9.7 利用相似三角形测高（学案含答案）
文档属性
| 名称 | 9.7 利用相似三角形测高（学案含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 447.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-16 09:38:03 | ||
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文档简介
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9.7 利用相似三角形测高（学案含答案）
列清单·划重点
知识点1 利用阳光下的影子测量旗杆的高度
1.测量方法：让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长(如图所示)，
2.测量原理：如图所示，
∵太阳光是平行光线,∴AB∥CD.∴∠ABC=∠DCE.
∵∠DEC=∠ACB=90°,∴△ACB∽△DEC,
即可求得 DE=
3.测量结论：
注意
太阳光线是平行照射的，同一时刻物体的物高与影长成正比.
知识点2 利用标杆测量旗杆的高度
1.测量工具：标杆、卷尺.
2.测量步骤：
(1)测量出标杆 CD 的长度，测出观测者眼部以下高度 EF；
(2)让标杆垂直立于地面，调整观测者EF 的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、眼睛三者在同一直线上时，测出观测者距离标杆底端的距离 FD 和距离旗杆底部的距离FB;
(3)根据 求得 AH 的长，再加上EF 的长即为旗杆AB的高度(如图所示).
3.测量原理：如图所示，
过点 E作 EH⊥AB,交 AB 于点 H,交CD于点G,
∵CD∥AB,∴△ECG∽△EAH,
∵EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF,且 FD,FB,CD,EF可测,
∴可求得 AH 的长度,则 AB=AH+HB=AH+EF可求.
注意
利用标杆时，要注意观测者眼睛、标杆的顶端和旗杆的顶部“三点共线”，且标杆与地面垂直.
知识点3 利用镜子的反射测量旗杆的高度
1.测量工具：镜子、卷尺.
2.测量步骤：
(1)在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记；
(2)测出观测者的高度CD；
(3)观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子O到人脚底 D 的距离OD 及镜子到旗杆底部距离OB；
(4)把测得的数据代入 即可求得旗杆高度 AB(如图所示).
3.测量原理：如图所示，
在△COD 和△AOB中，由反射角等于入射角 得∠COD = ∠AOB,
又∵∠CDO =∠ABO=90°,得△COD∽△AOB,∴CAB=OB.
∵CD,OD,OB 皆可测,∴AB= .
注意
利用镜子反射时，要用到物理知识：反射角=入射角.
明考点·识方法
考点1 利用阳光下的影子测量旗杆的高度
典例1 如图所示，在阳光下某一时刻大树AB 的影子落在墙 DH 上的 C 点，同时1.2m 的标杆影长 3m ,已知 CD=4m ,BD=6m ,求大树的高度.
思路导析 作辅助线，根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可.
变式 如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA 由 B 向A 走去,当走到 C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得 BC=3.2m,CA=0.8 m,则树的高度为 ( )
A.4.8m B.6.4m C.8m D.10m
考点2 利用标杆测量旗杆的高度
典例2 小亮运用《数书九章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高度.如图，MN 表示楼房的高，AB 表示一根直杆顶端B 到地面的高，CD 表示小亮的眼睛到底面的高，MN，AB，CD 在同一平面内，点C，A，M在同一条直线上.已知AM=98m,AB=3m,CD=1. 6m ,CA=2m ，小亮从点 D 远眺楼顶 N，视线恰好经过直杆的顶端 B，请帮小亮求出楼房的高.
思路导析 过D作DF⊥MN于点F,交BA于点E,根据矩形的性质得到AE=MF=CD=1.6m,DE=AC=2m,EF=AM=98m,求得BE=AB-AE=1.4m，根据相似三角形的性质即可得到结论.
变式 小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔AB 的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长 DE=1.92m,然后,小鑫在 BD的延长线上找出一点F，使得A，C，F三点在同一直线上，并测得 DF=2m，已知图中所有点均在同一平面内，木棒 CD =1.72m,AB⊥BF,CD⊥BF,请根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.
考点3 利用镜子的反射测量旗杆的高度
典例3 小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度.如图，小雅把高度为0.4米的支架(CD)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点 D 处，再把镜子水平放在支架上的点 C处，小希站在 F 处，眼睛到地面的距离 EF=1.65米，这时恰好在镜子里看到树的顶端A.小组其他同学用皮尺分别量得 BD=6米,DF=2米.已知AB,CD,EF均垂直于地面BD,且B,D,F在同一条直线上，请你根据以上数据，帮忙求出这棵树AB的高度.
思路导析 过点 C 作CH⊥AB,垂足为 H,延长HC 交 EF 于点 G,根据题意可得△ACH∽△ECG，然后利用相似三角形的性质求出AH 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.
变式 为了测量物体 AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在 C 处放置一平面镜，她从点 C沿BC 后退，当退行2 米到 D 处时，恰好在镜子中看到物体顶点 A 的像，此时测得小小眼睛到地面的距离 ED为1.5米；然后，小小在 F 处竖立了一根高 1.8米的标杆 FG，发现地面上的点 H、标杆顶点 G 和物体顶点 A 在一条直线上，此时测得 FH为2.6 米,DF 为 3.5 米,已知 AB⊥BH,ED⊥BH,GF⊥BH,点 B,C,D,F,H在一条直线上.请根据以上所测数据，计算 AB的高度.
当堂测·夯基础
1.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ，则这棵树的高度是 ( )
A.15 m B.60m C.20m
2.如图,不等臂跷跷板 AB 的一端A 碰到地面时，另一端 B 到地面的高度为 60 cm；当AB的一端B 碰到地面时，另一端A 到地面的高度为 90 cm，则跷跷板 AB 的支撑点O 到地面的高度OH 是 ( )
A.36 cm B.40 cm C.42 cm D.45 cm
3.操场上有一根竖直的旗杆 AB，它的一部分影子(BC)落在水平地面上，另一部分影子(CD)落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m，地面的影长为2.8m，同时测得一根高为2m 的竹竿OM 的影长是ON=1.4m，请根据以上信息，计算旗杆的高度是 ( )
A.4.5m B.4.7m C.5.2m D.5.7m
4.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP 均为直角,AP 与 BC相交于点 D.测得 AB=40 cm,BD=20cm,AQ=12m,则树高 PQ= m.
5.某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆 EF 的高度，他在距离旗杆40米的 D 处立下一根3米高的竖直标杆 CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离 BD 为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度 AB为1.6 米,求旗杆 EF 的高度.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1
知识点3
【明考点·识方法】
典例1 解：方法1：设大树的高度为 x m，过点 D作DF∥AC,交AB于点F,如图1所示,
又∵AB∥CD,则四边形 AFDC 为平行四边形，∴AF=CD=4m,则BF=AB-CD=(x-4)m.
∵同一时刻物体的物高与影长成正比，即 解得x=6.4,
∴大树的高度为6.4m；
方法2：设大树的高度为 x m，过点 C作CE⊥AB于点E,如图2所示,
∴∠BEC=∠B=∠D=90°.∴四边形 CDBE 为矩形.
∴BE=CD=4m,CE=BD= 6m.∴AE=(x-4)m.
∵同一时刻物体的物高与影长成正比，
解得x=6.4.故大树的高度为6.4m .
方法3：设大树的高度为 xm，延长AC，BD相交于点M，如图3所示.
由题意知 解得 DM=10(m).
解得x=6.4.故大树的高度为6.4m .
变式 C
典例2 解:过 D 作 DF⊥MN 于点 F,交 BA 于点E,
则AE=MF=CD=1.6m,DE=AC=2m,EF=AM=98m,∴BE=AB-AE=1.4(m),
∵BE∥FN,∴△DBE∽△DNF,
∴FN=70,∴MN=FN+FM=70+1.6=71.6(m),答:楼房的高为71.6m.
变式 解:由题意得∠ABD=∠CDE=90°,∠ADB=∠CED,
∴△CDE∽△ABD,∴CDAB=DBD,
∵∠F=∠F,∴△CDF∽△ABF,
即
答：小雁塔的高度 AB是43米.
典例3 解:过点C作CH⊥AB,垂足为点 H,延长HC交EF 于点G,
由题意得BD=CH=6米,CG=DF=2米,CD=FG=BH=0.4米,CG⊥EF,
∴∠AHC=∠EGC=90°,
∵EF=1.65米,∴EG=EF-FG=1.65-0.4=1.25(米),由题意得∠ACH=∠ECG,
∴△ACH∽△ECG,解得AH=3.75,
∴AB=AH+BH=3.75+0.4=4.15(米),∴这棵树AB的高度为4.15米.
变式 解:由题意得∠ACB=∠ECD,
∵AB⊥BH,ED⊥BH,GF⊥BH,∴∠B=∠EDC=∠GFH=90°,∴△ABC∽△EDC,
解得
∵∠H=∠H,∴△GFH∽△ABH,
解得AB=72.9,∴AB的高度为72.9米.
【当堂测·夯基础】
1. A 2. A 3. C 4. 6
5.解:过点 A作AN⊥EF于点N,交CD于点M,
由题意可得 AM= BD=4 米,NM=FD=40米,CM=3-1.6=1.4(米),
∵CM∥EN,∴△ACM∽△AEN,
解得EN=15.4,则EF=15.4+1.6=17(米),
答：旗杆 EF的高度为17 米.
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9.7 利用相似三角形测高（学案含答案）
列清单·划重点
知识点1 利用阳光下的影子测量旗杆的高度
1.测量方法：让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长(如图所示)，
2.测量原理：如图所示，
∵太阳光是平行光线,∴AB∥CD.∴∠ABC=∠DCE.
∵∠DEC=∠ACB=90°,∴△ACB∽△DEC,
即可求得 DE=
3.测量结论：
注意
太阳光线是平行照射的，同一时刻物体的物高与影长成正比.
知识点2 利用标杆测量旗杆的高度
1.测量工具：标杆、卷尺.
2.测量步骤：
(1)测量出标杆 CD 的长度，测出观测者眼部以下高度 EF；
(2)让标杆垂直立于地面，调整观测者EF 的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、眼睛三者在同一直线上时，测出观测者距离标杆底端的距离 FD 和距离旗杆底部的距离FB;
(3)根据 求得 AH 的长，再加上EF 的长即为旗杆AB的高度(如图所示).
3.测量原理：如图所示，
过点 E作 EH⊥AB,交 AB 于点 H,交CD于点G,
∵CD∥AB,∴△ECG∽△EAH,
∵EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF,且 FD,FB,CD,EF可测,
∴可求得 AH 的长度,则 AB=AH+HB=AH+EF可求.
注意
利用标杆时，要注意观测者眼睛、标杆的顶端和旗杆的顶部“三点共线”，且标杆与地面垂直.
知识点3 利用镜子的反射测量旗杆的高度
1.测量工具：镜子、卷尺.
2.测量步骤：
(1)在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记；
(2)测出观测者的高度CD；
(3)观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子O到人脚底 D 的距离OD 及镜子到旗杆底部距离OB；
(4)把测得的数据代入 即可求得旗杆高度 AB(如图所示).
3.测量原理：如图所示，
在△COD 和△AOB中，由反射角等于入射角 得∠COD = ∠AOB,
又∵∠CDO =∠ABO=90°,得△COD∽△AOB,∴CAB=OB.
∵CD,OD,OB 皆可测,∴AB= .
注意
利用镜子反射时，要用到物理知识：反射角=入射角.
明考点·识方法
考点1 利用阳光下的影子测量旗杆的高度
典例1 如图所示，在阳光下某一时刻大树AB 的影子落在墙 DH 上的 C 点，同时1.2m 的标杆影长 3m ,已知 CD=4m ,BD=6m ,求大树的高度.
思路导析 作辅助线，根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可.
变式 如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA 由 B 向A 走去,当走到 C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得 BC=3.2m,CA=0.8 m,则树的高度为 ( )
A.4.8m B.6.4m C.8m D.10m
考点2 利用标杆测量旗杆的高度
典例2 小亮运用《数书九章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高度.如图，MN 表示楼房的高，AB 表示一根直杆顶端B 到地面的高，CD 表示小亮的眼睛到底面的高，MN，AB，CD 在同一平面内，点C，A，M在同一条直线上.已知AM=98m,AB=3m,CD=1. 6m ,CA=2m ，小亮从点 D 远眺楼顶 N，视线恰好经过直杆的顶端 B，请帮小亮求出楼房的高.
思路导析 过D作DF⊥MN于点F,交BA于点E,根据矩形的性质得到AE=MF=CD=1.6m,DE=AC=2m,EF=AM=98m,求得BE=AB-AE=1.4m，根据相似三角形的性质即可得到结论.
变式 小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔AB 的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长 DE=1.92m,然后,小鑫在 BD的延长线上找出一点F，使得A，C，F三点在同一直线上，并测得 DF=2m，已知图中所有点均在同一平面内，木棒 CD =1.72m,AB⊥BF,CD⊥BF,请根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.
考点3 利用镜子的反射测量旗杆的高度
典例3 小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度.如图，小雅把高度为0.4米的支架(CD)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点 D 处，再把镜子水平放在支架上的点 C处，小希站在 F 处，眼睛到地面的距离 EF=1.65米，这时恰好在镜子里看到树的顶端A.小组其他同学用皮尺分别量得 BD=6米,DF=2米.已知AB,CD,EF均垂直于地面BD,且B,D,F在同一条直线上，请你根据以上数据，帮忙求出这棵树AB的高度.
思路导析 过点 C 作CH⊥AB,垂足为 H,延长HC 交 EF 于点 G,根据题意可得△ACH∽△ECG，然后利用相似三角形的性质求出AH 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.
变式 为了测量物体 AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在 C 处放置一平面镜，她从点 C沿BC 后退，当退行2 米到 D 处时，恰好在镜子中看到物体顶点 A 的像，此时测得小小眼睛到地面的距离 ED为1.5米；然后，小小在 F 处竖立了一根高 1.8米的标杆 FG，发现地面上的点 H、标杆顶点 G 和物体顶点 A 在一条直线上，此时测得 FH为2.6 米,DF 为 3.5 米,已知 AB⊥BH,ED⊥BH,GF⊥BH,点 B,C,D,F,H在一条直线上.请根据以上所测数据，计算 AB的高度.
当堂测·夯基础
1.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ，则这棵树的高度是 ( )
A.15 m B.60m C.20m
2.如图,不等臂跷跷板 AB 的一端A 碰到地面时，另一端 B 到地面的高度为 60 cm；当AB的一端B 碰到地面时，另一端A 到地面的高度为 90 cm，则跷跷板 AB 的支撑点O 到地面的高度OH 是 ( )
A.36 cm B.40 cm C.42 cm D.45 cm
3.操场上有一根竖直的旗杆 AB，它的一部分影子(BC)落在水平地面上，另一部分影子(CD)落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m，地面的影长为2.8m，同时测得一根高为2m 的竹竿OM 的影长是ON=1.4m，请根据以上信息，计算旗杆的高度是 ( )
A.4.5m B.4.7m C.5.2m D.5.7m
4.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP 均为直角,AP 与 BC相交于点 D.测得 AB=40 cm,BD=20cm,AQ=12m,则树高 PQ= m.
5.某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆 EF 的高度，他在距离旗杆40米的 D 处立下一根3米高的竖直标杆 CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离 BD 为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度 AB为1.6 米,求旗杆 EF 的高度.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1
知识点3
【明考点·识方法】
典例1 解：方法1：设大树的高度为 x m，过点 D作DF∥AC,交AB于点F,如图1所示,
又∵AB∥CD,则四边形 AFDC 为平行四边形，∴AF=CD=4m,则BF=AB-CD=(x-4)m.
∵同一时刻物体的物高与影长成正比，即 解得x=6.4,
∴大树的高度为6.4m；
方法2：设大树的高度为 x m，过点 C作CE⊥AB于点E,如图2所示,
∴∠BEC=∠B=∠D=90°.∴四边形 CDBE 为矩形.
∴BE=CD=4m,CE=BD= 6m.∴AE=(x-4)m.
∵同一时刻物体的物高与影长成正比，
解得x=6.4.故大树的高度为6.4m .
方法3：设大树的高度为 xm，延长AC，BD相交于点M，如图3所示.
由题意知 解得 DM=10(m).
解得x=6.4.故大树的高度为6.4m .
变式 C
典例2 解:过 D 作 DF⊥MN 于点 F,交 BA 于点E,
则AE=MF=CD=1.6m,DE=AC=2m,EF=AM=98m,∴BE=AB-AE=1.4(m),
∵BE∥FN,∴△DBE∽△DNF,
∴FN=70,∴MN=FN+FM=70+1.6=71.6(m),答:楼房的高为71.6m.
变式 解:由题意得∠ABD=∠CDE=90°,∠ADB=∠CED,
∴△CDE∽△ABD,∴CDAB=DBD,
∵∠F=∠F,∴△CDF∽△ABF,
即
答：小雁塔的高度 AB是43米.
典例3 解:过点C作CH⊥AB,垂足为点 H,延长HC交EF 于点G,
由题意得BD=CH=6米,CG=DF=2米,CD=FG=BH=0.4米,CG⊥EF,
∴∠AHC=∠EGC=90°,
∵EF=1.65米,∴EG=EF-FG=1.65-0.4=1.25(米),由题意得∠ACH=∠ECG,
∴△ACH∽△ECG,解得AH=3.75,
∴AB=AH+BH=3.75+0.4=4.15(米),∴这棵树AB的高度为4.15米.
变式 解:由题意得∠ACB=∠ECD,
∵AB⊥BH,ED⊥BH,GF⊥BH,∴∠B=∠EDC=∠GFH=90°,∴△ABC∽△EDC,
解得
∵∠H=∠H,∴△GFH∽△ABH,
解得AB=72.9,∴AB的高度为72.9米.
【当堂测·夯基础】
1. A 2. A 3. C 4. 6
5.解:过点 A作AN⊥EF于点N,交CD于点M,
由题意可得 AM= BD=4 米,NM=FD=40米,CM=3-1.6=1.4(米),
∵CM∥EN,∴△ACM∽△AEN,
解得EN=15.4,则EF=15.4+1.6=17(米),
答：旗杆 EF的高度为17 米.
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