北京市第二中学2024-2025学年高一下学期第一次数学测试（PDF版，含答案）

2025北京二中高一（下）测试一
数 学
班级__________姓名__________
一、选择题
→ → →
1.已知平面向量 a，b不共线，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
2.若 是非零向量，则“ ”是“ ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在 ABC 中，点 D 在边 AB 上， BD = 2DA.记CA = m，CD = n ，则CB = ( )
A. 3m 2n B. 2m + 3n C. 3m + 2n D. 2m + 3n
4. 已知向量 a = (2,1) ，b = ( 2,4) ，则 | a b |= ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 已知非零向量 a ，b 满足 | a |= 2 | b |，且 (a b) ⊥ b ，则 a 与b 的夹角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
→ →
6. 已知 A(－1,2)，B(3,0)，点 P在直线 AB上且|AP|＝2|PB|，则点 P的坐标为( )
5 2A. ， 3 3 B．(7,2)
C.
5 2
，
3 3 或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2)
π
7. 已知向量 a与 b的夹角为 ，|a|＝2，|b|＝1，则向量 a在 b上的投影向量为( )
3
1 1
A．b B. b C．a D. a
2 2

8.若四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD = 60 ， E, F 分别为 BC,CD 的中点，则 ).
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
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3
9．已知单位向量 a，b，若对任意实数 x，|xa＋b|≥ 恒成立，则向量 a，b的夹角的取值范围为( )
2
π 3π
A. ， B.
π 2π
，
4 4 3 3
π π π π
C. ， 4 2 D.
，
3 2
10.在 ABC 中，点 P 满足 BP = 3PC ，过点 P 的直线与 AB，AC 所在的直线分别交于点 M， N .若
AM = AB ， AN = AC ， ( 0, 0) ，则 + 的最小值为 ( )
3 3 5 2
A. +1 B. C. D. +1
2 2 2 2
二、填空题
11. 已知向量 a = (1, 2) ，b = (2, 2) ， c = (1, ).若 c // (2a +b) ，则 = __________.
12. 已知向量 a，b满足|a－b|＝ 3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.
13.已知向量 a = (2,1),b = (1, 1) ，且 a 与 a + b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_____.
→ → →
14. 已知等边△ABC的边长为 3，P为△ABC所在平面内的动点，且|PA|＝1，则PB·PC的取值范围是( )
3 9 1 11
A. － ， － ， 2 2 B. 2 2
C．[1,4] D．[1,7]
三、解答题
15．如图，正方形 ABCD的边长为 6，E是 AB的中点，F是 BC边上靠近点 B的三等分点，AF与 DE交于
点 M.
(1)求∠EMF的余弦值；
→ →
(2)设AM＝λAF，求 λ的值及点 M的坐标．
→ → 2π
16.给定两个长度为 3 的平面向量OA和OB，它们的夹角为 ，如图所示，点 C在以 O为圆心的圆弧 AB上
3
→ → →
运动，若OC＝xOA＋yOB，其中 x，y∈R，则 x＋y的最大值是________；2x＋y的最大值是________．
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参考答案
一、选择题
1.答案 D
→ → → → →
解析 对于 A，BD＝BC＋CD＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，则AB，BD不共线，故 A 不正确；
→ →
对于 B，AB与BC不共线，故 B 不正确；
→ →
对于 C，BC与CD不共线，故 C 不正确；
→ → → → → →
对于 D，AC＝AB＋BC＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3CD，即AC∥CD，
→ →
又AC与CD有公共点 C，则 A，C，D三点共线，故 D 正确．
2.【答案】D
【解析】
解：如图，
设 ， ，
由向量加法的平行四边形法则知：
图中平行四边形是菱形，
但是 不一定成立；
图中平行四边形是矩形，但 也不一定成立；
“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
3. 【答案】B
【解析】
2 1
解：CD = CA+ CB，CB = 3CD 2CA = 2m + 3n.
3 3
4. 【答案】D
【解析】
解： a = (2,1)，b = ( 2,4) ， a b = (4, 3).
5. 【答案】B
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【解析】
解： (a b) ⊥ b ，
(a b) b = a b b 2
，
，
a,b [0, ]，

a,b =
3 ，
故 ，解得
6. 答案 C
解析 设点 P的坐标为(x，y)，
∵A(－1,2)，B(3,0)
→ →
∴AP＝(x＋1，y－2)，PB＝(3－x，－y)．
→ →
由点 P在直线 AB上且|AP|＝2|PB|，
→ → → →
得AP＝2PB或AP＝－2PB.
x＋1＝2(3－x)， x＋1＝－2(3－x)，
∴ 或
y－2＝2(－y) y－2＝－2(－y).
5
x＝ ，3 x＝7，
解得 或 2 y＝－2. y＝3
5 2
∴点 P的坐标为 ， 3 3 或(7，－2)．
7.答案 A
π
解析 由题意知，|a|＝2，且向量 a与 b的夹角为 ，
3
b
所以向量 a在 b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉 ＝b.
|b|
8.【答案】A
【解析】
解：四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD = 60 ，
可得 AB AD = 2 2 cos60 = 2 ，
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E, F 分别为 BC,CD 的中点，
BD = 2EF ，
1 1
AE EF = (AB + AD) BD
则 2 2
1 1
= (AB + AD) (AD AB)
2 2
1 2 1 2 1
= ( AB + AD + AB AD)
2 2 2
1 1 1
= ( 4 + 4 + 2)
2 2 2
1
= .
2
9．答案 B
解析 已知 a，b是单位向量，
3
由|xa＋b|≥ ，
2
3 1
得(xa＋b)2≥ ，则 x2＋2(a·b)x＋ ≥0，
4 4
1
依题意，不等式 x2＋2(a·b)x＋ ≥0 对任意实数 x恒成立，则 Δ＝4(a·b)2－1≤0，
4
1 1
解得－ ≤a·b≤ ，
2 2
a·b
而 cos〈a，b〉＝ ＝a·b，
|a||b|
1 1
则－ ≤cos〈a，b〉≤ ，
2 2
π 2π
又 0≤〈a，b〉≤π，函数 y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以 ≤〈a，b〉≤ ，
3 3
所以向量 a，b的夹角的取值范围为
π 2π
，
3 3 .
10.【答案】A
【解析】
解： BP = BA + AP ，
PC = PA + AC ，
又 BP = 3PC ，
AB + AP = 3(AC AP)
，
1 3 1 3
AP = AB + AC = AM + AN
4 4 4 4 ；
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又 P、M、N 三点共线，
1 3
+ =1
4 4 ，
1 3
+ = ( + ) ( + )
4 4
1 3 3 3 3
= ( + ) + ( + ) 1+ 2 =1+
4 4 4 4 4 4 2
，
3
=
当且仅当 4 4 时取“=”，
3
1+ .
+
的最小值为 2
二、填空题
1
11. 【答案】
2
【解析】
解： 向量 a = (1, 2) ，b = (2, 2) ，
2a + b = (4, 2)，
c = (1, )， c // (2a +b) ，
1 1
= ，解得 = .
4 2 2
12.答案 3
解析 方法一 因为|a＋b|＝|2a－b|，
即(a＋b)2＝(2a－b)2，
则 a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得 a2－2a·b＝0，
又因为|a－b|＝ 3，
即(a－b)2＝3，
则 a2－2a·b＋b2＝b2＝3，
所以|b|＝ 3.
方法二 设 c＝a－b，
则|c|＝ 3，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，
由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，
则 c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
整理得 c2＝b2，即|b|＝|c|＝ 3.
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13.【答案】
14. 答案 B
解析 如图，建立平面直角坐标系，
设 P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]，
3 3
∴ B( 3，0)，C ， ，
2 2
→ →
∴
3 3
PB＝( 3－cos θ，－sin θ)，PC＝ －cos θ， －sin θ ，
2 2
→ →
∴
3 3 5 3 3 3
PB·PC＝( 3－cos θ) －cos θ －sin θ －sin θ 2 ＝ － cos θ－ sin θ 2 2 2 2
5 π
＝ －3sin θ＋
2 3 ，
π
∵θ∈[0,2π]，∴sin θ＋ 3 ∈[－1,1]，
→ → 1 11
∴PB·PC∈ － ， 2 2 .
三、解答题
15．解 (1)如图所示，建立以点 A为原点的平面直角坐标系，
则 D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，
→ →
∴DE＝(3，－6)，AF＝(6,2)，
→ →
由于∠EMF就是DE，AF的夹角，
→ →
∴cos∠EMF＝cos〈DE，AF〉
18－12 2
＝ ＝ ，
9＋36· 36＋4 10
2
∴∠EMF的余弦值为 .
10
→ →
(2)∵AM＝λAF，
→
则AM＝(6λ，2λ)，则 M(6λ，2λ)，
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又 D，M，E三点共线，
→ →
则设DM＝tDE，0即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)，
6λ＝3t， 3
则 解得 λ＝ ，
2λ－6＝－6t， 7
故 M
18 6
，
7 7 .
2 21
16.答案 2
3
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
3 3 3
则 A(3,0)，B － ， ，
2 2
设∠AOC＝α，
2π
则 C(3cos α，3sin α)，α∈ 0， 3 ，
→ → → 3 3 3 3 3 3由OC＝xOA＋yOB (3cos α，3sin α)＝x(3,0)＋y － ， ＝

3x－ y， y ，
2 2 2 2
3 2 3
化简得 x＝ sin α＋cos α，y＝ sin α.
3 3
3
则 ＋ ＝
2 3
x y sin α＋cos α ＋ sin α
3 3
π
＝ 3sin α＋cos α＝2sin α＋ 6 ，
π则当 sin α＋ 6 ＝1 时，x＋y最大，值为 2.
＋ ＝
3 2 3 4 3 2 21
2x y 2 sin α＋cos α ＋ sin α＝ sin α＋2cos α＝ sin(α＋φ)，
3 3 3 3
3
其中 tan φ＝ 且 φ为第一象限角，
2
2 21
则当 sin(α＋φ)＝1 时，2x＋y最大，值为 .
3
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