人教版九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质 课时练习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质 课时练习题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 430.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-16 20:10:17 | ||
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文档简介
九年级数学下册人教版第二十七章2.2节《相似三角形的性质》课时练习题
一、选择题
1．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则（ ）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：4
2．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形EFGH的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形EFGH的边长为（ ）cm．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
3．如图，在的正方形网格中，线段与交于点，若每个小正方形的边长为1，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，在中，点D，E分别在上，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，中线，相交于点F，，交于点G，，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米
7．如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（ ）
A．光的反射，米 B．光的折射，米
C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．2：5：25 D．4：10：25
9．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE相交于点O，连结DE.有下列结论：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，△ABC中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（ ）
A．m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD
B．m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABD
C．m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD
D．m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD
二、填空题
11．如图，平行四边形中，点是边上一点，交于点，若，则为 ．
12．如图，将正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG， 则＝ ．
13．如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF交于点G，点H为AG上一点，且BG＝GH，连接DH，则DH的最小值为 ．
14．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．
15．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm.
16．在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC，点N在边AD上，ND＝2，点M在边BC上，BM＝1，点E在DC的延长线上，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线MN于点F，当AE＝EF时，DE的长为 ．
18．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点处，线段与相交于点E，则的值为 ．
三、解答题
19．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，点F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长。
20．已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°.
提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；
类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由.
综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长.
21．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
22．如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
（1）求证：△AFC∽△CFD；
（2）若AE＝2BE，求证：AF＝2CF；
（3）如图②，若AB＝，DE⊥BC，求的值。
四、综合题
23．在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 .若 ， ，求AН的长.
24． 如图，在正方形中，点是对角线上一点不与点，重合，交边于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：∽；
（2）求的度数；
（3）若正方形的边长为，点是延长线上一点，交的延长线于点，且恰好经过的中点，如图，其他条件不变，求的值．
25．如图
【感知】如图①在△ABC中，点D为边BA延长线上的点，若=，过点D作DE∥BC交CA延长线于点E.若DE=5，求BC的长.
【探究】如图②，在△ABC中，点D是边AB上的点，点E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F，若=.小明尝试探究的值，在图②中.小明过点D作DM∥AC交BE于点M，易证△DFM∽△CFE，则==.从而得到的值为 ▲ ，易证△DBM∽△ABE，则=，从而得到的值为 ▲ ，从而得到的值为 ▲ .
【应用】如图③，在△ABC中，点D是边AB上的点，E为边CA延长线上的点，连接BE，延长CD，交BE于点F.=，=，且△ACD的面积为1，则△BDF的面积为 ▲ .
26．综合与探究
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请直接写出线段与的数量关系 ．
（2）【类比探究】
如图2，在矩形中，，，点分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】
如图3，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点E，若，，求的长．
答案
1-10 CDDBD CADBD
11．4
12．
13．4﹣4
14．
15．16
16． 或
17．
18．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90° ，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
∵EF⊥AM，
∵∠AFE=90° ，∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA
（2）解：∵∠B=90°， AB=12， BM=5，
∴AM==13， AD=12，
．：点F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5
∵△ABM∽△EFA，
∴AE=16.9，
∴DE=AE-AD=4.9
20．解：提出问题：
解：在△DBA和△CAB中，
∵ .
∴△DBA≌△CAB（AAS），
∴AD＝BC；
类比探究：
结论仍然成立.
理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，
∴∠ADB＝∠AEB.
∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴△DBA≌△EAB（AAS），
∴BE＝AD，
∵∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∴AD＝BC.
综合运用：
作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，
∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°.由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，
∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，
∴EF＝BE＝1.在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，
∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CFB.
∴ ＝ ，令CE＝x，
∴1＝x（x+1）.
解得，x＝ ，
∴CF＝ .
由∠FBC＝∠C，
∴BF＝CF.又AF＝BF，
∴AC＝2CF＝ +1.
21．解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
22．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠DCF＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ACF＝∠CDF，
∵∠AFC＝∠CFD＝90°，
∴△AFC∽△CFD；
（2）证明：如图①，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于H，
∵CE⊥AD，
∴AF∥BH，
∴＝2，
∴AF＝2BH，
由（1）可知，△AFC∽△CFD，
∴∠CAF＝∠BCH，
在△ACF和△CBH中，
，
∴△ACF≌△CBH（AAS），
∴CF＝BH，
∴AF＝2CF；
（3）解：在Rt△ABC中，AC＝BC， ∠ACB=90°， AB＝，
则AC＝BC＝1，∠B＝45°，
设CD＝x，则BD＝1﹣x，
在Rt△BDE中，∠B＝45°，
则DE＝BD＝1﹣x，
∵∠CAD＝∠ECD，∠ACD＝∠CDE＝90°，
∴△ACD∽△CDE，
∴， 即
解得：x1＝（舍去），
∵DE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∵E为DC中点，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
.
24．（1）证明：四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
由正方形性质可知，是等腰直角三角形，
，
，
又，
∽；
（2）解：由的∽，，
，
四边形为平行四边形，
，即：，
，
（3）解：，，，
，，
∽，
，
为中点，
，
，
，，
≌，
，则，，
，，
，
，
，
，
．
25．解：【感知】如图①中，∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，
∴ = = ，∵DE=5，∴BC=10；
【探究】 ；2； ；
【应用】
26．（1）
（2）解：．
证明：∵，
∴．
在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H．
∴四边形是矩形．
∵D为中点，
∴．
∵，
∴．
由（2）知，
∴．
在中，，
∵
∴，
∴，
即，
解得．
一、选择题
1．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则（ ）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．1：4
2．如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形EFGH的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形EFGH的边长为（ ）cm．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
3．如图，在的正方形网格中，线段与交于点，若每个小正方形的边长为1，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，在中，点D，E分别在上，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，中线，相交于点F，，交于点G，，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米
7．如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（ ）
A．光的反射，米 B．光的折射，米
C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．2：5：25 D．4：10：25
9．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE相交于点O，连结DE.有下列结论：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，△ABC中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（ ）
A．m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD
B．m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABD
C．m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD
D．m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD
二、填空题
11．如图，平行四边形中，点是边上一点，交于点，若，则为 ．
12．如图，将正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG， 则＝ ．
13．如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF交于点G，点H为AG上一点，且BG＝GH，连接DH，则DH的最小值为 ．
14．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．
15．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm.
16．在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC，点N在边AD上，ND＝2，点M在边BC上，BM＝1，点E在DC的延长线上，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线MN于点F，当AE＝EF时，DE的长为 ．
18．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点处，线段与相交于点E，则的值为 ．
三、解答题
19．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，点F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长。
20．已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°.
提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；
类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由.
综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长.
21．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
22．如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
（1）求证：△AFC∽△CFD；
（2）若AE＝2BE，求证：AF＝2CF；
（3）如图②，若AB＝，DE⊥BC，求的值。
四、综合题
23．在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 .若 ， ，求AН的长.
24． 如图，在正方形中，点是对角线上一点不与点，重合，交边于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：∽；
（2）求的度数；
（3）若正方形的边长为，点是延长线上一点，交的延长线于点，且恰好经过的中点，如图，其他条件不变，求的值．
25．如图
【感知】如图①在△ABC中，点D为边BA延长线上的点，若=，过点D作DE∥BC交CA延长线于点E.若DE=5，求BC的长.
【探究】如图②，在△ABC中，点D是边AB上的点，点E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F，若=.小明尝试探究的值，在图②中.小明过点D作DM∥AC交BE于点M，易证△DFM∽△CFE，则==.从而得到的值为 ▲ ，易证△DBM∽△ABE，则=，从而得到的值为 ▲ ，从而得到的值为 ▲ .
【应用】如图③，在△ABC中，点D是边AB上的点，E为边CA延长线上的点，连接BE，延长CD，交BE于点F.=，=，且△ACD的面积为1，则△BDF的面积为 ▲ .
26．综合与探究
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，请直接写出线段与的数量关系 ．
（2）【类比探究】
如图2，在矩形中，，，点分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】
如图3，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点E，若，，求的长．
答案
1-10 CDDBD CADBD
11．4
12．
13．4﹣4
14．
15．16
16． 或
17．
18．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90° ，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
∵EF⊥AM，
∵∠AFE=90° ，∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA
（2）解：∵∠B=90°， AB=12， BM=5，
∴AM==13， AD=12，
．：点F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5
∵△ABM∽△EFA，
∴AE=16.9，
∴DE=AE-AD=4.9
20．解：提出问题：
解：在△DBA和△CAB中，
∵ .
∴△DBA≌△CAB（AAS），
∴AD＝BC；
类比探究：
结论仍然成立.
理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，
∴∠ADB＝∠AEB.
∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴△DBA≌△EAB（AAS），
∴BE＝AD，
∵∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∴AD＝BC.
综合运用：
作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E.
由（2）得，AD＝BC＝BE＝1.在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，
∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°.由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，
∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，
∴EF＝BE＝1.在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，
∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△CBE∽△CFB.
∴ ＝ ，令CE＝x，
∴1＝x（x+1）.
解得，x＝ ，
∴CF＝ .
由∠FBC＝∠C，
∴BF＝CF.又AF＝BF，
∴AC＝2CF＝ +1.
21．解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
22．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠DCF＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ACF＝∠CDF，
∵∠AFC＝∠CFD＝90°，
∴△AFC∽△CFD；
（2）证明：如图①，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于H，
∵CE⊥AD，
∴AF∥BH，
∴＝2，
∴AF＝2BH，
由（1）可知，△AFC∽△CFD，
∴∠CAF＝∠BCH，
在△ACF和△CBH中，
，
∴△ACF≌△CBH（AAS），
∴CF＝BH，
∴AF＝2CF；
（3）解：在Rt△ABC中，AC＝BC， ∠ACB=90°， AB＝，
则AC＝BC＝1，∠B＝45°，
设CD＝x，则BD＝1﹣x，
在Rt△BDE中，∠B＝45°，
则DE＝BD＝1﹣x，
∵∠CAD＝∠ECD，∠ACD＝∠CDE＝90°，
∴△ACD∽△CDE，
∴， 即
解得：x1＝（舍去），
∵DE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∵E为DC中点，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
.
24．（1）证明：四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
由正方形性质可知，是等腰直角三角形，
，
，
又，
∽；
（2）解：由的∽，，
，
四边形为平行四边形，
，即：，
，
（3）解：，，，
，，
∽，
，
为中点，
，
，
，，
≌，
，则，，
，，
，
，
，
，
．
25．解：【感知】如图①中，∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，
∴ = = ，∵DE=5，∴BC=10；
【探究】 ；2； ；
【应用】
26．（1）
（2）解：．
证明：∵，
∴．
在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H．
∴四边形是矩形．
∵D为中点，
∴．
∵，
∴．
由（2）知，
∴．
在中，，
∵
∴，
∴，
即，
解得．