12.4 定理 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
12.4 定理
第12章 定义 命题 证明
苏科版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.结合具体实例，了解定理、推论的概念.
2.会证明三角形内角和定理及其推论，会利用三角形内角和定理及
其推论进行计算或证明,发展推理能力.
3.会证明多边形内角和定理与外角和定理，会利用多边形内角和与
外角和定理进行计算或证明,发展推理能力.
4.了解反例、反证法，会用反证法进行简单的证明.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.定理：一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定
理.
2.推论：由一个定理直接推出的重要结论叫作这个定理的推论.
3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 .
4.三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和.
5.三角形内角和定理的证明思路：
证明三角形内角和定理的方法有很多,基本思路是：把三角形的三
个内角“搬”到一起组成一个平角,以便利用平角的定义证明结论.为
了实现这个基本思路,完成证明,需要添加辅助线.过某一顶点作该顶
点所对的边所在直线的平行线是常用方法,通过作平行线,利用平行
线的性质,将三个角合并成一个平角即可证明.
典例1 已知：如图所示,是的外角 的平分线,
交的延长线于点 .
求证： .
证明：平分 ,.
是 的一个外角，
,,
.是 的一个外角,
, , .
证明
方法 图示
方法1:如图所示，从 边形的一个顶点引出 条对角线，这条对角线把 边形分成 个三角形，每个三角形的内角和是 ，所以 边形的内角和为 . ____________________
定理内容： 边形的内角和等于 .
证明
方法 图示
方法2：如图所示，在 边形内任取一点，连接，， ，，把边形分成 个三角形，这 个三角形的内角和为 ，再减去一个周角的度数，即得 边形的内角和为. _____________________
证明
方法 图示
方法3：如图所示，在 边形的一边上任取一点 与各顶点相连，得个三角形， 边形内角和等于这 个三角形的内角 和减去在点 处的一个平角的度数，即得 边形的内角和为 . _____________________
多边形的内角和公式的几种推导方法都是把多边形问题
转化为三角形问题，这种转化思想是解决多边形问题的核心.
多边形的内角和定理的应用
（1）已知边数，求内角和；
（2）已知内角和，求边数；
（3）正 边形的各条边长都相等，各个内角都相等，其内角和为 ，故正 边形的每个内角都为 .
典例2 (苏州期中)一个多边形的内角和是 ,则这个多边形
是( )
C
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
解析：设这个多边形的边数为 .由多边形的内角和公式,得
,解得 .
1.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角,叫作
多边形的外角.
2.多边形的外角和概念：在多边形的每个顶点处分别取多边形的一
个外角,这些外角的和叫作多边形的外角和.
示例 多边形的 外角和 ________________________________________________________________________________
3.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于
4.多边形的外角和定理的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的
外角都等于 ,所以边形的外角和等于 个平角减去多边形的内
角和,即 .
典例3 如图12.4-2所示,,,, 是五边形
的四个外角,若 ,则
______.
解析：因为 ,所以与 相邻的外角为
.
因为多边形的外角和为 ,所以
,
所以 .
1.反证法：我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯
定命题结论成立的证明方法叫作反证法.
反证法是数学中一种基本的证明方法.
2.用反证法证明的一般步骤：
（1）先假设命题的结论不成立.
（2）从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾.
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立.
典例4 用反证法证明平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直
线所截，同位角相等．
证明：如图所示，，直线 分别交，
于， ，即要证明 .
假设 ，过点作直线，使得
， ，由题意得，
且也过点 ，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条
直线平行”矛盾， 假设不成立，即 .
4. [2024襄阳月考] 可以说明“两个负数， 之差是负数”是假
命题的一个反例是( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.将“相等的角是对顶角”写成“如果……那么……”的形式：
______________________________________.
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
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6. 判断下列命题是真命题还是假命题.如果是
假命题，请举出一个反例.
（1）两个钝角的和一定大于 ；
【解】是真命题.
（2）异号两数相加和为零；
是假命题.反例： .
（3）整数一定是有理数.
是真命题.
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两直线平行，同旁内角互补
7. 如图，， .
（1）补全对 的说理过程：
（已知），
__________ （__________
________________）.
已知
同旁内角互补，两直线平行
又 （______），
____ （等量代换）.
（_________________________）.
（2）若平分，且 ，求 的度数.
，
.
又 ，
.
平分 ，
.
.
.
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8. 下列能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是
( )
A
A. B. C. D.
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9. [2024北京四中期中] 下列五个命题：
①对顶角相等；
②有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角；
③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离；
⑤内错角相等，两直线平行.
其中真命题的个数是 ( )
C
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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10. 已知三条不同的直线,, 在同一平面内，下列四个命题，
是假命题的有( )
①如果,,那么 ;
②如果,,那么 ;
③如果,,那么 ;
④如果,,那么 .
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】①如果,,那么 ,正确，是真命题；②如
果,,那么,正确，是真命题；③如果, ,
那么,③错误，是假命题；④如果,,那么 ,
正确，是真命题.
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11. 对于命题“若，则 ”,举出能
说明这个命题是假命题的一组，的值，则____，
_________________.
1（答案不唯一）
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