9.1 成比例线段（学案含答案）
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9.1 成比例线段（学案含答案）
列清单·划重点
知识点1 两条线段的比
如果选用 长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们 的比，即AB:CD=m: n,或写成 其中，线段AB，CD 分别叫做这个线段比的 和 .
注意
(1)求两条线段的比时，两条线段的长度单位要统一.长度单位不统一时，要先化成同一长度单位；
(2)两条线段的比是指两条线段长度的比，是关于线段比值的运算结果，是一个没有单位的正实数；
(3)两条线段的比具有顺序性，不能随意更换前项和后项.
知识点2 比例尺
在地图或工程图纸上， 与它所表示 的比通常称为比例尺.即.
比例尺通常写成前项为1的比，即1：a的形式，表示图上长度为1时，实际长度为a，1和a的长度单位是统一的.
知识点3 成比例线段
1.成比例线段：
四条线段a,b,c,d中,如果a与b的 等于c与d 的 ，即 (或a:b=c:d),那么这四条线段a,b,c,d 叫做 ，简称比例线段.
两条线段的比实际上就是两个数的比；
四条线段成比例实际上就是四个数成比例.
2.比例的项：
在比例 或a:b=c:d)中,a,b,c,d叫做这个比例的项，a，d叫做比例的 ,b,c叫做比例的
当比例的两个内项 时，即 (或a:b=b:c),b叫做a和c的 .
注意
成比例线段是有顺序的，如a，b，c，d是成比例线段，则a：b=c：d，不能写成其他形式.
知识点4 比例的性质
1.比例的基本性质：
如果 那么 .
如果ad= bc(a,b,c,d都不等于0),那么 或
2.比例的合比性质：
如果 那么 .
验证：设 则a= bk,c= dk,所以 所以
3.比例的等比性质：
如果 那么
验证：设 则 a= bk,c= dk,…,m= nk,所以 又因为 所以
明考点·识方法
考点1 两线段的比
典例1 如图所示,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD是BC上的高,若AC=5 cm,BC=13 cm.
(1)求 3的值;(2)求 的值.
思路导析 (1)在 Rt△ABC 中,已知 AC 和BC,利用勾股定理可求出另一条直角边 AB 的长，进而求出 的值；
(2)利用三角形的面积公式，可求出斜边上的高AD，进而求出 的值.
变式 (1)等腰直角三角形底边上的高与腰长的比是 ；
(2)等边三角形的高与它的边长之比是
考点2 成比例线段
典例 2 已知四条线段 a,b,c,d 的长度如下：
(1)a=8cm,b=4cm,c=2. 5cm,d=5cm,试判断它们是否成比例线段；
(2)a= 8cm,b=0.05 dm,c=0.6 cm,d=10 cm，试判断它们是否成比例线段.
思路导析 判断四条线段是否成比例，关键是看是否有两条线段之比等于另外两条线段之比.
变式(1)已知a=2,b=8,则a,b的比例中项等于 .
(2)已知a,b,c,d是比例线段,其中 a=6 cm,b=8 cm,c=24 cm,则线段 d 的长度为 cm.
考点3 比例的性质
典例3 已知a,b,c,d为四个不为0的数.
(1)如果 求 与 的值；
(2)如果 求证：
(3)如果 求证：
思路导析 (1)先根据已知条件得到 1=4,a=3b,再把a=3b代入 中进行求解即可；
(2)设 则a= kb,c= kd,再分别计算出 和 的值即可证明结论；
(3)求出 bc= ad,进而可得
变式1 若 则 的值为 .
变式2 已知 则x的值为 .
变式3 (1)已知: 则 的值为 ；
(2)已知a:b:c=2:3:4,a+b--c=6,则a+b+c的值为 .
当堂测·夯基础
1.若 则 ab= ( )
A.6 B. C.1 D.
2.已知c 是a 和b 的比例中项,a=2,b=18,则c= ( )
A.±6 B.6 C.4 D.±3
3.下列各组数中，成比例的是 ( )
A.1,-2,-3,-6 B.1,4,2,-8 C.5,6,2,3
4.若 则
5.在一幅比例尺是 1:5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是 3.4cm.那么上海到杭州的实际距离是 千米.
6.已知3a=2b(a≠0),则
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 同一个 长度 前项 后项
知识点2 图上长度 实际长度
知识点3 1.比 比 成比例线段
2.外项 内项 相等 比例中项
知识点4
【明考点·识方法】
典例1
解：(1)由勾股定理得 则
的面积
即 解得
变式
典例2
解：(1)四条线段由小到大的顺序是 c，b，d,a,
∴c,b,d,a是成比例线段;
(2)四条线段的长度化成同一单位 cm后，由小到大的顺序是 b，c，a，d，则有( 即 所以四条线段b，c，a，d不是成比例线段.
变式 (1)±4 (2)32
典例3
解：
(2)证明:设 则
(3)证明:
变式1
变式2 －1或
解析：当 时，
当 时，
变式3 (2)54
解析:(1)设 则 则
(2)由 可设 3k,c=4k,
解得
【当堂测·夯基础】
1. A 2. A 3. D 5.170
解析：
设a=2k,b=3k,
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9.1 成比例线段（学案含答案）
列清单·划重点
知识点1 两条线段的比
如果选用 长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们 的比，即AB:CD=m: n,或写成 其中，线段AB，CD 分别叫做这个线段比的 和 .
注意
(1)求两条线段的比时，两条线段的长度单位要统一.长度单位不统一时，要先化成同一长度单位；
(2)两条线段的比是指两条线段长度的比，是关于线段比值的运算结果，是一个没有单位的正实数；
(3)两条线段的比具有顺序性，不能随意更换前项和后项.
知识点2 比例尺
在地图或工程图纸上， 与它所表示 的比通常称为比例尺.即.
比例尺通常写成前项为1的比，即1：a的形式，表示图上长度为1时，实际长度为a，1和a的长度单位是统一的.
知识点3 成比例线段
1.成比例线段：
四条线段a,b,c,d中,如果a与b的 等于c与d 的 ，即 (或a:b=c:d),那么这四条线段a,b,c,d 叫做 ，简称比例线段.
两条线段的比实际上就是两个数的比；
四条线段成比例实际上就是四个数成比例.
2.比例的项：
在比例 或a:b=c:d)中,a,b,c,d叫做这个比例的项，a，d叫做比例的 ,b,c叫做比例的
当比例的两个内项 时，即 (或a:b=b:c),b叫做a和c的 .
注意
成比例线段是有顺序的，如a，b，c，d是成比例线段，则a：b=c：d，不能写成其他形式.
知识点4 比例的性质
1.比例的基本性质：
如果 那么 .
如果ad= bc(a,b,c,d都不等于0),那么 或
2.比例的合比性质：
如果 那么 .
验证：设 则a= bk,c= dk,所以 所以
3.比例的等比性质：
如果 那么
验证：设 则 a= bk,c= dk,…,m= nk,所以 又因为 所以
明考点·识方法
考点1 两线段的比
典例1 如图所示,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD是BC上的高,若AC=5 cm,BC=13 cm.
(1)求 3的值;(2)求 的值.
思路导析 (1)在 Rt△ABC 中,已知 AC 和BC,利用勾股定理可求出另一条直角边 AB 的长，进而求出 的值；
(2)利用三角形的面积公式，可求出斜边上的高AD，进而求出 的值.
变式 (1)等腰直角三角形底边上的高与腰长的比是 ；
(2)等边三角形的高与它的边长之比是
考点2 成比例线段
典例 2 已知四条线段 a,b,c,d 的长度如下：
(1)a=8cm,b=4cm,c=2. 5cm,d=5cm,试判断它们是否成比例线段；
(2)a= 8cm,b=0.05 dm,c=0.6 cm,d=10 cm，试判断它们是否成比例线段.
思路导析 判断四条线段是否成比例，关键是看是否有两条线段之比等于另外两条线段之比.
变式(1)已知a=2,b=8,则a,b的比例中项等于 .
(2)已知a,b,c,d是比例线段,其中 a=6 cm,b=8 cm,c=24 cm,则线段 d 的长度为 cm.
考点3 比例的性质
典例3 已知a,b,c,d为四个不为0的数.
(1)如果 求 与 的值；
(2)如果 求证：
(3)如果 求证：
思路导析 (1)先根据已知条件得到 1=4,a=3b,再把a=3b代入 中进行求解即可；
(2)设 则a= kb,c= kd,再分别计算出 和 的值即可证明结论；
(3)求出 bc= ad,进而可得
变式1 若 则 的值为 .
变式2 已知 则x的值为 .
变式3 (1)已知: 则 的值为 ；
(2)已知a:b:c=2:3:4,a+b--c=6,则a+b+c的值为 .
当堂测·夯基础
1.若 则 ab= ( )
A.6 B. C.1 D.
2.已知c 是a 和b 的比例中项,a=2,b=18,则c= ( )
A.±6 B.6 C.4 D.±3
3.下列各组数中，成比例的是 ( )
A.1,-2,-3,-6 B.1,4,2,-8 C.5,6,2,3
4.若 则
5.在一幅比例尺是 1:5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是 3.4cm.那么上海到杭州的实际距离是 千米.
6.已知3a=2b(a≠0),则
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 同一个 长度 前项 后项
知识点2 图上长度 实际长度
知识点3 1.比 比 成比例线段
2.外项 内项 相等 比例中项
知识点4
【明考点·识方法】
典例1
解：(1)由勾股定理得 则
的面积
即 解得
变式
典例2
解：(1)四条线段由小到大的顺序是 c，b，d,a,
∴c,b,d,a是成比例线段;
(2)四条线段的长度化成同一单位 cm后，由小到大的顺序是 b，c，a，d，则有( 即 所以四条线段b，c，a，d不是成比例线段.
变式 (1)±4 (2)32
典例3
解：
(2)证明:设 则
(3)证明:
变式1
变式2 －1或
解析：当 时，
当 时，
变式3 (2)54
解析:(1)设 则 则
(2)由 可设 3k,c=4k,
解得
【当堂测·夯基础】
1. A 2. A 3. D 5.170
解析：
设a=2k,b=3k,
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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