2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题10 一次函数的图象与性质（含解析）

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专题10 一次函数的图象与性质
一、选择题
1．（2024 乌鲁木齐一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 奉贤区一模）已知函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＞0，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024 高唐县三模）关于一次函数y＝﹣x+1，下列说法错误的是（　　）
A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点（1，0）
C．当x＜1时，y＜0 D．函数值y随自变量x的增大而减小
4．（2024 瑶海区校级模拟）在平面直角坐标系中，直线y＝5x+b与x轴的交点坐标为，则该直线与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（1，0） D．（0，1）
5．（2024 宝鸡二模）在同一平面直角坐标系内，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣3kx+k的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 南岗区模拟）若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．1＜m＜ B．1≤m＜ C．1＜m≤ D．1≤m≤
7．（2024 蜀山区二模）若将直线y＝﹣x向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（　　）
A．与y轴交于点（0，3） B．不经过第一象限
C．y随x的增大而增大 D．与x轴交于点（6，0）
8．（2024 仁寿县模拟）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．a＞2
9．（2024 雁塔区校级四模）点A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点．若y1﹣y2＝﹣6，则k的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
10．（2024 高邮市二模）下列关于函数y＝|x﹣1|+1的图象与性质叙述错误的是（　　）
A．该函数图象关于直线x＝1对称 B．该函数y最小值为1
C．该函数y随着x的增大而增大 D．该函数图象与y轴交于（0，2）
二、填空题
11．（2024 当阳市模拟）若直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第二、第四象限，写出一个符合条件的k值 　 　．
12．（2024 增城区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝﹣3x+5上，且x1＞x2，则y1　 　y2．（填“＜”“＞”或“＝”）
13．（2024 恩施市校级模拟）已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝　 　．
14．（2024 会东县模拟）若有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象经过第 　 　象限．
15．（2024 新北区一模）若一次函数y＝2x﹣1的图象向上平移2个单位长度后经过点（1，t），则t＝　 　．
16．（2024 成都模拟）若一次函数y＝﹣3x+m﹣2的图象不经过第一象限，则m的取值范围为 　 　．
17．（2024 无锡二模）一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），当x＝2时，5＜y＜9，则k的值可以是 　 　（写出一个即可）．
18．（2024 垦利区三模）如图，A（﹣2，1），B（2，3）是平面直角坐标系中的两点，若一次函数y＝kx﹣1的图象与线段AB有交点．则k的取值范围是 　 　．
三、解答题
19．（2024 安徽模拟）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）经过点A，点B，其中点A的坐标为（﹣2，t），点B的坐标为（3，﹣3）．当y随x的增大而增大时，求t的取值范围．
20．（2024 北京一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象向下平移4个单位长度得到，且与x轴交于点A．
（1）求该一次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值且大于﹣3，直接写出n的取值范围．
21．（2024 兰州模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和D（1，2），与过点B（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该一次函数的表达式及点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．（2024 河北一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴，x轴交于点B，点C，l1与l，交于点D（1，m），连接OD，已知OC的长为4．
（1）求点D的坐标及直线l2的解析式；
（2）求△AOD的面积；
（3）若直线l2上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积，直接写出点P的坐标．
23．（2024 新乐市一模）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣2，y2）在直线上，求y1﹣y2的最小值．
24．（2024 孟村县模拟）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+4的图象11分别与x轴，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与11交于点C（m，5）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求BC的长，并求当直线l1与x＝a（a为常数）的交点在第二象限时，a的取值范围；
（3）若点M（2，n）关于直线l1的对称点恰好落在y轴上，直接写出n的值．
答案与解析
一、选择题
1．（2024 乌鲁木齐一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】由k＝2＞0，b＝﹣3＜0得图象经过第一、三、四象限．
【解析】解：∵一次函数y＝2x﹣3中k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与k，b符号的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2025 奉贤区一模）已知函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＞0，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】根据函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＞0判断出函数的图象所经过的象限即可．
【解析】解：∵函数y＝kx+b中k＞0、b＞0，
∴函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
3．（2024 高唐县三模）关于一次函数y＝﹣x+1，下列说法错误的是（　　）
A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点（1，0）
C．当x＜1时，y＜0 D．函数值y随自变量x的增大而减小
【点拨】根据所给一次函数解析式，得出其性质，对四个选项依次进行判断即可．
【解析】解：函数y＝﹣x+1的图象如图所示，
所以此函数图象经过第一、二、四象限，
故A选项不符合题意．
因为函数与x轴的交点坐标为（1，0），
故B选项不符合题意．
当x＜1时，y＞0，
故C选项符合题意．
因为y随x的增大而减小，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
4．（2024 瑶海区校级模拟）在平面直角坐标系中，直线y＝5x+b与x轴的交点坐标为，则该直线与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（1，0） D．（0，1）
【点拨】利用待定系数法求出直线解析式，再令x＝0求出其函数值，即可解题．
【解析】解：∵直线y＝5x+b与x轴的交点坐标为，
∴，解得b＝1，
∴直线解析式为y＝5x+1，
当x＝0时，y＝5×0+1＝1，
∴该直线与y轴的交点坐标为（0，1），
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是关键．
5．（2024 宝鸡二模）在同一平面直角坐标系内，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣3kx+k的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】可先根据正比例函数的图象判断k的符号，再判断一次函数的图象与实际是否相符，判断正误．
【解析】解：A、正比例函数y＝kx的图象可知k＞0，则一次函数y＝﹣3kx+k图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
B、正比例函数y＝kx的图象可知k＞0，则一次函数y＝﹣3kx+k图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
C、正比例函数y＝kx的图象可知k＜0，则一次函数y＝﹣3kx+k图象过第一、三、四象限，故此选项不符合题意；
D、正比例函数y＝kx的图象可知k＜0，则一次函数y＝﹣3kx+k图象过第一、三、四象限，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数和正比例函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限．
6．（2024 南岗区模拟）若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．1＜m＜ B．1≤m＜ C．1＜m≤ D．1≤m≤
【点拨】根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题；
【解析】解：∵一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，
∴，
解得1≤m＜．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（2024 蜀山区二模）若将直线y＝﹣x向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（　　）
A．与y轴交于点（0，3） B．不经过第一象限
C．y随x的增大而增大 D．与x轴交于点（6，0）
【点拨】求出将直线y＝﹣x向下平移3个单位，所得直线解析式y＝﹣x﹣3，再根据一次函数性质逐项判断即可．
【解析】解：将直线y＝﹣x向下平移3个单位，所得直线解析式为y＝﹣x﹣3；
在y＝﹣x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴平移后的直线与y轴交于点（0，﹣3），故A错误，不符合题意；
直线y＝﹣x﹣3经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故B正确，符合题意；
∵﹣＜0，
∴函数y＝﹣x﹣3中，y随x的增大而减小，故C错误，不符合题意；
在y＝﹣x﹣3中，令y＝0得x＝﹣6，
∴直线y＝﹣x﹣3与x轴交于点（﹣6，0），故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与几何变换，解题的关键是掌握一次函数的图象及性质．
8．（2024 仁寿县模拟）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．a＞2
【点拨】y随x的增大而增大，说明x的系数大于0；图象与y轴的交点在原点下方，说明常数项小于0，据此作答．
【解析】解：根据题意得，
解得：﹣＜a＜2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
9．（2024 雁塔区校级四模）点A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点．若y1﹣y2＝﹣6，则k的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【点拨】将（a，y1），（a+2，y2）分别代入函数y＝kx+b，可得y1＝ak+b，y2＝k（a+2）+b，再根据 y1﹣y2＝﹣6，即可得到k的值．
【解析】解：∵A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点，
∴y1＝ak+b，y2＝k（a+2）+b，
∵y1﹣y2＝﹣6，
∴（ak+b）﹣[k（a+2）+b]＝﹣6，
∴k＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．
10．（2024 高邮市二模）下列关于函数y＝|x﹣1|+1的图象与性质叙述错误的是（　　）
A．该函数图象关于直线x＝1对称 B．该函数y最小值为1
C．该函数y随着x的增大而增大 D．该函数图象与y轴交于（0，2）
【点拨】根据函数解析式y＝|x﹣1|+1画出相应的函数图象；根据图象即可求解．
【解析】解：并画出函数y＝|x﹣1|+1的图象如下：
由图象知，该函数图象关于直线x＝1对称，故选项A不符合题意；
该函数y最小值为1，故选项B不符合题意；
当x＞1时，该函数y随着x的增大而增大，故选项C符合题意；
该函数图象与y轴交于（0，2），故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
11．（2024 当阳市模拟）若直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第二、第四象限，写出一个符合条件的k值 　﹣1　．
【点拨】正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．
【解析】解：∵直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第二、第四象限，
∴k＜0．
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．
12．（2024 增城区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝﹣3x+5上，且x1＞x2，则y1　＜　y2．（填“＜”“＞”或“＝”）
【点拨】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＜x2即可得出结论．
【解析】解：∵直线y＝﹣3x+5中，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（2024 恩施市校级模拟）已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝　﹣2　．
【点拨】根据正比例函数定义可得m2﹣3＝1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再求解．
【解析】解：由题意得：m2﹣3＝1，且m+1＜0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，熟记基础知识点是解题的关键．
14．（2024 会东县模拟）若有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象经过第 　一、三、四　象限．
【点拨】由题意知，k﹣1＞0，则1﹣k＜0，进而判断作答即可．
【解析】解：由题意知，k﹣1＞0，
∴1﹣k＜0，
∴y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，一次函数的图象．熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，一次函数的图象是解题的关键．
15．（2024 新北区一模）若一次函数y＝2x﹣1的图象向上平移2个单位长度后经过点（1，t），则t＝　3　．
【点拨】根据直线的平移规律：上加下减可得平移后的直线为y＝2x﹣1+2，再将点（1，t）代入求解即可．
【解析】解：将一次函数y＝2x﹣1的图象向上平移2个单位长度后得y＝2x﹣1+2＝2x+1，
将点（1，t）代入y＝2x+1，得t＝2+1＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握直线的平移规律是解题的关键．
16．（2024 成都模拟）若一次函数y＝﹣3x+m﹣2的图象不经过第一象限，则m的取值范围为 　m≤2　．
【点拨】根据若一次函数y＝﹣3x+m﹣2的图象不经过第一象限可得m﹣2≤0，解不等式即可求得．
【解析】解：根据题意可得m﹣2≤0，
解得：m≤2，
故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查了一次函数与图象的关系，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
17．（2024 无锡二模）一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），当x＝2时，5＜y＜9，则k的值可以是 　6（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
【解析】解：∵一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），
∴1＝k+b，b＝1﹣k，
∴一次函数解析式为：y＝kx+1﹣k，
∵当x＝2时，5＜y＜9，
∴5＜2k+1﹣k＜9，
∴5＜k+1＜9，
∴4＜k＜8．
不妨k＝6，
故答案为：6（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握解不等式是解答本题的关键．
18．（2024 垦利区三模）如图，A（﹣2，1），B（2，3）是平面直角坐标系中的两点，若一次函数y＝kx﹣1的图象与线段AB有交点．则k的取值范围是 　k≤﹣1或k≥2　．
【点拨】把A点和B点坐标分别代入计算出对应的k的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围．
【解析】解：把A（﹣2，1）代入y＝kx﹣1得﹣2k﹣1＝1，解得k＝﹣1；
把B（2，3）代入y＝kx﹣1得2k﹣1＝3，解得k＝2，
所以当一次函数y＝kx﹣1与线段AB只有一个交点时，k≤﹣1或k≥2．
即k的取值范围为k≤﹣1或k≥2．
故答案为：k≤﹣1或k≥2．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
三、解答题
19．（2024 安徽模拟）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）经过点A，点B，其中点A的坐标为（﹣2，t），点B的坐标为（3，﹣3）．当y随x的增大而增大时，求t的取值范围．
【点拨】将点A（﹣2，t），点B（3，﹣3）代入一次函数解析式得，进而可得，根据y随x的增大而增大可得，进而可求解．
【解析】解：依题意得：，
∴﹣2k﹣3k＝t+3，即：，
∵y随x的增大而增大，
∴，
解得：t＜﹣3．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
20．（2024 北京一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象向下平移4个单位长度得到，且与x轴交于点A．
（1）求该一次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值且大于﹣3，直接写出n的取值范围．
【点拨】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则，可求出该一次函数解析式，进而可解决问题．
（2）利用数形结合的思想即可解决问题．
【解析】解：（1）因为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象向下平移4个单位长度得到，
所以该一次函数的解析式为y＝2x﹣4．
将y＝0代入得，
2x﹣4＝0，
解得x＝2，
所以点A的坐标为（2，0）．
（2）因为当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值小于一次函数y＝2x﹣4的值且大于﹣3，
所以当x＞2时，函数y＝x+n的图象在函数y＝2x﹣4图象的下方，且在直线y＝﹣3的上方．
如图所示，
函数y＝x+n与直线x＝2的交点，应在（2，0）和（2，﹣3）之间（包括端点），
所以﹣3≤n+2≤0，
解得﹣5≤n≤﹣2．
所以n的取值范围是：﹣5≤n≤﹣2．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变化及一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
21．（2024 兰州模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和D（1，2），与过点B（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该一次函数的表达式及点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【点拨】（1）待定系数法求出一次函数解析式，令y＝4，求出x值，即可得到点C坐标；
（2）画出图象，根据三角形的面积公式即可求得答案．
【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和D（1，2），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
当y＝4时，x＝3，
∴C（3，4）；
（2）△ABC的面积＝BC AB＝×3×（4﹣1）＝．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答本题的关键．
22．（2024 河北一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴，x轴交于点B，点C，l1与l，交于点D（1，m），连接OD，已知OC的长为4．
（1）求点D的坐标及直线l2的解析式；
（2）求△AOD的面积；
（3）若直线l2上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积，直接写出点P的坐标．
【点拨】（1）把点D（1，m）代入y＝2x+1即可求出m；再求出点C坐标，用待定系数法求出直线l2的解析式；
（2）根据三角形的面积公式求出△AOD的面积；
（3）设点P坐标为（m，﹣m+4），分两种情况用分割法求出△ADP的面积，从而求出m的值．
【解析】解：（1）∵点D（1，m）在直线l1：y＝2x+1上，
∴m＝2×1+1＝3，
∴点D的坐标为（1，3），
∵OC的长为4，
∴C（4，0），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
把D，C坐标代入y＝kx+b得：，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵直线l1的解析式为y＝2x+1，
∴点A坐标为（0，1），
∴SAOD＝OA xD＝×1×1＝；
（3）由（1）知，直线l2的解析式为y＝﹣x+4，
∴点B坐标为（0，4），
如图所示：设点P坐标为（m，﹣m+4），
当P在射线DB上时，
∵S△APD＝S△ABD﹣S△ABP，
∴＝AB xD﹣AB xP，
即＝×3×1﹣×3m，
解得m＝，
∴P（，）；
当P在射线DC上时，
过点A作x轴的平行线交BC于点Q，
则Q（3，1），
∴S△ADQ＝AQ （yD﹣1）＝×3×2＝3，S△APQ＝AQ （yP﹣1）＝×3（﹣m+3），
∴S△ADP＝S△ADQ﹣S△APQ，
∴＝3﹣（﹣m+3），
解得m＝，
∴P（，）．
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
23．（2024 新乐市一模）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣2，y2）在直线上，求y1﹣y2的最小值．
【点拨】（1）待定系数法求出直线解析式即可；
（2）将点PQ坐标代入解析式得到，再根据一次函数性质解答即可．
【解析】解：（1）把点A（2，m）代入 ，得 ，
设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，把点 ，B（0，3）代入得：
，解得 ，
∴直线AB的函数表达式为 ．
（2）∵点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣2，y2） 在直线 上，
∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2），y2＝2（t﹣2）﹣＝2t﹣，
∴，
∵，
∴y1﹣y2的值随x的增大而减小，
∴当 t＝2 时，y1﹣y2的最小值为4．
【点睛】本题以一次函数为背景考查了一次函数图象的性质，考查学生对待定系数法的运用能力，题目难度不大，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案．
24．（2024 孟村县模拟）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+4的图象11分别与x轴，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与11交于点C（m，5）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求BC的长，并求当直线l1与x＝a（a为常数）的交点在第二象限时，a的取值范围；
（3）若点M（2，n）关于直线l1的对称点恰好落在y轴上，直接写出n的值．
【点拨】（1）先求得C点坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）①过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，可知CD＝OE＝5，CE＝1，在直角三角形BOE利用勾股定理计算即可；
②当x＝a时，将其与直线l1：y＝x+4 的交点坐标求出，利用点在第二象限列出不等式解出即可．
（3）由点对称性质得出BM′⊥BM，进而求出M点坐标，n值就可以写出来．
【解析】解：（1）把C（m，5）代入一次函数y＝x+4，可得：
5＝m+4，即得：m＝1，
∴C（1，5），
设l2的解析式为y＝kx，则5＝k×1，即得k＝5，
∴l2的解析式为y＝5x；
（2）①如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥OB于E，则由（1）可知CD＝OE＝5，CE＝1，
y＝x+4，令x＝0时，则y＝4，
∴B（0，4），即OB＝4；
∴Rt△BCE中，CE＝1，BE＝OE﹣OB＝5﹣4＝1，
由勾股定理得，BC2＝BE2+CE2＝12+12＝2，
∴BC＝；
②当x＝a时，与直线l1：y＝x+4 的交点为（a，a+4），
∵此交点在第二象限，
∴，解得：﹣4＜a＜0．
∴a的取值范围：﹣4＜a＜0．
（3）如图由（1）可知OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA＝45°，设点M关于直线l1对称的点为M′（0，y），
由对称性质可知MM′与直线l1于交点C，则∠M′BC＝∠OBA＝45°（对顶角相等），
由对称性质可知MM′⊥l1且MC＝M′C，
∴BM′＝BM，
∴∠M′BC＝∠MBC＝45°，∠M′BM＝90°，
即M′B⊥MB，
∴M点坐标为（2，4），即n＝4．
【点睛】本题考查了一次函数中两条直线交点问题，点关于直线对称问题，解决问题关键是求得交点坐标及对称性质的掌握．
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