二元一次方程组
苏科版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤.
2.通过探究实际问题，进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型，发展模型观念.
3.在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题与解决问题的能力，形成应用意识.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
（1）审：仔细审题，弄清题目中的已知量与未知量.
（2）找：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系.
（3）设：设出两个未知数，用未知数或含未知数的代数式表示出
其他量.
（4）列：根据找出的两个等量关系，列出二元一次方程组.
（5）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值.
（6）验：检验所求得的结果是否符合题意及实际意义.
（7）答：写出答案.
典例1 (自贡中考)六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了
甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园
购买甲、乙两种玩具的个数分别为____、____．
10
20
解析：设该幼儿园购买甲种玩具个，乙种玩具 个.
由题意，得 解得
所以该幼儿园购买甲种玩具10个，乙种玩具20个.
［时间：45分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题6分，共36分）
1. [2024深圳福田区期末] 在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空
出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就坐.设有嘉宾 人，
共准备了 张桌子.根据题意，下列方程组正确的是 ( )
A
A. B.
C. D.
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2. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，
负1场得1分.某队在10场比赛中得到17分，设这个队胜 场，
负场，则， 的值为( )
B
A. B.
C. D.
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3. 8元可以买到1枝百合和2枝玫瑰，10元可以买到2枝百合和
1枝玫瑰，则买1枝百合和1枝玫瑰需要( )
B
A. 7元 B. 6元 C. 5元 D. 4元
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4. 某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要
求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部
分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出
2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做
成一个包装盒，那么这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为
( )
C
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
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（第5题）
5. 《九章算术》中的算
筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，
如图①、图②.图中各行从左到右列出的算筹数
分别表示未知数， 的系数与相应的常数项.把
图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形
式表述出来，就是 在图②所示的
C
A. B. C. D.
算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所
表示的方程组中 的值为3，则被墨水所覆盖的图
形为 ( )
（第5题）
【点拨】设被墨水所覆盖的图形表示的数为 ，
根据题意得
把代入，得
由③解得 ，
把代入④，得 ，
.
故选C.
（第5题）
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（第6题）
6. 幻方是古老的数学问
题，我国古代的《洛书》中记载了最
早的幻方——九宫格，将9个数填入幻
方的空格中，要求每一横行、每一竖
列以及两条对角线上的3个数之和相等，
B
A. 0 B. C. D. 32
例如图①就是一个幻方.图②是一个未完成的幻方，则
的值是( )
（第6题）
【点拨】设图②中间的数为 ，第三行
第一个数为 ，
由题意得
由①得 ，
（第6题）
由②得 ，
，
解得 ，
.故选B.
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二、填空题（每小题5分，共20分）
7. “六一”前夕，市关工委准备为希望小学购
进图书和文具若干套，已知2套文具和1套图书需45元，1套
文具和2套图书需54元，则1套文具和1套图书需____元.
33
【点拨】设1套文具元，1套图书 元，
根据题意得
，得 ，
.
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8.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上
的数字与个位上的数字之和为15，则这个两位数是____.
69
9.一个长方形的长减少，宽增加 ，就成为一个正方
形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长是
________.
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10. 《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样
一段描述：程途八百里，朝去暮还来.某日，戴宗去160里之
外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，
用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为____里/时.
60
【点拨】戴宗顺风行走的速度为 （里/时），
戴宗逆风行走的速度为 （里/时），
设戴宗在无风时的平均速度为里/时，风速为 里/时，
由题意得 解得
戴宗在无风时的平均速度为60里/时.
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三、解答题（共44分）
11.（14分）已知梯形的面积是，高是 ，它的下底
比上底的2倍少 ，求梯形的上、下底.
【解】设梯形的上底为，下底为 ，根据题意得
解得
答：梯形的上底为，下底为 .
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