2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题13 二次函数的图象与性质（含解析）

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专题13 二次函数的图象与性质
一、选择题
1．（2025 黄石一模）抛物线y＝﹣（x+2）2+4的顶点坐标为（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）
2．（2024 浉河区二模）将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣4）2+2 D．y＝x2+2
3．（2025 泸县一模）对于抛物线y＝5x2+2的说法不正确的是（　　）
A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限
C．函数最小值是2 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
4．（2025 奉贤区一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1
6．（2024 沭阳县模拟）已知二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上有三点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
7．（2024 日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024 婺城区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　）
A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1
9．（2024 浙江模拟）二次函数y＝﹣x2+bx+c，若y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1（n为常数），则当n﹣4≤x≤n时，y的取值范围为（　　）
A．﹣3≤y≤5 B．﹣3≤y≤6 C．0≤y≤5 D．0≤y＜6
10．（2024 萧山区二模）已知m，n是函数y1＝x与图象两个交点的横坐标，点A（t，T）在函数y2的图象上，则以下结论正确的是（　　）
A．若0＜t＜m＜n＜2，则n＜T B．若0＜t＜m＜n＜2，则T＜n
C．若0＜m＜t＜n＜2，则n＜T D．若0＜m＜t＜n＜2，则T＜n
二．填空题
11．（2024 河东区一模）函数是二次函数，则a的值是 　 　．
12．（2025 静安区一模）抛物线y＝（a+1）x2﹣x在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是 　 　．
13．（2024 广州一模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．则a＝　 　．
14．（2024 温州模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，则k的值为 　 　．
15．（2023 辉县市二模）将抛物线y＝（x﹣3）2+k先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为y＝x2﹣8x+14，则k的值为 　 　．
16．（2024 金华一模）已知二次函数．
（1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为 　 　．
（2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为 　 　．
三．解答题
17．（2024 富平县模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c过点（0，0），（1，3），求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标．
18．（2024 丽水一模）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝0时，求二次函数的表达式；
（2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值；
（3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20．
19．（2024 拱墅区二模）设二次函数y＝（x﹣a）（x+a﹣2）（a为实数，且a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（2，0），求二次函数表达式．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）．
（3）若该函数图象经过点（3，m），且满足m≥4，求a的值．
20．（2024 拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且5m+5n＜﹣13，请比较p，q的大小，并说明理由．
21．（2024 瓯海区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）．
（1）若a＜0，当﹣4≤x≤2时，y的最小值为﹣21，y的最大值为4，求a+b的值；
（2）若该二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，3），当m﹣2≤x≤m时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
22．（2024 南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），它的顶点（m，n）在函数y＝x2的图象上．
（1）当n取最小值时，a＝　 　．
（2）用含m的代数式表示a．
（3）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，当y2＜y1＜y3时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
23．（2024 嘉兴二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）．
①求a的值．
②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2．
答案与解析
一、选择题
1．（2025 黄石一模）抛物线y＝﹣（x+2）2+4的顶点坐标为（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）
【点拨】根据“y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）”即可求解．
【解析】解：∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
2．（2024 浉河区二模）将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣4）2+2 D．y＝x2+2
【点拨】直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【解析】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是y＝（x﹣2+2）2+1+1，即y＝x2+2．
故选：D．
【点睛】本题考查了二函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
3．（2025 泸县一模）对于抛物线y＝5x2+2的说法不正确的是（　　）
A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限
C．函数最小值是2 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【点拨】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解析】解：二次函数y＝5x2+2，a＝5＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，2），图象经过第一、二象限，有最小值2，当x＜0时，y随x的增大而减小．
故选项A、C、D说法正确，选项B说法错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（2025 奉贤区一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解析】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
5．（2024 陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1
【点拨】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题．
【解析】解：由题知，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x．
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线的开口向下．
故A选项不符合题意．
因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小．
故B选项不符合题意．
令y＝0得，
﹣x2+2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．
又因为抛物线的顶点坐标为（1，1），
所以抛物线经过第一、三、四象限．
故C选项不符合题意．
因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，能用待定系数法求出二次函数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键．
6．（2024 沭阳县模拟）已知二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上有三点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【点拨】根据二次函数y＝（x+1）2﹣2可得函数图象开口向上且对称轴为直线x＝﹣1，从而可知越靠近对称轴，函数值越小，即可得出答案．
【解析】解：由条件可知二次函数图象开口向上且对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，
∵A（1，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）是二次函数y＝（x+1）2﹣2上的点，
A（1，y1）距离对称轴有2个单位长度，
B（﹣2，y2）距离对称轴有1个单位长度，
C（2，y3）距离对称轴有3个单位长度，
∴y3＞y1＞y2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向和对称性是解题的关键．
7．（2024 日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据图像信息一一判断即可．
【解析】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故②正确，
∵函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），
∴多项式ax2+bx+c可因式分解为a（x+1） （x﹣5），故③错误，
∵抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣9a），
观察图象可知当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系，解一元二次方程﹣因式分解法，根的判别式，二次函数图象上的点坐标特征，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2024 婺城区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　）
A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1
【点拨】依据题意，由y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝﹣m+1，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，可得﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|，最后计算可以得解．
【解析】解：由题意，∵当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4，
∴抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝＝﹣m+1．
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小．
∵﹣m﹣3＜﹣m+1，
又A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，
∴﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|．
∴|3m﹣1|＜4．
∴﹣4＜3m﹣1＜4．
∴﹣1＜m＜．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
9．（2024 浙江模拟）二次函数y＝﹣x2+bx+c，若y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1（n为常数），则当n﹣4≤x≤n时，y的取值范围为（　　）
A．﹣3≤y≤5 B．﹣3≤y≤6 C．0≤y≤5 D．0≤y＜6
【点拨】依据题意，根据y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1，且抛物线开口向下，则对称轴是直线x＝＝n﹣1＝﹣，从而b＝2（n﹣1），故抛物线为y＝﹣x2+2（n﹣1）x+c，又当x＝n+1时，y＝﹣（n+1）2+2（n﹣1）（n+1）+c＝2，可得c＝﹣n2+2n+5，即求出二次函数为y＝﹣x2+2（n﹣1）x﹣n2+2n+5，又当n﹣4≤x≤n，结合二次函数的性质即可判断得解．
【解析】解：由题意，∵y≥2时，x的取值范围为n﹣3≤x≤n+1，且抛物线开口向下，
∴对称轴是直线x＝＝n﹣1＝﹣．
∴b＝2（n﹣1）．
∴抛物线为y＝﹣x2+2（n﹣1）x+c．
又当x＝n+1时，y＝﹣（n+1）2+2（n﹣1）（n+1）+c＝2，
∴c＝﹣n2+2n+5．
∴二次函数为y＝﹣x2+2（n﹣1）x﹣n2+2n+5．
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
∵n﹣1﹣（n﹣4）＝3＞n﹣（n﹣1）＝1，n﹣4＜n﹣1＜n，
又n﹣4≤x≤n，
∴当x＝n﹣1时，y取最大值为y＝﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）2﹣n2+2n+5＝6；
当x＝n﹣4时，y取最小值为y＝﹣（n﹣4）2+2（n﹣4）（n﹣1）﹣n2+2n+5＝﹣3．
∴当n﹣4≤x≤n时，﹣3≤y≤6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
10．（2024 萧山区二模）已知m，n是函数y1＝x与图象两个交点的横坐标，点A（t，T）在函数y2的图象上，则以下结论正确的是（　　）
A．若0＜t＜m＜n＜2，则n＜T B．若0＜t＜m＜n＜2，则T＜n
C．若0＜m＜t＜n＜2，则n＜T D．若0＜m＜t＜n＜2，则T＜n
【点拨】根据题意画出示意图，利用数形结合的数学思想进行分类讨论即可解决问题．
【解析】解：如图所示，
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以当x＝0和x＝2时，函数值相等．
当点A在点P和点M之间时，
即0＜t＜m＜n＜2时，
此时点A离对称轴的距离与点N离对称轴的距离无法确定，
所以T与n的大小无法确定．
当点A在点M和点N之间时，
即0＜m＜t＜n＜2时，
此时点A离对称轴的距离小于点N离对称轴的距离，
所以T＜n．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
二．填空题
11．（2024 河东区一模）函数是二次函数，则a的值是 　﹣1　．
【点拨】根据二次函数的定义列出a﹣2≠0，且a2﹣a＝2，进而求得答案．
【解析】解：∵函数y＝（a 2）是二次函数，
∴a﹣2≠0，且a2﹣a＝2，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键．
12．（2025 静安区一模）抛物线y＝（a+1）x2﹣x在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是 　a＜﹣1　．
【点拨】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则a+1＜0，然后解不等式即可．
【解析】解：∵抛物线y＝（a+1）x2﹣x在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴a+1＜0，解得a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．
13．（2024 广州一模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．则a＝　3　．
【点拨】根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
【解析】解：由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，抛物线与x轴的交点，求得交点坐标，熟知二次函数的对称性是解决本题的关键．
14．（2024 温州模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，则k的值为 　﹣6　．
【点拨】依据题意，现将y＝x2﹣2x+k变形为y＝（x﹣1）2+k﹣1，然后结合﹣3≤x≤2判断当x＝﹣3时取最大值，从而列方程计算可以得解．
【解析】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1．
又∵﹣3≤x≤2，抛物线开口向上，
∴当x＝﹣3时，y取最大值，最大值y＝16+k﹣1＝15+k．
又此时y的最大值为9，
∴15+k＝9．
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键．
15．（2023 辉县市二模）将抛物线y＝（x﹣3）2+k先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为y＝x2﹣8x+14，则k的值为 　﹣4　．
【点拨】根据二次函数图象平移的法则解答即可．
【解析】解：将抛物线 y＝（x﹣3）2+k 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：y＝（x﹣3﹣1）2+k+2，
∵得到的抛物线的函数表达式为y＝x2﹣8x+14，
∴（x﹣3﹣1）2+k+2＝x2﹣8x+14，
解得k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
16．（2024 金华一模）已知二次函数．
（1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为 　2或﹣2　．
（2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为 　b＞2或﹣3＜b＜﹣2　．
【点拨】（1）把点（b﹣2，c）代入即可求出b的值；
（2）根据题意即可得到|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，解不等式求得即可．
【解析】解：（1）把点（b﹣2，c）代入，得c＝（b﹣2）2﹣b（b﹣2）+c，
∴b＝±2，
故答案为：2或﹣2；
（2）二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝b，
∵点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，
∴|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，
当b＞0时，b＞2，
当﹣6＜b＜0时，﹣3＜b＜﹣2，
当b＜﹣6时，不合题意，
∴b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
故答案为：b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．
三．解答题
17．（2024 富平县模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c过点（0，0），（1，3），求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标．
【点拨】将（0，0），（1，3）代入y＝x2+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式；再把一般式转化为顶点式，由顶点式可得顶点的坐标．
【解析】解：分别将（0，0），（1，3）代入函数解析式，
得出二元一次方程组解得
所以，该二次函数的解析式为y＝x2+2x；
该二次函数的解析式y＝x2+2x可化为：y＝（x+1）2﹣1，
所以该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，以及二次函数顶点式的应用．
18．（2024 丽水一模）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝0时，求二次函数的表达式；
（2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值；
（3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20．
【点拨】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用抛物线的对称性得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质得到当x＝1时，函数y取得最小值，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用抛物线的对称轴为直线x＝1，得到b＝﹣2a，则y＝ax2﹣2ax+1，利用表格求得m，np的值，并计算出n﹣m﹣p＝﹣7a﹣1，再利用不等式的性质解答即可得出结论．
【解析】（1）解：当m＝0时，抛物线y＝ax2+bx+1经过（﹣1，0），（0，1），（2，1）三点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）解：∵抛物线y＝ax2+bx+1经过（0，1），（2，1）两点，
∴当x＝0或x＝2时，y＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴y＝ax2﹣2ax+1，
∵当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，
∴如果a＞0，当x＝1时，函数y取得最小值，
∴，
∴．
∴a的值为；
如果a＜0，则x＝﹣1或x＝3时，函数y取得最小值，
∴a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝，
∴a＝﹣．
综上，a的值为或﹣．
（3）证明：由（2）知：抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a．
∴y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝3a+1，n＝a﹣2a+1＝﹣a+1，p＝m＝3a+1，
∴n﹣m﹣p＝﹣a+1﹣（3a+1）﹣（3a+1）＝﹣7a﹣1．
∵a＜﹣3，
∴﹣7a＞21，
∴﹣7a﹣1＞20．
即：n﹣m﹣p＞20．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法是解题的关键．
19．（2024 拱墅区二模）设二次函数y＝（x﹣a）（x+a﹣2）（a为实数，且a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（2，0），求二次函数表达式．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）．
（3）若该函数图象经过点（3，m），且满足m≥4，求a的值．
【点拨】（1）依据题意，把点（2，0）代入二次函数y＝（x﹣a）（x+a﹣2）得，（2﹣a）（2+a﹣2）＝0，从求出a的值，再代入解析式可以得解；
（2）依据题意，令y＝（x﹣a）（x+a﹣2）＝0，从而可得x＝a或x＝2﹣a．故抛物线的对称轴是直线x＝＝1，结合抛物线开口向上，从而可以求出该函数的最小值为（1﹣a）（1+a﹣2）＝1﹣a2﹣2（1﹣a）＝﹣a2+2a﹣1；
（3）依据题意，当x＝3时，m＝（3﹣a）（1+a）＝3+2a﹣a2＝﹣（a2﹣2a+1）+4＝﹣（a﹣1）2+4，又对于任意的a都有m≤4，结合题意m≥4，进而可得m＝4，最后可以判断得解．
【解析】解：（1）由题意，把点（2，0）代入二次函数y＝（x﹣a）（x+a﹣2）得：
（2﹣a）（2+a﹣2）＝0，
∴a（2﹣a）＝0．
∴a＝0（舍去）或a＝2．
∴二次函数为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x．
（2）由题意，令y＝（x﹣a）（x+a﹣2）＝0，
∴x＝a或x＝2﹣a．
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝1．
∵抛物线开口向上，
∴该函数的最小值为（1﹣a）（1+a﹣2）＝1﹣a2﹣2（1﹣a）＝﹣a2+2a﹣1．
（3）由题意，当x＝3时，
m＝（3﹣a）（1+a）＝3+2a﹣a2＝﹣（a2﹣2a+1）+4＝﹣（a﹣1）2+4．
由对于任意的a都有m≤4，
又m≥4，
∴m＝4，此时a＝1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
20．（2024 拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且5m+5n＜﹣13，请比较p，q的大小，并说明理由．
【点拨】（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），将其代入函数解析式中解得a＝﹣1，则函数解析式为抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，再根据求对称轴的公式即可求解；
②令y＝0，求出抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），由题意可得p＜0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
（2）将点A坐标代入函数解析式，通过t＜0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
【解析】解：（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，0），
∴4a+2（a+2）+2＝0，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣；
②令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），
∵点A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0，
∴点B（m，p）在x轴的下方，
∴m＜﹣2或m＞1．
（2）p＜q，理由如下：
将（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6，
∵t＜0，
∴6a+6＜0，
∴a＜﹣1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝+，
∵a＜﹣1，
∴﹣1＜＜0，
∴﹣+＜，
∵m＜n且5m+5n＜﹣13，
∴＜﹣＜﹣，
∴点B（m，p）到对称轴的距离大于点C（n，q）到对称轴的距离，
∴p＜q．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
21．（2024 瓯海区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）．
（1）若a＜0，当﹣4≤x≤2时，y的最小值为﹣21，y的最大值为4，求a+b的值；
（2）若该二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，3），当m﹣2≤x≤m时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
【点拨】（1）先求出对称轴，再根据图象的性质即可列出方程式；
（2）用待定系数法求出二次函数的表达式，根据m﹣2≤x≤m在对称轴的同侧和异侧进行分类讨论．
【解析】解：（1）∵a＜0，对称轴x＝﹣＝1，﹣4≤x≤2，
∴当x＝﹣4时，y有最小值，
当x＝1时，y有最大值，
即，
解得：，
∴a+b＝﹣1+3＝2；
（2）由题意可知，
，
解得：，
则二次函数的表达式为y＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2，
则对称轴x＝1，顶点坐标为（1，0），
∵m﹣2≤x≤m，
∴①当m﹣2≤x≤m在对称轴的左侧时，即m＜1时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3（m﹣2﹣1）2﹣3（m﹣1）2＝8，
解得：m＝（舍去），
②当m﹣2≤x≤m在对称轴的右侧时，即m＞3时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3（m﹣1）2﹣3（m﹣2﹣1）2＝8，
解得：m＝（舍去），
③当m﹣2≤x≤m在对称轴的两侧时，即1＜m＜3时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3（m﹣2﹣1）2﹣0＝8，或3（m﹣1）2﹣0＝8，
解得：m1＝3﹣，m2＝3+，（舍去），或m3＝1+，m4＝1﹣（舍去），
综上所述，m的值为3﹣或1+．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象的点的坐标特征及二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22．（2024 南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），它的顶点（m，n）在函数y＝x2的图象上．
（1）当n取最小值时，a＝　2　．
（2）用含m的代数式表示a．
（3）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，当y2＜y1＜y3时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【点拨】（1）将顶点（m，n）代入函数y＝x2中，将函数转化为y＝a（x﹣m）2+m2，求出a的最小值；
（2）将（1，2）代入，得出a的代数式；
（3）分开口向上和开口向下进行讨论，分别画出图象得出结论．
【解析】解：（1）∵二次函数的顶点（m，n）在y＝x2上，
∴n＝m2，
∴设二次函数为y＝a（x﹣m）2+m2，
当n取最小值时，m＝0，此时a＝2，
故答案为：2；
（2）∵图象经过点（1，2），
∴2＝a（1﹣m）2+m2，
化简得：a＝（m≠1且m≠）；
（3）①当开口向上时，
2﹣m2＞0，
∴，
∴﹣2＜m＜2，
∴
∵y2＜y1＜y3，
∴|﹣1﹣m|＜m﹣（﹣2）＜2﹣m，
解得：，
∵，
∴；
②当开口向下时，
∴或，
当时，
此时，y1＜y2，不合题意，
当时，
此时，y3＜y2，不合题意，
综上所述：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，正确画出图象是解题的关键．
23．（2024 嘉兴二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）．
①求a的值．
②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2．
【点拨】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），从而4﹣4a﹣3＝﹣3，计算即可得解；
②依据题意，由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，又a＝1＞0，从而可以判断得解；
（2）依据题意，由点A（m，0），B（n，0），可得抛物线的对称轴是直线x＝＝a，故抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3，又C（m+1，p），D（n+1，q），可得p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2，进而可得p+q＝﹣2mn﹣4，再结合A（m，0）在抛物线上，求出mn＝﹣3，最后计算可以得解．
【解析】（1）解：①由题意，∵二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），
∴4﹣4a﹣3＝﹣3．
∴a＝1．
②由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
又a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
（2）证明：由题意，∵点A（m，0），B（n，0），
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝a．
∴抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3．
又C（m+1，p），D（n+1，q），
∴p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2．
∴p+q＝﹣2mn﹣4．
又点A（m，0）在抛物线上，
∴m2﹣（m+n）m﹣3＝0．
∴mn＝﹣3．
∴p+q＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
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