选择必修第三册 第六章 6.2.2 排列数 课件(共25张PPT)

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选择必修三
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.2 排列数
教学目标
学习目标 数学素养
1.能在排列的基础给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数. 1.归纳的数学素养.
2.通过计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能求具体问题的排列数. 2.逻辑推理素养.
3.会解决排列的简单应用问题 3.数学建模素养和数学运算素养.
温故知新
1.排列的定义
2.排列问题的判断方法：
⑴元素的无重复性；
⑵元素的有序性.
一般地，从 n 个不同中取出 m 个元素(m ≤ n)，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement).
判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.
知新探究
我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
“排列数”是指从n个不同元素中任取m个元素(m≤n)的所有排列的个数，它是一个数.所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.
前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式.
符号中的A是英文arrangement（排列）的第一个字母.
“排列数”与“排列”有什么区别和联系？
“一个排列”是指：从n个不同元素中任取m个元素(m≤n),按照一定的顺序排成一列，它不是数值.它是指具体的排法.
例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为.已经算得
.
问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为.已经算得
.
知新探究
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数.根据前面的求解经验，可以这样考虑：
现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事可以分为两个步骤分成：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这个n元素中任选1个，有n种选法；
假定有排好顺序的两个空位，如图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到了一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数.
根据分步乘法计数原理，2个空位的填空种数为
从n个不同元素中取m个元素的排列数(m ≤n)是多少？
第1位
第2位
n 种
(n-1)种
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任选1个，有(n-1)种选法.
.
知新探究
一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑：
同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有
假定有排好顺序的个空位，如图所示，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填空的种数就是排列数.
.
......
n 种
(n-1)种
(n-2)种
n-(m-1)种
第1位
第2位
第3位
第m位
......
知新探究
填空可以分为m个步骤完成：
......
n 种
(n-1)种
(n-2)种
n-(m-1)种
第1位
第2位
第3位
第m位
......
第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法；
第2步，从剩下的(n-1)个不同元素中任选1个填在第2位，有(n-1)种选法；
第3步，从剩下的(n-2)个不同元素中任选1个填在第3位，有(n-2)种选法；
……
第m步，从剩下的[n-(m-1)]个不同元素中任选1个填在第3位，有[n-(m-1)]种选法.
根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为
知新探究
这里，，并且.这个公式叫做排列数公式.
这样，我们就得到公式
1.右边第一个因数是n，后边每个因数都比它前面的一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个连续的正整数相乘.
.
你能说一下排列数公式的特点吗？
3.
2.，并且.
知新探究
根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数.例如，
这时,排列数公式中m＝n，即有
特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.
，
.
.
也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成
.
另外，我们规定，0！=1.
知新探究
由例1可以看到，；，即.观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
【例1】计算：⑴； ⑵； ⑶； ⑷.
解：
根据排列数公式，可得
⑴；
⑵；
⑶；
⑷.
知新探究
由例1可以看到，；，即.观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
事实上，
.
.
.
因此，排列数公式还可以写成
.
知新探究
【例2】用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解：
解法1：如图所示，三位数的百位上的数字不能是0,可以分两步完成：
第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；
第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.
分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素. 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题.
百位
十位
个位
种
种
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
.
知新探究
【例2】用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解：
解法2：如图所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1—9这9个数字中取出3个，有种取法；
第2类，个位上的数字是0的三位数，有种取法；
根据分类加法计数原理，所求的三位数的个数为
.
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
第3类，十位上的数字是0的三位数，有种取法.
知新探究
【例2】用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解：
解法3：从0—9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为
，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数.
即所求三位数的个数为
从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从n个不同元素中取出个m(m ≤n)元素的所有排列数的个数”这类特殊的计数问题.
.
对于例2这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数.
初试身手
1.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
解法1：(正向思维)第1步，个位上的数字选法种数种（从2,4中选）；
第2步，万位上的数字选法种数种（5不能选）；
=36.
第3步，十位、百位、千位上的数的排列有种.
根据分步乘法计数原理，所求的小于50000的偶数的个数为
百位
十位
个位
千位
万位
初试身手
1.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
解法2：(逆向思维)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数的个数个，减去其中奇数的个数个,减去偶数中大于50000的数个.
则所求的小于50000的偶数的个数为
百位
十位
个位
千位
万位
.
=36.
知新探究
【例3】⑴若，则x= ;
⑵解不等式，其中，;
⑶求证：.
解：
⑴由，得
,
化简得x2-19x+78=0 ,
解得x=6或x=13,
∵x≤8,且x-1≤9,
∴x=6.
6
知新探究
【例3】⑴若，则x= ;
⑵解不等式，其中，;
⑶求证：.
解：
⑵由不等式，得
,即(11-x)(10-x)>6,
整理得x2-21x+104>0 ,
解得x<8或x>13,
∵3≤x≤9,
∴x=3,4,5,6,7.
6
故原不等式的解集为{3,4,5,6,7}.
知新探究
【例3】⑴若，则x= ;
⑵解不等式，其中，;
⑶求证：.
⑶证明：∵.
.
.
.
∴.
6
初试身手
2.⑴化简= ;
⑵若，则x= .
⑴.
⑵∵，
1
解：
=1.
∵，
∴原方程的解是x=6.
∴x2-x-30=0，
解得x=6或x=-5,
6
课堂小结
1.排列数
2.全排列
⑴乘积形式：.（，并且）
⑵阶乘形式：.（，并且）
性质：.我们规定，.
我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘.用n!表示.
3.排列数公式
作业布置
作业：
P26 习题6.2 第1，2，4，5，8，9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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