2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷(含详解)

2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列等式中，p，q两个量成反比例关系的是（　　）
A．p+q＝0 B．pq＝﹣1 C．p＝2q D．p＝q2
2．（2分）如图，从点D观测点E的俯角是（　　）
A．∠EDB B．∠CED C．∠CDB D．∠CDE
3．（2分）抛物线y＝﹣2x2+mx﹣5的对称轴是x＝1，则m＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
4．（2分）如图，在△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2分）夕夕用软件绘制抛物线y＝4x2时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（　　）
A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标
6．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC＝（　　）
A．3 B．5 C．6 D．9
7．（2分）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2
8．（2分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件，仍不能使△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
9．（2分）若关于x的一元二次方程4x2﹣6x+m＝0没有实数根，则m的最小整数值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为6cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长是（　　）
A．12 B．18 C．24 D．36
11．（2分）一个矩形周长为64cm，不能围成的面积是（　　）
A．220cm2 B．240cm2 C．256cm2 D．320cm2
12．（2分）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，又是等边△DEF的外接圆，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4个小题，共14分.13～14题各3分，15～16题每空2分.）
13．（3分）tan45°＝　 　．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，则∠C＝　 　．
15．（4分）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则：
（1）　 　；
（2）AE＝　 　．
16．（4分）如图，点A（3，4）在反比例函数L：的图象上，点B（3，1），以点O为位似中心，在AB的右侧方将线段AB放大为原来的n倍得到线段A1B1（n＞1）．
（1）k＝　 　；
（2）若线段A1B1与L总有交点，则n的最大值为　 　．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求k的值；
（2）若k＝0，解此方程．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，，.求BC的长．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．
20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝360cm，AB＝180cm，球目前在点E位置处，BE＝120cm．若瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹进底袋D处．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
21．（7分）如图，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在矩形OABC的内部，直接写出点P的横坐标m的取值范围．
22．（8分）如图，遮阳伞的截面示意图为轴对称图形，支撑杆AB垂直于地面，通过调节点E的高度控制遮阳伞的开合，已知AC＝AD＝2m，AB⊥CD于点E．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
（1）若∠DAE＝75°，求遮阳宽度CD；
（2）若将∠DAE由75°减到60°，求点E下降的高度．
23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若L经过点（1，2），求L的解析式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；
（3）当x≤0时，若L的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
24．（10分）如图，在 ABCD中，BC＝8，点E是BC的中点，过点E在BC上方作，且与CD相切于点C，其圆心为O，连接OC，OE．发现随着∠B的变化，所在圆的大小及其圆心O的位置也随之变化，设∠B＝α．
（1）如图1，当α＝54°时，求∠OEC的度数；
（2）如图2，点O在BC下方，EO∥CD．求的长；
（3）若点O在∠ABC内部（角的边为射线，不含边界），直接写出α的取值范围．
2024-2025学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C A B C A D B A D
题号 12
答案 C
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列等式中，p，q两个量成反比例关系的是（　　）
A．p+q＝0 B．pq＝﹣1 C．p＝2q D．p＝q2
【解答】解：根据两个量的乘积为定值时，两个量成反比例关系，进行判断如下：
A、p+q＝0，p，q两个量和为定值，不是反比例关系，不符合题意；
B、pq＝﹣1，p，q两个量积为定值，是反比例关系，符合题意；
C、p＝2q，p，q两个量积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
D、p＝q2，p，q两个量积不是定值，不是反比例关系，不符合题意．
故选：B．
2．（2分）如图，从点D观测点E的俯角是（　　）
A．∠EDB B．∠CED C．∠CDB D．∠CDE
【解答】解：根据“俯角是向下看的视线与水平线的夹角”可知：从点D观测点E的俯角是∠CDE，
故选：D．
3．（2分）抛物线y＝﹣2x2+mx﹣5的对称轴是x＝1，则m＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+mx﹣5的对称轴是直线x＝1，
∴1，即，
解得：m＝4，
故选：C．
4．（2分）如图，在△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得：
∴，
故选：A．
5．（2分）夕夕用软件绘制抛物线y＝4x2时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（　　）
A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标
【解答】解：和原图象相比，发生改变的是开口大小，
故选：B．
6．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC＝（　　）
A．3 B．5 C．6 D．9
【解答】解：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，
∴AD∥EF∥BC，
∴，
∵AE：BE＝1：2，DF＝3，
∴，
∴FC＝6，
故选：C．
7．（2分）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2
【解答】解：∵在函数中，k＝2＞0，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2，
∴点A（x1，y1）在第三象限，点B（x2，y2）在第一象限，
∴y1＜y2；
故选：A．
8．（2分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件，仍不能使△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
A、若∠B＝∠D，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定A不符合题意；
B、若∠C＝∠E，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定B不符合题意；
C、若，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定C不符合题意；
D、若，无夹角相等，故不能判定△ABC∽△ADE，D符合题意；
故选：D．
9．（2分）若关于x的一元二次方程4x2﹣6x+m＝0没有实数根，则m的最小整数值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意可知：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4m＜0，
解得．
∴k最小整数＝3．
故选：B．
10．（2分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为6cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长是（　　）
A．12 B．18 C．24 D．36
【解答】解：设半圆形铁皮的半径为rcm，
根据题意得：，
解得：r＝12，
故选：A．
11．（2分）一个矩形周长为64cm，不能围成的面积是（　　）
A．220cm2 B．240cm2 C．256cm2 D．320cm2
【解答】解：设矩形的宽为x cm，设面积为y cm2，
∵矩形周长为64cm，
∴矩形的长为，
根据题意，得
＝﹣x2+32x
＝﹣（x﹣16）2+256，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口方向向下，
∴当x＝16时，y有最大值为256，
即矩形的面积最大值为256cm2，
观察四个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
12．（2分）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，又是等边△DEF的外接圆，则等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设⊙O与BC边相切于M点，连接OM，OM与EF交于N点，如图所示
根据切线的性质定理可知OM⊥BC，
由垂径定理可知ON⊥EF
∵△DEF∽△ABC
∴
而OM＝OF，
∴
又∵△ABC与△DEF都是正三角形，O为三角形的内心
∴∠OFN＝30°
即
于是可知
故选：C．
二、填空题（本大题有4个小题，共14分.13～14题各3分，15～16题每空2分.）
13．（3分）tan45°＝　1　．
【解答】解：tan45°＝1，
故答案为：1．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，则∠C＝　90°　．
【解答】解：AB是⊙O的直径，点C在圆上，
∴∠C＝90°，
故答案为：90°．
15．（4分）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则：
（1）　　；
（2）AE＝　　．
【解答】解：（1）由条件可知∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由勾股定理得，，
∵△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（4分）如图，点A（3，4）在反比例函数L：的图象上，点B（3，1），以点O为位似中心，在AB的右侧方将线段AB放大为原来的n倍得到线段A1B1（n＞1）．
（1）k＝　12　；
（2）若线段A1B1与L总有交点，则n的最大值为　2　．
【解答】解：（1）∵点A（3，4）在反比例函数的图象上，
∴，
∴k＝12，
故答案为：12；
（2）根据题意得B1的坐标为（3n，n），
由线段A1B1与L总有交点知，
解得n＝2或n＝﹣2（舍），
∴n的最大值为2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求k的值；
（2）若k＝0，解此方程．
【解答】解：（1）由条件可知（﹣1）2+2×（﹣1）+k＝0，
解得：k＝1；
（2）若k＝0，则x2+2x＝0，
因式分解可得x（x+2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，，.求BC的长．
【解答】解：由题意可得：，
∴．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．
【解答】（1）解：如图，AD即为所求．
（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∴DE为⊙D的半径，
∴AB与⊙D相切．
20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝360cm，AB＝180cm，球目前在点E位置处，BE＝120cm．若瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹进底袋D处．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
【解答】（1）证明：由条件可知∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
由题得，∠EFG＝∠DFG，
∴∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵△BEF∽△CDF，
∴，即，
解得：CF＝216cm，经检验符合题意；
∴CF的长为216cm．
21．（7分）如图，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在矩形OABC的内部，直接写出点P的横坐标m的取值范围．
【解答】解：（1）∵与AB交于点D（4，1），
∴，
∴k＝4，
∴，
∵D（4，1），
∴A（4，0），
又点D为AB的中点，
∴B（4，2），
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥AO，BA⊥OA，
∵B（4，2），
∴设E（m，2），
又点E在的图象上，
∴，
∴m＝2，
∴点E的坐标（2，2）；
（2）∵E（2，2），D（4，1），且点P在该反比例函数图象上，且在矩形OABC的内部，
∴2＜m＜4．
22．（8分）如图，遮阳伞的截面示意图为轴对称图形，支撑杆AB垂直于地面，通过调节点E的高度控制遮阳伞的开合，已知AC＝AD＝2m，AB⊥CD于点E．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
（1）若∠DAE＝75°，求遮阳宽度CD；
（2）若将∠DAE由75°减到60°，求点E下降的高度．
【解答】解：（1）∵，
∴DE＝AD sin∠DAE＝1.94（m），
∵AC＝AD，
∴CD＝2DE＝3.88（m），
∴遮阳宽度CD为3.88m．
（2）∵，
当∠DAE＝75°时，AE＝AD cos∠DAE＝2×0.26＝0.52（m），
当∠DAE＝60°时，AE＝AD cos∠DAE＝2×0.5＝1（m），
∴1﹣0.52＝0.48（m），
∴点E下降的高度为0.48m．
23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若L经过点（1，2），求L的解析式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；
（3）当x≤0时，若L的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
【解答】解：（1）令x＝0，则 y＝﹣1，
∴点A的坐标：（0，﹣1）；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1得，
2＝12﹣2a﹣1，
解得：a＝﹣1，
∴y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∵1＞0，
∴当 x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴x的取值范围为x＞﹣1；
（3）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），
当a＞0，那么对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），
∴2a﹣（﹣1）＝2，
解得：a；
当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）是最低点，
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，
解得：，（舍），
综上所述，a的值为或﹣1．
24．（10分）如图，在 ABCD中，BC＝8，点E是BC的中点，过点E在BC上方作，且与CD相切于点C，其圆心为O，连接OC，OE．发现随着∠B的变化，所在圆的大小及其圆心O的位置也随之变化，设∠B＝α．
（1）如图1，当α＝54°时，求∠OEC的度数；
（2）如图2，点O在BC下方，EO∥CD．求的长；
（3）若点O在∠ABC内部（角的边为射线，不含边界），直接写出α的取值范围．
【解答】解：（ 1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝α＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝126°，
∵CD与相切，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCE＝∠BCD﹣∠OCD＝126°﹣90°＝36°，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE＝36°；
（2）∵⊙O与CD相切于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°．
∵EO∥CD，
∴∠COE＝180°﹣∠OCD＝90°．
∵BC＝8，点E为BC的中点，
∴EC4，
∵OE2+OC2＝EC2，OE＝OC，
∴，
∴的长为．
（3）尝试：∵OC⊥CD，AB∥CD，
∴OC⊥AB．
当点O在BC上时，BC⊥AB，即α＝90°．
当点O在射线BA上时，如图，
∵∠BOC＝90°，即△BCO是直角三角形．
∵E为BC的中点，
∴OE＝BE＝EC．
∵OC＝OE，
∴OE＝OC＝EC，
∴∠OCB＝60°，
∴∠B＝30°，即α＝30°，
∴α的取值范围为30°＜α＜＜90°．
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