9.3 相似多边形(学案含答案）
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9.3 相似多边形(学案含答案）
列清单·划重点
知识点1 相似多边形的定义
相似多边形：两个多边形的 相同，各角分别 、各边 ，这样的两个多边形叫做相似多边形.
知识点2 相似比
相似多边形 的比 叫做相似比.
注意
(1)相似多边形的相似比具有顺序性.(2)全等多边形一定是相似多边形，但相似多边形不一定全等.(3)若两个多边形全等，则其相似比为1.
知识点3 相似多边形的性质
相似多边形的 ，
几何语言：如图所示，
∵五边形 ABCDE∽五边形 A B C D E ,
∴∠A=∠A ,∠B=∠B ,∠C=∠C ,∠D=∠D ,∠E=∠E ,
明考点·识方法
考点1 相似多边形的定义和性质
典例1 下列命题：
①任意两个等腰三角形一定相似
②任意两个等边三角形一定相似
③任意两个矩形一定相似
④任意两个菱形一定相似
⑤任意两个正方形一定相似
⑥任意两个边数相等的正多边形一定相似.
其中真命题的个数是 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
温馨提示
1.判断相似多边形的条件缺一不可，即必须是各角对应相等，各边对应成比例.
2.边数相同的正多边形一定相似，如两个等边三角形，两个正方形，两个正五边形等.
变式1 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为 ( )
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
变式2 如图，已知四边形 ABCD∽四边形,求x,y和α的值.
考点2 相似多边形的相似比
典例2 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为MN,矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似.已知AR=4.
(1)求AD的长;
(2)求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比.
思路导析 (1)利用折叠性质得到 AM=DM，设AM=DM=x,则 AD=2x,根据相似多边形的性质得到 即 然后利用比例性质求出x即可；
(2)计算 DM: AB 即可.
变式 四边形 ABCD 与四边形相似,相似比为2 :3,四边形与四边形 相似,相似比为5:4,则四边形 ABCD与四边形相似且相似比为 ( )
A.5:6 B.6:5 C.5:6或6:5 D.8:15
考点3 相似多边形的判定
典例3 如图,矩形ABCD 的长AB=30,宽BC=20.
(1)如图1,若沿矩形 ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A'B'C'D'相似吗 请说明理由;
(2)如图2，x为多少时，图中的两个矩形ABCD与相似
思路导析 (1)计算对应边是否成比例即可说明；
(2)如果两个矩形 ABCD 与相似,则对应边成比例，分类讨论就可以求出x的值.
变式 如图，把一个矩形 ABCD 划分成三个全等的小矩形.
(1)若原矩形 ABCD 的长AB=6,宽BC=4.问：每个小矩形与原矩形相似吗 请说明理由；
(2)若原矩形的长 AB=a,宽 BC=b,且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式.
当堂测·夯基础
1.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( )
A. B. C. D.
2.如图,已知矩形ABCD∽矩形 BCFE,AE=4,EB=1,则BC 的长为 .
第2题图 第3题图
3.如图，已知四边形 AEFD∽四边形 EBCF,若 AD=3,EF=4,则BC的长为 .
4.书画经装裱后更便于收藏. 如图,ABCD 为长 90 cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且AB与的距离、CD与的距离都等于4cm.当AD与的距离、BC与距离都等于a cm,且矩形ABCD∽矩形,整幅书画最美观.此时,a的值为 .
5.如图,四边形ABCD相似于四边形.
(1)∠B= ;
(2)求边x,y的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 形状 相等 成比例
知识点2 对应边
知识点3 对应角相等 对应边成比例
【明考点·识方法】
典例1 B 变式1 D
变式2 解:∵四边形 ABCD∽四边形 A B C D ,
即y=28,
即x=24,
∵∠α=∠C,∠B=∠B =130°,∠A =
典例2 解:(1)∵把矩形ABCD对折,折痕为MN,∴AM=DM,
设AM=DM=x,则AD=2x,
∵矩形 DMNC与矩形ABCD 相似,即 解得x=2 (负值已舍)，
(2)矩形DMNC与矩形ABCD 的相似比为
变式 A
典例3 解：(1)不相似，理由：
AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'=18,而 且
∴图中两个矩形不相似；
(2)矩形 ABCD与A'B'C'D'相似,则 或
则 解得x=1.5,或 解得x=9.
综上所述，x=1.5或9时，图中的两个矩形相似.
变式 解：(1)不相似.理由：
∵原矩形 ABCD 的长AB=6,宽BC=4,
∴划分后小矩形的长为AD=4，宽为AE=6÷3=2,
又 即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似；
(2)∵原矩形的长AB=a,宽BC=b,
∴划分后小矩形的长为 AD.=b，宽为
又∵每个小矩形与原矩形相似，即
【当堂测·夯基础】
1. A 2. 3. 4.12
5.解:(1)∵四边形 ABCD∽四边形 A'B'C'D',
故答案为:69°;
(2)∵四边形 ABCD∽四边形A'B'C'D,
解得x=4,y=18.
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9.3 相似多边形(学案含答案）
列清单·划重点
知识点1 相似多边形的定义
相似多边形：两个多边形的 相同，各角分别 、各边 ，这样的两个多边形叫做相似多边形.
知识点2 相似比
相似多边形 的比 叫做相似比.
注意
(1)相似多边形的相似比具有顺序性.(2)全等多边形一定是相似多边形，但相似多边形不一定全等.(3)若两个多边形全等，则其相似比为1.
知识点3 相似多边形的性质
相似多边形的 ，
几何语言：如图所示，
∵五边形 ABCDE∽五边形 A B C D E ,
∴∠A=∠A ,∠B=∠B ,∠C=∠C ,∠D=∠D ,∠E=∠E ,
明考点·识方法
考点1 相似多边形的定义和性质
典例1 下列命题：
①任意两个等腰三角形一定相似
②任意两个等边三角形一定相似
③任意两个矩形一定相似
④任意两个菱形一定相似
⑤任意两个正方形一定相似
⑥任意两个边数相等的正多边形一定相似.
其中真命题的个数是 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
温馨提示
1.判断相似多边形的条件缺一不可，即必须是各角对应相等，各边对应成比例.
2.边数相同的正多边形一定相似，如两个等边三角形，两个正方形，两个正五边形等.
变式1 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为 ( )
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
变式2 如图，已知四边形 ABCD∽四边形,求x,y和α的值.
考点2 相似多边形的相似比
典例2 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为MN,矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似.已知AR=4.
(1)求AD的长;
(2)求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比.
思路导析 (1)利用折叠性质得到 AM=DM，设AM=DM=x,则 AD=2x,根据相似多边形的性质得到 即 然后利用比例性质求出x即可；
(2)计算 DM: AB 即可.
变式 四边形 ABCD 与四边形相似,相似比为2 :3,四边形与四边形 相似,相似比为5:4,则四边形 ABCD与四边形相似且相似比为 ( )
A.5:6 B.6:5 C.5:6或6:5 D.8:15
考点3 相似多边形的判定
典例3 如图,矩形ABCD 的长AB=30,宽BC=20.
(1)如图1,若沿矩形 ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A'B'C'D'相似吗 请说明理由;
(2)如图2，x为多少时，图中的两个矩形ABCD与相似
思路导析 (1)计算对应边是否成比例即可说明；
(2)如果两个矩形 ABCD 与相似,则对应边成比例，分类讨论就可以求出x的值.
变式 如图，把一个矩形 ABCD 划分成三个全等的小矩形.
(1)若原矩形 ABCD 的长AB=6,宽BC=4.问：每个小矩形与原矩形相似吗 请说明理由；
(2)若原矩形的长 AB=a,宽 BC=b,且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式.
当堂测·夯基础
1.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( )
A. B. C. D.
2.如图,已知矩形ABCD∽矩形 BCFE,AE=4,EB=1,则BC 的长为 .
第2题图 第3题图
3.如图，已知四边形 AEFD∽四边形 EBCF,若 AD=3,EF=4,则BC的长为 .
4.书画经装裱后更便于收藏. 如图,ABCD 为长 90 cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且AB与的距离、CD与的距离都等于4cm.当AD与的距离、BC与距离都等于a cm,且矩形ABCD∽矩形,整幅书画最美观.此时,a的值为 .
5.如图,四边形ABCD相似于四边形.
(1)∠B= ;
(2)求边x,y的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 形状 相等 成比例
知识点2 对应边
知识点3 对应角相等 对应边成比例
【明考点·识方法】
典例1 B 变式1 D
变式2 解:∵四边形 ABCD∽四边形 A B C D ,
即y=28,
即x=24,
∵∠α=∠C,∠B=∠B =130°,∠A =
典例2 解:(1)∵把矩形ABCD对折,折痕为MN,∴AM=DM,
设AM=DM=x,则AD=2x,
∵矩形 DMNC与矩形ABCD 相似,即 解得x=2 (负值已舍)，
(2)矩形DMNC与矩形ABCD 的相似比为
变式 A
典例3 解：(1)不相似，理由：
AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'=18,而 且
∴图中两个矩形不相似；
(2)矩形 ABCD与A'B'C'D'相似,则 或
则 解得x=1.5,或 解得x=9.
综上所述，x=1.5或9时，图中的两个矩形相似.
变式 解：(1)不相似.理由：
∵原矩形 ABCD 的长AB=6,宽BC=4,
∴划分后小矩形的长为AD=4，宽为AE=6÷3=2,
又 即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似；
(2)∵原矩形的长AB=a,宽BC=b,
∴划分后小矩形的长为 AD.=b，宽为
又∵每个小矩形与原矩形相似，即
【当堂测·夯基础】
1. A 2. 3. 4.12
5.解:(1)∵四边形 ABCD∽四边形 A'B'C'D',
故答案为:69°;
(2)∵四边形 ABCD∽四边形A'B'C'D,
解得x=4,y=18.
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