第九章 平面直角坐标系
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024六盘水二模)用(1,-2)可大致表示图中的( C )
A.点E B.点F C.点G D.点H
2.(2024龙岩期中)在平面直角坐标系中,若将原图形上的每个点的纵坐标都加2,横坐标保持不变,则所得图形的位置与原图形相比( C )
A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度
C.向上平移2个单位长度 D.向下平移2个单位长度
3.(2024遵义期末)已知点M是线段AB的中点,点A的坐标为(2,6),点M的坐标为(2,2),则点B的坐标为( B )
A.(2,4) B.(2,-2) C.(2,10) D.(2,0)
4.在平面直角坐标系中,对于P(3,4),下列说法错误的是(D)
A.P(3,4)表示这个点在平面内的位置
B.点P的纵坐标是4
C.点P到x轴的距离是4
D.(3,4)与(4,3)表示同一个点
5.(2024厦门期末)如图,W对应的有序实数对为(2,4),有一个英文单词的字母,按顺序对应图中的有序实数对分别为(1,2),
(1,3),(2,3),(5,1),则这个英文单词为( C )
A.BERO B.HOLD C.HOPE D.HERO
6.如图是一片枫叶标本,其形状呈“掌状五裂形”,裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中,表示叶片“顶部”A,B两点的坐标分别为(-2,2),(-3,0),则表示叶杆“底部”点C的坐标为( B )
A.(2,-2) B.(2,-3) C.(3,-2) D.(3,-3)
7.在平面直角坐标系中,三角形ABC的各顶点坐标分别为A(4,3),
B(-1,-1),C(m-1,-1),将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′,点A′落在点B处,点C′的坐标为(6-m,1-m),则BC的长是(C)
A.4 B.5 C.6 D.7
8.小青同学乘坐一艘游船出海游玩,游船上的雷达扫描探测得到的结果如图,每相邻两个圆之间的距离是1 km(小圆半径是1 km),小艇C在游船的正南方2 km处,则下列关于小艇A,B的位置描述,正确的是(D)
A.小艇A在游船的北偏东60°,距游船3 km处
B.游船在小艇A的北偏东60°,距小艇A 3 km处
C.小艇B在游船的北偏西30°,距游船2 km处
D.小艇B在游船的北偏西60°,距游船2 km处
9.将下列各点用线段依次连接起来后,所成的图形是(D)
(-1,0),(-0.5,2),(-1,2),(-1,3.5),(-0.25,3.5),(-0.25,4),
(-0.5,4),(-0.5,5),(0.5,5),(0.5,4),(0.25,4),(0.25,3.5),
(1,3.5),(1,2),(0.5,2),(1,0),(0.5,0),(0,1),(-0.5,0),(-1,0).
A.一个五角星 B.一棵树
C.一辆小汽车 D.一个机器人
10.(2024河北)平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移),每次平移1个单位长度.
例如:“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后,到达点P3(2,2),其平移过程如下:P(2,1)余0P1(3,1)余1P2(3,2)余2P3(2,2).
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点Q16(-1,9),则点Q的坐标为( D )
A.(6,1)或(7,1) B.(15,-7)或(8,0)
C.(6,0)或(8,0) D.(5,1)或(7,1)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2024宿迁)点P(a2+1,-3)在第 四 象限.
12.(2023绵阳)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到点B(a,b),则a+b= 0 .
13.如图,四边形ABCD是长方形,AB=3,AD=4.已知点A的坐标为(-,-1),则点C的坐标是 (,3) .
14.在平面直角坐标系中,已知直线l与坐标轴交于A,B(0,-5)两点,且直线l与坐标轴围成的图形面积为10,则点A的坐标为 (4,0)或(-4,0) .
15.在平面直角坐标系中,已知点A(-5,0),B(5,0),点C在x轴上,且AC+BC=12,则满足条件的点C的坐标为 (6,0)或(-6,0) .
16.(2024山东)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中,将点(x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中x,y均为正整数.例如,点(6,3)经过第1次运算得到点(3,10),经过第2次运算得到点(10,5),以此类推.则点(1,4)经过2 024次运算后得到点 (2,1) .
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图,将选取的诗句整齐地排列在平面直角坐标系中,“浪”的坐标是(1,1).
(1)“曲”和“酥”的坐标依次是 和 .
(2)将第2行与第3行对调,再将第4列与第7列对调,“河”由开始的坐标最终变换为 .
(3)“雨”开始的坐标是 ,使它的坐标变换到(5,3),应该将哪两行对调,再将哪两列对调
解:(1)(2,2) (7,4)
(2)(7,3)
(3)“雨”开始的坐标是(4,4),使它的坐标变换到(5,3),应该将第4行与第3行对调,再将第4列与第5列对调.
18.(8分)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),则称点Q是点P的“a阶派生点”(其中a为常数,且a≠0).例如:点P(1,4)的“2阶派生点”为点Q(2×1+4,1+2×4),即点Q的坐标为(6,9).
(1)若点P的坐标为(-1,5),求它的“3阶派生点”的坐标;
(2)若点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点P1,点P1的“-3阶派生点”P2位于坐标轴上,求点P2的
坐标.
解:(1)∵3×(-1)+5=2,-1+3×5=14,
∴点P(-1,5)的“3阶派生点”的坐标为(2,14).
(2)∵点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点P1,
∴P1(c-1,2c),
∴P1的“-3阶派生点”P2的坐标为(-3(c-1)+2c,c-1-6c),即(-c+3,
-5c-1).
∵点P2在坐标轴上,∴-c+3=0或-5c-1=0,
∴c=3或c=-,
∴P2(0,-16)或P2(,0).
19.(8分)已知点P(2a-2,a+5),解答下列各题:
(1)若点P在y轴上,求点P的坐标;
(2)若点Q的坐标为(4,5),直线PQ∥x轴,求点P的坐标;
(3)若点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,求a2 025+的值.
解:(1)∵点P在y轴上,
∴2a-2=0,
∴a=1,∴a+5=6,
∴点P的坐标为(0,6).
(2)∵点Q的坐标为(4,5),直线PQ∥x轴,
∴a+5=5,∴a=0,∴2a-2=-2,
∴点P的坐标为(-2,5).
(3)∵点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,
∴2a-2=-(a+5),∴2a-2+a+5=0,∴a=-1,
∴a2 025+=(-1)2 025-1=-1-1=-2.
20.(9分)园林部门为了对某旅游景区内的古树进行系统养护,建立了相关的地理信息系统,其中重要的一项工作就是要确定这些古树的位置.已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵(S1,S2,S3,S4),古槐树6棵(H1,H2,H3,H4,H5,H6).为了加强对这些古树的保护,园林部门根据该旅游景区地图,将4棵古松树的位置用坐标表示为S1(2,8)
,S2(4,9),S3(10,5),S4(11,10).
(1)请在图中画出平面直角坐标系;
(2)依据所建立的平面直角坐标系,写出6棵古槐树的坐标;
(3)已知H5在S1的南偏东41°,且相距5.4米处,试用方位角和距离描述S1相对于H5的位置.
解:(1)平面直角坐标系如图.
(2)6棵古槐树的坐标分别为H1(3,5),H2(1,3),H3(7,5),H4(8,6),
H5(8,1),H6(12,7).
(3)∵H5在S1的南偏东41°,且相距5.4米处,
∴S1在H5的北偏西41°,且相距5.4米处.
21.(10分)如图①,在平面直角坐标系xOy中,已知点B(1,0),点C(5,0),点M(-5,0),点N(0,5),以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD.
(1)点A的坐标为 ;点D的坐标为 .
(2)将正方形ABCD向左平移m个单位长度,得到正方形A′B′C′D′,记正方形A′B′C′D′与△OMN重叠的区域(不含边界)为W:
①如图②,当m=3时,区域内整点(横、纵坐标都是整数)的个数为 ;
②若区域W内恰好有3个整点,求出m的取值范围.
① ②
解:(1)(1,4) (5,4)
(2)①3
②在△OMN中共有6个整点,分别是(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-2,1),(-2,2),(-3,1).
∵区域W内恰好有3个整点,
∴222.(11分)如图,已知点A(1,0),点B在y轴上,将△OAB沿x轴负方向平移,平移后的图形为△DEC,且点C的坐标为(-3,2).
(1)直接写出点E的坐标 .
(2)在四边形ABCD中,点P从点B出发,沿“B→C→D”移动.若点P的速度为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,回答下列问题:
①当t= 时,点P的横坐标与纵坐标互为相反数.
②求点P在运动过程中的坐标(用含t的式子表示).
③当3理由.
解:(1)(-2,0)
(2)①2
②当点P在线段BC上时,点P的坐标为(-t,2);
当点P在线段CD上时,点P的坐标为(-3,5-t).
③能.当3如图,过点P作PF∥BC交AB于点F,
则PF∥AD,
∴∠1=∠CBP=x°,∠2=∠PAD=y°,
∴∠BPA=∠1+∠2=x°+y°=z°,
∴z=x+y.第九章 平面直角坐标系
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024六盘水二模)用(1,-2)可大致表示图中的( )
A.点E B.点F C.点G D.点H
2.(2024龙岩期中)在平面直角坐标系中,若将原图形上的每个点的纵坐标都加2,横坐标保持不变,则所得图形的位置与原图形相比( )
A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度
C.向上平移2个单位长度 D.向下平移2个单位长度
3.(2024遵义期末)已知点M是线段AB的中点,点A的坐标为(2,6),点M的坐标为(2,2),则点B的坐标为( )
A.(2,4) B.(2,-2) C.(2,10) D.(2,0)
4.在平面直角坐标系中,对于P(3,4),下列说法错误的是( )
A.P(3,4)表示这个点在平面内的位置
B.点P的纵坐标是4
C.点P到x轴的距离是4
D.(3,4)与(4,3)表示同一个点
5.(2024厦门期末)如图,W对应的有序实数对为(2,4),有一个英文单词的字母,按顺序对应图中的有序实数对分别为(1,2),
(1,3),(2,3),(5,1),则这个英文单词为( )
A.BERO B.HOLD C.HOPE D.HERO
6.如图是一片枫叶标本,其形状呈“掌状五裂形”,裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中,表示叶片“顶部”A,B两点的坐标分别为(-2,2),(-3,0),则表示叶杆“底部”点C的坐标为( )
A.(2,-2) B.(2,-3) C.(3,-2) D.(3,-3)
7.在平面直角坐标系中,三角形ABC的各顶点坐标分别为A(4,3),
B(-1,-1),C(m-1,-1),将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′,点A′落在点B处,点C′的坐标为(6-m,1-m),则BC的长是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8.小青同学乘坐一艘游船出海游玩,游船上的雷达扫描探测得到的结果如图,每相邻两个圆之间的距离是1 km(小圆半径是1 km),小艇C在游船的正南方2 km处,则下列关于小艇A,B的位置描述,正确的是( )
A.小艇A在游船的北偏东60°,距游船3 km处
B.游船在小艇A的北偏东60°,距小艇A 3 km处
C.小艇B在游船的北偏西30°,距游船2 km处
D.小艇B在游船的北偏西60°,距游船2 km处
9.将下列各点用线段依次连接起来后,所成的图形是( )
(-1,0),(-0.5,2),(-1,2),(-1,3.5),(-0.25,3.5),(-0.25,4),
(-0.5,4),(-0.5,5),(0.5,5),(0.5,4),(0.25,4),(0.25,3.5),
(1,3.5),(1,2),(0.5,2),(1,0),(0.5,0),(0,1),(-0.5,0),(-1,0).
A.一个五角星 B.一棵树
C.一辆小汽车 D.一个机器人
10.(2024河北)平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移),每次平移1个单位长度.
例如:“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后,到达点P3(2,2),其平移过程如下:P(2,1)余0P1(3,1)余1P2(3,2)余2P3(2,2).
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点Q16(-1,9),则点Q的坐标为( )
A.(6,1)或(7,1) B.(15,-7)或(8,0)
C.(6,0)或(8,0) D.(5,1)或(7,1)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2024宿迁)点P(a2+1,-3)在第 象限.
12.(2023绵阳)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到点B(a,b),则a+b= .
13.如图,四边形ABCD是长方形,AB=3,AD=4.已知点A的坐标为(-,-1),则点C的坐标是 .
14.在平面直角坐标系中,已知直线l与坐标轴交于A,B(0,-5)两点,且直线l与坐标轴围成的图形面积为10,则点A的坐标为 .
15.在平面直角坐标系中,已知点A(-5,0),B(5,0),点C在x轴上,且AC+BC=12,则满足条件的点C的坐标为 .
16.(2024山东)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中,将点(x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中x,y均为正整数.例如,点(6,3)经过第1次运算得到点(3,10),经过第2次运算得到点(10,5),以此类推.则点(1,4)经过2 024次运算后得到点 .
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图,将选取的诗句整齐地排列在平面直角坐标系中,“浪”的坐标是(1,1).
(1)“曲”和“酥”的坐标依次是 和 .
(2)将第2行与第3行对调,再将第4列与第7列对调,“河”由开始的坐标最终变换为 .
(3)“雨”开始的坐标是 ,使它的坐标变换到(5,3),应该将哪两行对调,再将哪两列对调
18.(8分)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),则称点Q是点P的“a阶派生点”(其中a为常数,且a≠0).例如:点P(1,4)的“2阶派生点”为点Q(2×1+4,1+2×4),即点Q的坐标为(6,9).
(1)若点P的坐标为(-1,5),求它的“3阶派生点”的坐标;
(2)若点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点P1,点P1的“-3阶派生点”P2位于坐标轴上,求点P2的
坐标.
19.(8分)已知点P(2a-2,a+5),解答下列各题:
(1)若点P在y轴上,求点P的坐标;
(2)若点Q的坐标为(4,5),直线PQ∥x轴,求点P的坐标;
(3)若点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,求a2 025+的值.
20.(9分)园林部门为了对某旅游景区内的古树进行系统养护,建立了相关的地理信息系统,其中重要的一项工作就是要确定这些古树的位置.已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵(S1,S2,S3,S4),古槐树6棵(H1,H2,H3,H4,H5,H6).为了加强对这些古树的保护,园林部门根据该旅游景区地图,将4棵古松树的位置用坐标表示为S1(2,8)
,S2(4,9),S3(10,5),S4(11,10).
(1)请在图中画出平面直角坐标系;
(2)依据所建立的平面直角坐标系,写出6棵古槐树的坐标;
(3)已知H5在S1的南偏东41°,且相距5.4米处,试用方位角和距离描述S1相对于H5的位置.
21.(10分)如图①,在平面直角坐标系xOy中,已知点B(1,0),点C(5,0),点M(-5,0),点N(0,5),以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD.
(1)点A的坐标为 ;点D的坐标为 .
(2)将正方形ABCD向左平移m个单位长度,得到正方形A′B′C′D′,记正方形A′B′C′D′与△OMN重叠的区域(不含边界)为W:
①如图②,当m=3时,区域内整点(横、纵坐标都是整数)的个数为 ;
②若区域W内恰好有3个整点,求出m的取值范围.
① ②
22.(11分)如图,已知点A(1,0),点B在y轴上,将△OAB沿x轴负方向平移,平移后的图形为△DEC,且点C的坐标为(-3,2).
(1)直接写出点E的坐标 .
(2)在四边形ABCD中,点P从点B出发,沿“B→C→D”移动.若点P的速度为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,回答下列问题:
①当t= 时,点P的横坐标与纵坐标互为相反数.
②求点P在运动过程中的坐标(用含t的式子表示).
③当3理由.
