第十章 二元一次方程组
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列方程组中,属于二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
2.解方程组的思路可用如图的框图表示,圈中应填写的对方程①②所做的变形为( )
A.①×2+②×3 B.①×2-②×3
C.①×3-②×2 D.①×3+②×2
3.方程x+2y=5的非负整数解有( )
A.无数组 B.3组 C.4组 D.5组
4.用代入法解方程组时,将①式代入②式,可得x-4x+2=4,则②式可以是( )
A.x+2y=4 B.x-2y=4 C.2x-y=4 D.2x+y=4
5.(2024南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公,众客都来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房.设有客房x间,客人y人,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
6.已知实数x,y,z满足则代数式3x-3z+1的值是( )
A.-2 B.2 C.-6 D.8
7.在等式y=kx+b中,当x=1时,y=-2;当x=-1时,y=-4.则2k+b的值为( )
A.1 B.-1 C.-2 D.-3
8.某商场按定价销售某种商品时,每件可获利45元;按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等.该商品的进价、定价分别是( )
A.95元、180元 B.155元、200元
C.100元、120元 D.150元、125元
9.若则△+△+□=( )
A.7 B.10 C.11 D.12
10.已知有若干片相同的拼图,其形状如图①.当4片拼图紧密拼成一列时,总长度为23 cm,如图②;当10片拼图紧密拼成一列时,总长度为56 cm,如图③,则图①中的拼图长度为( )
①
②
③
A.5.5 cm B.5.6 cm C.5.75 cm D.6.5 cm
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.已知(m-2)x|m|-1-3-3y=1是关于x,y的二元一次方程,则m= .
12.(雅安中考)已知是方程ax+by=3的解,则代数式2a+4b-5的值为 .
13.已知关于x,y的方程组与有相同的解,则(a+b)2 025的值为 .
14.一个三位数,个位、百位上的数字之和等于十位上的数字的2倍,百位上的数字的3倍比个位、十位上的数字之和大1,个位、十位、百位上的数字之和是15,则这个三位数是 .
15.如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的,另一根露出水面的长度是它的.两根铁棒长度之和为270 cm,此时木桶中水的深度是 cm.
16.(2024宿迁)若关于x,y的二元一次方程组的解是则关于x,y的方程组的解是 .
三、解答题(共52分)
17.(6分)解方程组:
(1) (2)
18.(8分)(2023西藏)列方程(组)解应用题:
如图,巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状、大小相同的长方形墙砖砌成的.
(1)求一块长方形墙砖的长和宽;
(2)求电视背景墙的面积.
19.(8分)已知关于x,y的方程组
(1)若方程组的解满足方程3x-4y=1,求k的值;
(2)请你给出k的一个值,使方程组的解中x,y都是正整数,并直接写出方程组的解.
20.(9分)把y=ax+b(其中a,b是常数,x,y是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方程”.当y=x时,“雅系二元一次方程”y=ax+b中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如:当y=x时,“雅系二元一次方程”y=3x-4化为x=3x-4,其“完美值”为2.
(1)求“雅系二元一次方程”y=5x-6的“完美值”.
(2)若-3是“雅系二元一次方程”y=x+m的“完美值”,求m的值.
(3)是否存在n,使得“雅系二元一次方程”y=-x+n与y=3x-n+1(n是常数)的“完美值”相同 若存在,请求出n的值及此时的“完美值”;若不存在,请说明理由.
21.(9分)阅读理解:
(1)我国古代很早就开始对一次方程组进行研究,其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中,它的“方程”章中就有许多关于一次方程组的内容.
图①的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组,把它们写成我们现在的方程组是与
(2)对于二元一次方程组我们可以将x,y的系数和相应的常数项排成一个数表,通过运算使数表变为,即可求得方程组的解为用数表简化解二元一次方程组的过程如下:
.
∴方程组的解为
① ②
解答下列问题:
(1)直接写出图②的算筹图表示的关于x,y的二元一次方程组;
(2)依照阅读材料(2)中数表的解法格式解(1)中你所写出的二元一次方程组.
22.(12分)(2024襄阳期末)甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买同样的演出服.下表是服装厂给出的演出服装的价格表:
购买服装的 套数 1～39套(含 39套) 40～79套(含79套) 80套及以上
每套服装的价格 80元 70元 60元
经调查:两个乐团共75人(甲乐团人数不少于40人),如果分别购买演出服,两个乐团共需花费5 600元.请回答以下问题:
(1)如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装,那么比各自购买服装最多可以节省多少元
(2)甲、乙两个乐团各有多少人
(3)现从甲乐团抽调a人,从乙乐团抽调b人(要求从每个乐团抽调的人数不少于5),去儿童福利院爱心演出,在演出后乐团成员与儿童们进行“心连心活动”:甲乐团每名成员负责3名小朋友,乙乐团每名成员负责5名小朋友,这样恰好使得福利院65名小朋友全部得到“心连心活动”的温暖.请写出所有的抽调方案.第十章 二元一次方程组
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列方程组中,属于二元一次方程组的是(C)
A. B. C. D.
2.解方程组的思路可用如图的框图表示,圈中应填写的对方程①②所做的变形为(C)
A.①×2+②×3 B.①×2-②×3
C.①×3-②×2 D.①×3+②×2
3.方程x+2y=5的非负整数解有(B)
A.无数组 B.3组 C.4组 D.5组
4.用代入法解方程组时,将①式代入②式,可得x-4x+2=4,则②式可以是(B)
A.x+2y=4 B.x-2y=4 C.2x-y=4 D.2x+y=4
5.(2024南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公,众客都来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房.设有客房x间,客人y人,则可列方程组为( D )
A. B.
C. D.
6.已知实数x,y,z满足则代数式3x-3z+1的值是( A )
A.-2 B.2 C.-6 D.8
7.在等式y=kx+b中,当x=1时,y=-2;当x=-1时,y=-4.则2k+b的值为(B)
A.1 B.-1 C.-2 D.-3
8.某商场按定价销售某种商品时,每件可获利45元;按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等.该商品的进价、定价分别是(B)
A.95元、180元 B.155元、200元
C.100元、120元 D.150元、125元
9.若则△+△+□=(B)
A.7 B.10 C.11 D.12
10.已知有若干片相同的拼图,其形状如图①.当4片拼图紧密拼成一列时,总长度为23 cm,如图②;当10片拼图紧密拼成一列时,总长度为56 cm,如图③,则图①中的拼图长度为(D)
①
②
③
A.5.5 cm B.5.6 cm C.5.75 cm D.6.5 cm
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.已知(m-2)x|m|-1-3-3y=1是关于x,y的二元一次方程,则m= -2 .
12.(雅安中考)已知是方程ax+by=3的解,则代数式2a+4b-5的值为 1 .
13.已知关于x,y的方程组与有相同的解,则(a+b)2 025的值为 -1 .
14.一个三位数,个位、百位上的数字之和等于十位上的数字的2倍,百位上的数字的3倍比个位、十位上的数字之和大1,个位、十位、百位上的数字之和是15,则这个三位数是 456 .
15.如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的,另一根露出水面的长度是它的.两根铁棒长度之和为270 cm,此时木桶中水的深度是 100 cm.
16.(2024宿迁)若关于x,y的二元一次方程组的解是则关于x,y的方程组的解是 .
三、解答题(共52分)
17.(6分)解方程组:
(1) (2)
解:(1)
①+②,得6x=6,解得x=1.
把x=1代入①,得y=-2,
则方程组的解为
(2)
②-①,得3x-y=11④,
③-①,得15x+5y=35,即3x+y=7⑤.
④+⑤,得6x=18,解得x=3,
④-⑤,得-2y=4,解得y=-2.
把x=3,y=-2代入①,得z=-5,
则方程组的解为
18.(8分)(2023西藏)列方程(组)解应用题:
如图,巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状、大小相同的长方形墙砖砌成的.
(1)求一块长方形墙砖的长和宽;
(2)求电视背景墙的面积.
解:(1)设一块长方形墙砖的长为x m,宽为y m.
根据题意,得解得
答:一块长方形墙砖的长为1.2 m,宽为0.3 m.
(2)2×1.2×1.5=3.6(m2).
答:电视背景墙的面积为3.6 m2.
19.(8分)已知关于x,y的方程组
(1)若方程组的解满足方程3x-4y=1,求k的值;
(2)请你给出k的一个值,使方程组的解中x,y都是正整数,并直接写出方程组的解.
解:(1)由解得
把x=2k-1,y=k-3代入3x-4y=1,得
3(2k-1)-4(k-3)=1,
∴k=-4.
(2)k=5时,x=2×5-1=9,y=5-3=2.(答案不唯一)
20.(9分)把y=ax+b(其中a,b是常数,x,y是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方程”.当y=x时,“雅系二元一次方程”y=ax+b中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如:当y=x时,“雅系二元一次方程”y=3x-4化为x=3x-4,其“完美值”为2.
(1)求“雅系二元一次方程”y=5x-6的“完美值”.
(2)若-3是“雅系二元一次方程”y=x+m的“完美值”,求m的值.
(3)是否存在n,使得“雅系二元一次方程”y=-x+n与y=3x-n+1(n是常数)的“完美值”相同 若存在,请求出n的值及此时的“完美值”;若不存在,请说明理由.
解:(1)当y=x时,“雅系二元一次方程”y=5x-6化为x=5x-6,解得x=,
∴“雅系二元一次方程”y=5x-6的“完美值”为.
(2)∵-3是“雅系二元一次方程”y=x+m的“完美值”,
∴-3=×(-3)+m,解得m=-2.
(3)存在n,使得“雅系二元一次方程”y=-x+n与y=3x-n+1(n是常数)的“完美值”相同.
由x=-x+n,得x=n,由x=3x-n+1,得x=,
∴n=,解得n=5,∴x=2,
故n=5,“完美值”为2.
21.(9分)阅读理解:
(1)我国古代很早就开始对一次方程组进行研究,其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中,它的“方程”章中就有许多关于一次方程组的内容.
图①的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组,把它们写成我们现在的方程组是与
(2)对于二元一次方程组我们可以将x,y的系数和相应的常数项排成一个数表,通过运算使数表变为,即可求得方程组的解为用数表简化解二元一次方程组的过程如下:
.
∴方程组的解为
① ②
解答下列问题:
(1)直接写出图②的算筹图表示的关于x,y的二元一次方程组;
(2)依照阅读材料(2)中数表的解法格式解(1)中你所写出的二元一次方程组.
解:(1)
(2)用数表简化解二元一次方程组的过程如下:
.
∴方程组的解为
22.(12分)(2024襄阳期末)甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买同样的演出服.下表是服装厂给出的演出服装的价格表:
购买服装的 套数 1～39套(含 39套) 40～79套(含79套) 80套及以上
每套服装的价格 80元 70元 60元
经调查:两个乐团共75人(甲乐团人数不少于40人),如果分别购买演出服,两个乐团共需花费5 600元.请回答以下问题:
(1)如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装,那么比各自购买服装最多可以节省多少元
(2)甲、乙两个乐团各有多少人
(3)现从甲乐团抽调a人,从乙乐团抽调b人(要求从每个乐团抽调的人数不少于5),去儿童福利院爱心演出,在演出后乐团成员与儿童们进行“心连心活动”:甲乐团每名成员负责3名小朋友,乙乐团每名成员负责5名小朋友,这样恰好使得福利院65名小朋友全部得到“心连心活动”的温暖.请写出所有的抽调方案.
解:(1)甲、乙两个乐团联合购买80套服装需花费80×60=4 800(元),
最多可以节省5 600-4 800=800(元).
(2)设甲乐团有x人,乙乐团有y人.
根据题意,得 解得
答:甲乐团有40人,乙乐团有35人.
(3)根据问题中的相等关系,得3a+5b=65,即b=13-a.
∵每个乐团抽调的人数不少于5且人数为正整数,∴或
故共有两种方案:从甲乐团抽调5人,从乙乐团抽调10人;从甲乐团抽调10人,从乙乐团抽调7人.
