2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题12 反比例函数及其应用（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 反比例函数及其应用
一、选择题
1．（2024 红桥区模拟）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝﹣ C．y＝2x2+x+1 D．y＝﹣
2．（2024 重庆）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（　　）
A．（1，10） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（2，8）
3．（2024 浦东新区模拟）在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y＝ax+b与的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 济宁）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．（2024 安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝2﹣x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（2024 河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　）
A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
7．（2024 金华三模）如图，一次函数y1＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3）和点B（3，﹣1）．当y1＞y2时，x的取值范围为（　　）
A．x＜﹣1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．x＜﹣1或0＜x＜3
8．（2024 杭州四模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（2024 新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y＝的图象上任取点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024 牡丹江）矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024 越秀区校级二模）已知：是反比例函数，则m＝　 　．
12．（2024 连云港）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 　 　．
13．（2024 遂宁）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 　 　象限．
14．（2024 包头）若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝　 　．
15．（2024 陕西）已知点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上．若0＜m＜1，则y1+y2　 　0．（填“＞”“＝”或“＜”）
16．（2024 广州）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③A'E的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 　 　．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
17．（2024 贵州）已知点（1，3）在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点（﹣3，a），（1，b），（3，c）都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
18．（2024 湖州一模）已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，函数图象如图所示．
（1）求I关于R的函数表达式．
（2）若要求电流I不超过4A，则该可变电阻R应控制在什么范围？
19．（2024 滨江区二模）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．若函数y和函数y2的图象交于点A（2，n+1），点B（4，n﹣2）．
（1）求点A，B的坐标．
（2）求函数y1，y2的表达式．
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
20．（2024 长兴县模拟）一次函数y1＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（2，m）与点B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点C在一次函数y1＝kx+b的图象上，将点C向右平移4个单位长度得到点D，若点D恰好落在反比例函数的图象上，求点C的坐标．
21．（2024 萧山区一模）根据以下素材，探索完成任务．
探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？
素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等．
素材2 重力＝质量×重力系数；密度＝，压强＝． 铁的密度为7.8×103kg/m3，重力系数g≈10N/kg．
素材3 假设桌面所能承受的最大压强为104Pa． 长方体铁块的长、宽、高分别为50cm，20cm，10cm．
问题解决
任务1 求铁块的重力为多少N？
任务2 直接写出铁块对桌面的压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式．
任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？
22．（2025 潍坊模拟）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点．
（1）①求一次函数和反比例函数的表达式；②求△AOB的面积．
（2）在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2024 义乌市模拟）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由．
答案与解析
一、选择题
1．（2024 红桥区模拟）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝﹣ C．y＝2x2+x+1 D．y＝﹣
【点拨】形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，由此判断即可．
【解析】解：A、y＝2x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y＝2x2+x+1是二次函数，故此选项不符合题意；
D、是反比例函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
2．（2024 重庆）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（　　）
A．（1，10） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（2，8）
【点拨】将选项中x的值代入反比例函数中，得到y的值，即可求解．
【解析】解：当x＝1时，y＝﹣10，
∴图象不经过（1，10），故A选项错误；
当x＝﹣2时，y＝5，
∴图象经过（﹣2，5），故B选项正确；
当x＝2时，y＝﹣5，
∴图象不经过（2，5），（2，8），故C选项、D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数上的点，只需要将x的值代入函数中即可．
3．（2024 浦东新区模拟）在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y＝ax+b与的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解析】解：∵ab＜0，
①若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限，
②若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限，
只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象．
4．（2024 济宁）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可．
【解析】解：在反比例函数y＝中k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵C（3，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∵﹣2＜﹣1，
∴0＜y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．
5．（2024 安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝2﹣x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【点拨】将x＝3代入一次函数中，求得y＝﹣1，再将（3，﹣1）代入反比例函数中，求得k的值．
【解析】解：将x＝3代入y＝2﹣x中，
得：y＝﹣1，
将（3，﹣1）代入y＝中，
得：k＝﹣3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将交点横坐标代入解析式中是解题的关键．
6．（2024 河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　）
A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
【点拨】根据题意列出反比例函数，然后逐项计算判断即可．
【解析】解：由题意得，；
A、若x＝5，则y＝＝100，正确，故此选项不符合题意；
B、若y＝125，则，解得x＝4，正确，故此选项不符合题意；
C、若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意；
D、若x减小一半，即y'＝，所以y增大一倍，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题的关键．
7．（2024 金华三模）如图，一次函数y1＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3）和点B（3，﹣1）．当y1＞y2时，x的取值范围为（　　）
A．x＜﹣1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．x＜﹣1或0＜x＜3
【点拨】把点B（3，﹣1）代入反比例函数中，求出k＝﹣3，进而求出A（﹣1，3）即可解答．
【解析】解：B（3，﹣1）代入反比例函数中，
得＝﹣1，
∴k＝﹣3，
把A（a，3）代入y＝﹣中得a＝﹣1，
∴当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
故选：D．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法与数形结合思想是解题的关键．
8．（2024 杭州四模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【点拨】根据题意可知xy的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同．
【解析】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
9．（2024 新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y＝的图象上任取点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可．
【解析】解：如图，作BE⊥x轴，垂足为E，
①根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项正确；
②∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
在△OBE和△OAC中，
，
∴△OBE≌△OAC（AAS），
∴OE＝OC，
∵EB∥y轴，
∴△OCD∽△ECB，
∵OE＝OC，
∴＝，
∴D是CB的中点，
∴OD是△BCE的中位线，故选项正确；
③在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项错误；
④S△BOD＝S△BOC＝S△AOC＝＝，故S△BOD＝正确；
其中正确结论的是①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
10．（2024 牡丹江）矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，设，由△OME∽△OCA，可得，再S矩形OBAC＝S△OBD+S△OCF+S四边形ODAF，列方程，即可得出k的值．
【解析】解：过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，
∴△OME∽△OCA，
∴，
设，
∵OE＝2AE，
∴，
∴，
∴，
即，解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．
二、填空题
11．（2024 越秀区校级二模）已知：是反比例函数，则m＝　﹣2　．
【点拨】根据反比例函数的定义．即y＝（k≠0），只需令m2﹣5＝﹣1、m﹣2≠0即可．
【解析】解：因为是反比例函数，
所以x的指数m2﹣5＝﹣1，
即m2＝4，解得：m＝2或﹣2；
又m﹣2≠0，
所以m≠2，即m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
12．（2024 连云港）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 　　．
【点拨】根据l F＝1600×0.5进行求解即可．
【解析】解：∵l F＝1600×0.5，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，掌握杠杆原理是解题的关键．
13．（2024 遂宁）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 　四　象限．
【点拨】根据所给反比例函数图象在第一、三象限，得出k的取值范围，进而可解决问题．
【解析】解：因为反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
所以k﹣1＞0，
解得k＞1，
所以点（k，﹣3）在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】本题考查反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象和性质及每个象限内点的坐标特征是解题的关键．
14．（2024 包头）若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝　　．
【点拨】根据反比例函数性质分别求出a、b值，代入计算即可．
【解析】解：∵反比例函数y1＝，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，
∴y随x增大而减小，当x＝1时，函数最大值a＝2，
∵反比例函数y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，
∴y随x增大而增大，当x＝3时，函数最大值b＝﹣1，
∴ab＝2﹣1＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
15．（2024 陕西）已知点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上．若0＜m＜1，则y1+y2　＜　0．（填“＞”“＝”或“＜”）
【点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征得y1＝，y2＝﹣，再根据0＜m＜1，得y2＜﹣5，即可得出y1+y2＜﹣5＝﹣＜0．
【解析】解：∵点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝，y2＝﹣，
∵0＜m＜1，
∴y2＜﹣5，
∴y1+y2＜﹣5＝﹣＜0，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和不等式的性质，解题的关键在于熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征与性质．
16．（2024 广州）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③A'E的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 　①②④　．（填写所有正确结论的序号）
【点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数k值几何意义判断②，根据矩形性质判断③④即可．
【解析】解：①∵A（1，0），C（0，2），
∴B（1，2），
∵矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2，故①正确；
②∵点B、点D在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOB＝S△AOD＝，
∴S△OBM＝S梯形AMDA′，
∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正确；
③根据矩形对角线相等，A'E＝OD，根据双曲线的轴对称性，可知当点D落在直线y＝x与双曲线y＝的交点（，）时，OD最短，最短为2，所以A'E的最小值为2，故③错误．
④向右平移的过程中角B′BD与角BB′O变化相同，这两个角刚好是矩形BB′ND的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确．
故正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化，熟练掌握平移性质是关键．
三、解答题
17．（2024 贵州）已知点（1，3）在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点（﹣3，a），（1，b），（3，c）都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
【点拨】（1）将点（1，3）代入，求得k的值，即可求出反比例函数表达式；
（2）结合图象，判定a，b，c的大小或者将点（﹣3，a），（1，b），（3，c）代入函数中，求出a，b，c的值进行比较．
【解析】解：（1）将点（1，3）代入，
得：k＝3，
∴；
（2）方法一：由图象得：b＞c＞a；
方法二：将点（﹣3，a），（1，b），（3，c）代入，
得：a＝﹣1，b＝3，c＝1，
∴b＞c＞a．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数图象上点的特征，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
18．（2024 湖州一模）已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，函数图象如图所示．
（1）求I关于R的函数表达式．
（2）若要求电流I不超过4A，则该可变电阻R应控制在什么范围？
【点拨】（1）设I＝，代入数据求解即可；
（2）由题意列出不等式，≤10，计算即可．
【解析】解：（1）设I＝，
图象经过（8，3），
k＝3×8＝24，
∴I＝；
（3）∵I≤4，I＝，
∴≤4
∴R≥6．
∴用电器可变电阻应控制在6Ω以上．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
19．（2024 滨江区二模）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．若函数y和函数y2的图象交于点A（2，n+1），点B（4，n﹣2）．
（1）求点A，B的坐标．
（2）求函数y1，y2的表达式．
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
【点拨】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出2（n+1）＝4（n﹣2），算出n＝5．可得A、B两点坐标；
（2）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（3）画出图象，根据图象直接写出不等式的解集即可．
【解析】解：（1）点A（2，n+1），点B（4，n﹣2）在反比例函数图象上，
∴2（n+1）＝4（n﹣2），解得n＝5，
∴A（2，6），B（4，3），
（2）∵点A（2，6）在反比例函数图象上，
∴k1＝12，
∴反比例函数解析式为y1＝，
∵A（2，6），B（4，3）在函数y2＝k2x+b图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y2＝﹣+9．
（3）如图，当y1＞y2时，x的取值范围为0＜x＜2或x＞4．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
20．（2024 长兴县模拟）一次函数y1＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（2，m）与点B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点C在一次函数y1＝kx+b的图象上，将点C向右平移4个单位长度得到点D，若点D恰好落在反比例函数的图象上，求点C的坐标．
【点拨】（1）待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据平移特征得到D（m+4，m+2），利用反比例函数图象上点的坐标特征解出m值即可得到点C坐标．
【解析】解：（1）点A（2，m）与点B（n，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴8＝2m＝﹣2n，
∴m＝4，n＝﹣4，
∴A（2，4），B（﹣4，﹣2），
∵A（2，4），B（﹣4，﹣2）在直线y1＝kx+b图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）设点C坐标为（m，m+2），向右平移4个单位后坐标为D（m+4，m+2），
∵点D落在反比例函数的图象上，
∴（m+4）（m+2）＝8，即m2+6m＝0，
解得m＝0或m＝﹣6，
∴点C（0，2）或（﹣6，﹣4）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数解析式是关键．
21．（2024 萧山区一模）根据以下素材，探索完成任务．
探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？
素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等．
素材2 重力＝质量×重力系数；密度＝，压强＝． 铁的密度为7.8×103kg/m3，重力系数g≈10N/kg．
素材3 假设桌面所能承受的最大压强为104Pa． 长方体铁块的长、宽、高分别为50cm，20cm，10cm．
问题解决
任务1 求铁块的重力为多少N？
任务2 直接写出铁块对桌面的压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式．
任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？
【点拨】任务1：根据题目提供的公式和数据计算即可；
任务2：根据题意写出铁块对桌面的压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式即可；
任务3：根据铁块的三种放置方法，分别计算受到的压强和桌面承受最大压强104Pa比较说明即可．
【解析】解：任务1：长方体铁块的体积：50cm×20cm×10cm＝10000cm3＝10000×10﹣6m3＝0.01m3，
长方体铁块的质量：7.8×103kg/m3×0.01m3＝78kg，
∴长方体铁块的重力：78kg×10N/kg＝780N．
任务2：根据题意，铁块对桌面的压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式为：P＝．
任务3：桌面的受力面积为：长方体铁块的长、宽、高分别为50cm，20cm，10cm．
①50cm×20cm＝1000cm2＝0.1m2，
P＝＝7800Pa＜104Pa，桌面可以承受；
②20cm×10cm＝200cm2＝0.02m2，
P＝＝3.9×104＞104，桌面不能承受；
③50cm×10cm＝500cm2＝0.05m2，
P＝＝1.56×104＞104.桌面不能承受；
综上分析，当受力面积最大时，桌面可以承受780N压力，其他两种放置方法桌面承受不了780N的压力．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解公式的意义及单位换算是解答本题的关键．
22．（2025 潍坊模拟）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点．
（1）①求一次函数和反比例函数的表达式；②求△AOB的面积．
（2）在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）①将B（2，﹣6）代入y＝ 可求得反比例函数的表达式为：y＝ ；进一步可得A（﹣3，4）；将A（﹣3，4）、B（2，﹣6）代入y＝ax+b即可求解；②设一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点C，可求得C（﹣1，0），根据S△AOB＝S△AOC+S△COB即可求解；
（2）设点P（p，0）（p＜0），分类讨论①PA＝PO，②AP＝AO，③OP＝OA，三种情况即可求解；
【解析】解：（1）①已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点，将点B的坐标代入y＝ 得：
﹣6＝ ，
解得：k＝﹣12；
∴反比例函数的表达式为y＝ ；
将点A的坐标代入y＝ 得：
，
∴A（﹣3，4）；
将点A，点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x﹣2
②设一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点C，如图：
由0＝﹣2x﹣2得x＝﹣1；
∴C（﹣1，0），
∴；
（2）在x轴的负半轴上，存在点P，使得△PAO为等腰三角形；理由如下：
设点P（p，0）（p＜0），
①PA＝PO，则，
解得：；
②AP＝AO，则，
解得：p＝﹣6或p＝0（不合题意，舍去）；
③OP＝OA，则，
解得：p＝﹣5；
综上所述，在x轴的负半轴上，存在点P，使得△PAO为等腰三角形；点P的坐标为或（﹣6，0）或（﹣5，0）．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
23．（2024 义乌市模拟）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由．
【点拨】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小，即可求解．
【解析】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝﹣1×3＝﹣3，
则反比例函数的表达式为：y＝﹣，
将点B的坐标代入上式得：b＝﹣＝﹣1，
即点B的坐标为：（3，﹣1），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞3或﹣1＜x＜0；
（3）存在，理由：
由直线AB的表达式知点C（0，2），
∵，则OD＝3，
则点D（0，﹣3），
作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小，
理由：GD+GB＝GD+GN＝ND为最小，
由点D、N的坐标得，直线DN的表达式为：y＝x﹣3，
令y＝0，则x＝，
即点G（，0）．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到求函数表达式、线段和最小值的确定等，有一定的综合性，难度适中．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)