9.6 黄金分割（学案含答案）
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9.6 黄金分割（学案含答案）
列清单·划重点
知识点1 黄金分割及相关概念
1.黄金分割的概念：
如图所示，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC，如果 ，那么称线段AB 被点 C 黄金分割. 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做 .
2.黄金比：黄金比
(1)由黄金分割的意义知,AC =AB·BC.
(2)线段 AB 有两个黄金分割点，其中一点 D 靠近点A，有 另一点 C靠近点 B，有 并且 AD=BC,AC=BD.
3.黄金分割的应用形式：
∵点 C是AB 的黄金分割点,AC>BC,
知识点2 常见图形中的黄金分割
1.黄金线段：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC.如果AC:AB=BC: AC,则点 C是AB 的黄金分割点，线段AB 为黄金线段.
即
2.黄金三角形：
顶角为 的等腰三角形叫做黄金三角形.
作底角∠ABC的角平分线BD 交AC 于点D,则 ∠A = ∠ABD =∠DBC=36°,
∴AD=BD=BC.
∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,即
即点 D 是AC 的黄金分割点.
3.黄金矩形：
把 与长的比等于 的矩形称黄金矩形.即在矩形 ABEF 中以宽AF 为边，在其内部作正方形AFDC.则矩形 BCDE∽矩形 BEFA,
∵BE=CD=AC,∴ACB=BC,
∴点 C是AB 的黄金分割点.
明考点·识方法
考点1 黄金分割概念的理解与相关计算
典例1 已知线段 AB=6 cm,点 P 为线段AB 的黄金分割点，求线段 AP 的长.
思路导析 本题易出现的错误是受思维定式的影响，认为AP一定大于PB，而实际上此题有两种情况:一是AP>PB;二是AP变式 已知：点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，下列说法正确的有( )
③AB:AC=AC:BC ④AC≈0.618AB
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点2 黄金分割的证明和应用
典例2 如图，已知线段 AB，用尺规作图法按如下步骤作图：
(1)过点 B 作 AB 的垂线，并在垂线上取
(2)连接AC,以点 C 为圆心,CB 为半径画弧,交AC于点E;
(3)以点 A 为圆心,AE 为半径画弧,交 AB于点D.则点 D 是线段AB 的黄金分割点，请说明其中的道理.
思路导析 设 BC 长为x,则 AB 长为 2x,CE 长为x，利用勾股定理可得AC的长，进而可得AD=AE=AC-CE,即可求得 ，问题得解.
变式 0.618 是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值.研究发现，当成人的体重(kg)与身高(cm)的比达到(1-0.618)：1时，那么这个成人的体重就比较理想.若王老师的身高是165 cm，下列选项中，最接近她的理想体重的是( )
A.65kg B.63kg C.60kg D.55 kg
当堂测·夯基础
1.点 D 是线段 AB 的黄金分割点(AD>BD),若 AB=2,则AD= ( )
2.我们把顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的 倍.如图,△ABC 是“黄金三角形”,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC于点 E,则△BCE 与△ABE 的面积比为 。
第2题图 第3题图
3.某品牌的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度 AB 与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD 之比满足黄金分割(即 已知 CD= ,则AB的长为 cm.
4.已知点 C 是线段AB 的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段 AC的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 点C 黄金比
2.0.618
知识点2 2.36° 3.宽 黄金比
【明考点·识方法】
典例1 解:若AP>PB,由题意，则
因为AB=6cm,所以 3) cm;
若AP所以 3) cm.
所以
所以 AP 的长为 或(9-
变式 C
典例2 解:设 BC长为x,则AB长为2x,
∵BC⊥AB,
∵CE=BC=x,
即点 D 是线段AB 的黄金分割点.
变式 B
【当堂测·夯基础】
1. C 2. 3.50
4.解：设分成的两部分中较长线段的长为x,可得x =(x-2)(x+x-2),
解得
而x-2>0,
当AC为较长线段时， 当AC为较短线段时，
∴线段 AC的长为 或
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知识点1 黄金分割及相关概念
1.黄金分割的概念：
如图所示，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC，如果 ，那么称线段AB 被点 C 黄金分割. 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做 .
2.黄金比：黄金比
(1)由黄金分割的意义知,AC =AB·BC.
(2)线段 AB 有两个黄金分割点，其中一点 D 靠近点A，有 另一点 C靠近点 B，有 并且 AD=BC,AC=BD.
3.黄金分割的应用形式：
∵点 C是AB 的黄金分割点,AC>BC,
知识点2 常见图形中的黄金分割
1.黄金线段：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC.如果AC:AB=BC: AC,则点 C是AB 的黄金分割点，线段AB 为黄金线段.
即
2.黄金三角形：
顶角为 的等腰三角形叫做黄金三角形.
作底角∠ABC的角平分线BD 交AC 于点D,则 ∠A = ∠ABD =∠DBC=36°,
∴AD=BD=BC.
∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,即
即点 D 是AC 的黄金分割点.
3.黄金矩形：
把 与长的比等于 的矩形称黄金矩形.即在矩形 ABEF 中以宽AF 为边，在其内部作正方形AFDC.则矩形 BCDE∽矩形 BEFA,
∵BE=CD=AC,∴ACB=BC,
∴点 C是AB 的黄金分割点.
明考点·识方法
考点1 黄金分割概念的理解与相关计算
典例1 已知线段 AB=6 cm,点 P 为线段AB 的黄金分割点，求线段 AP 的长.
思路导析 本题易出现的错误是受思维定式的影响，认为AP一定大于PB，而实际上此题有两种情况:一是AP>PB;二是AP
③AB:AC=AC:BC ④AC≈0.618AB
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点2 黄金分割的证明和应用
典例2 如图，已知线段 AB，用尺规作图法按如下步骤作图：
(1)过点 B 作 AB 的垂线，并在垂线上取
(2)连接AC,以点 C 为圆心,CB 为半径画弧,交AC于点E;
(3)以点 A 为圆心,AE 为半径画弧,交 AB于点D.则点 D 是线段AB 的黄金分割点，请说明其中的道理.
思路导析 设 BC 长为x,则 AB 长为 2x,CE 长为x，利用勾股定理可得AC的长，进而可得AD=AE=AC-CE,即可求得 ，问题得解.
变式 0.618 是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值.研究发现，当成人的体重(kg)与身高(cm)的比达到(1-0.618)：1时，那么这个成人的体重就比较理想.若王老师的身高是165 cm，下列选项中，最接近她的理想体重的是( )
A.65kg B.63kg C.60kg D.55 kg
当堂测·夯基础
1.点 D 是线段 AB 的黄金分割点(AD>BD),若 AB=2,则AD= ( )
2.我们把顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的 倍.如图,△ABC 是“黄金三角形”,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC于点 E,则△BCE 与△ABE 的面积比为 。
第2题图 第3题图
3.某品牌的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度 AB 与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD 之比满足黄金分割(即 已知 CD= ,则AB的长为 cm.
4.已知点 C 是线段AB 的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段 AC的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 点C 黄金比
2.0.618
知识点2 2.36° 3.宽 黄金比
【明考点·识方法】
典例1 解:若AP>PB,由题意，则
因为AB=6cm,所以 3) cm;
若AP
所以
所以 AP 的长为 或(9-
变式 C
典例2 解:设 BC长为x,则AB长为2x,
∵BC⊥AB,
∵CE=BC=x,
即点 D 是线段AB 的黄金分割点.
变式 B
【当堂测·夯基础】
1. C 2. 3.50
4.解：设分成的两部分中较长线段的长为x,可得x =(x-2)(x+x-2),
解得
而x-2>0,
当AC为较长线段时， 当AC为较短线段时，
∴线段 AC的长为 或
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