2.4等比数列
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课件48张PPT。1、等差数列的定义：
定义的符号表示：
2、等差数列的通项公式：
3、等差中项：a，A，b成等差数列，则
A=（a+b）/2
复习与提问：an = a1 +（n-1）d等差数列 an+1-an=d 一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.
实例1、观察细胞分裂的过程：构成数列：1，2，4，8，…古语：一尺之棰，
日取其半，万世不竭。木棒每天的长度构成一个数列：
实例2：实例3 银行有一种支付利息的方式——复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.比如，现在存入银行1万元钱，年利率是1.98%10000×1.0198210000×1.0198210000×1.0198310000×1.0198310000×1.0198410000×1.0198410000×1.01985①1，2，4，8，…
②
③1，20，202，203…
④ 10000×1.01981 ， 10000×1.01982 ， 10000×1.01983 ， 10000×1.01984…共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。思考：以下数列有什么共同特点？2.4 等比数列定义等比数列： 从第 2 项起，每一项与前一项的比等于同一个常数如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示.即： (q常数)（n≥2）(1) 1，3，9，27，… (3) 5， 5， 5， 5，…(4) 1，-1，1，-1，…(2) (5) 1，0，1，0，… 练 习 判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不是，说明理由。是是是是a1=1, q=3a1=5, q=1a1=1, q= -1不是(6) 0，0，0，0，…(7) 1, a, a2, a3 , …(8) x0, x, x2, x3 , …(9) 1，2，6，18，…不是不是小结：判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：a1=x0, q=x是不是看 是不是同一个常数？注意：(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不
能用前项比后项来求，且q≠0；(1) 等比数列｛an｝中, an≠0；(3)若q＝1，则该数列为常数列． 公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？正负交替对公比q的探究：:（a1 ﹥0时）当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；
当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；
当q=1时，等比数列{an}为常数列；
当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。有无数列是既等比又等差？思考2：有无数列是既等比又等差的？常数列 a, a , a , a , …时,既是等差数列，又是等比数列;时,只是等差数列，而不是等比数列.等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。a，G，b成等比数列例：-1和10是否存在等比中项，是的话如何计算？
思考：类比等差中项，什么是等比中项？对a，b的要求：a，b要同号。 如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示? 当n=1时，（等比数列通项公式），… ，∵∴…如何对其加以严格的证明呢？ 想一想？证明：将等式左右两边分别相乘可得：化简得：即：
此式对n=1也成立∵，… ，…………∴叠乘法推导通项公式 从通项公式，想象一下等比数列的图象是怎么样的吗？等比数列通项公式的图象表示:课本50页探究（2）通项公式 数学式
子表示定 义等比数列 等差数列名 称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan = a1 +（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示把③代入① ，得把②的两边分别除以①的两边，得解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么例3、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.③4．(2013年广东)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝______.15【解析】∵数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an＝a1?qn－1＝(－2)n－1，∴a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，∴则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.全优32页基础夯实在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比为q, 求该数列的任意项an。等比数列通项公式的推广公式： an＝amqn-m
（am≠0,an ≠ 0,m,n∈N*）A．±4 B．4A【解析】＝2n－4知a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4.全优32页基础夯实5．(2013年新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d≠0，由题意a1，a11，a13成等比数列，∴(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，即d(2a1＋25d)＝0.∵d≠0，∴2×25＋25d＝0，解得d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.全优70页限时规范训练5．(2013年新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
【解析】∴an＝－2n＋27.全优70页限时规范训练(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.(2)由(1)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31，可知此数列是以25为首项，－6为公差的等差数列．∴Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝－3n2＋28n.即为它是一个与n无关的常数， 即为练习：课本53页 3练习：课本53页 A组 33．已知三个数成等比数列，积为27，和为13，求这三个数．【解析】∴这三个数为1,3,9或9,3,1.全优31页变式训练【例2】 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．【解析】设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设得∴所求三数为3,5,7.全优34页典例剖析2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an.又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴{an}是等比数列．∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.全优31页变式训练5．若a＋b＋c，b＋c－a，a＋c－b，a＋b－c成等比数列，公比为q，则q＋q2＋q3的值为________．1【解析】依题意得b＋c－a＝(a＋b＋c)q，a＋c－b＝(a＋b＋c)q2，a＋b－c＝(a＋b＋c)q3，所以a＋b＋c＝(a＋b＋c)·(q＋q2＋q3)，即q＋q2＋q3＝1.全优34页基础夯实2．设a1＝2，数列 是公比为2的等比数列，则a6等于( )
A．31.5 B．160 C．79.5 D．159.5C【解析】1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴1＋2a6＝5·25，全优32页基础夯实【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列 是等比数列；(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，故a1＋1≠0，由上式易知an＋1≠0，所以 是以2为公比的等比数列．全优31页典例剖析【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
所以 是以2为公比的等比数列．全优31页典例剖析(2)求an的表达式．(2)解：由(1)可知是以a1＋1＝2 为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1，所以an＝2n－1.7．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．【解析】∵an＋1＝3an＋2，两边加1，∴an＋1＋1＝3an＋3＝3(1＋an)．∴数列是等比数列，且以a1＋1为首项，3为公比，∴1＋an＝(a1＋1)·3n－1＝3·3n－1.∴an＝3n－1.全优35页能力提升等比数列性质等比数列判定（中项公式法）练习：课本53页 44．在等比数列{an}中，若a4a7＋a5a6＝20，则此数列的前10项之积为________．105【解析】由性质可知a4a7＝a5a6，所以a4a7＝10.∴a1a2…a10＝(a4a7)5＝105.1．已知各项均正的等比数列{an}中，lg (a3·a8·a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．1 000 C．10 000 D．10C【解析】lg (a3·a8·a13)＝lg a83＝6，a83＝106?a8＝102＝100，a1·a15＝a82＝10 000全优34页基础夯实4．(2014年广东)等比数列{an}的各项均为正数且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝______.5【解析】在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a32＝4.因为an>0，所以a3＝2，a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a35＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.全优70页限时规范训练 插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．216【解析】设插入的三数为a，b，c，所以b＝6，ac＝36，故abc＝216.全优71页限时规范训练1．已知等比数列{an}中，an＞0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )
A．32 B．64 C．256 D．±64B【解析】由题意得a1·a99＝16，因为{an}是等比数列，所以a502＝16，因为an＞0，∴a50＝4，所以a40a50a60＝a503＝16×4＝64.全优71页限时规范训练报纸能比泰山高吗？泰山:1545m(1)假设我们有一张足够大的报纸.(设报纸厚度是a米). 先把报纸对折一次,这时纸张的厚度是报纸单页的2倍.即2a米我们做个折纸实验(2)我们再将报纸对折一次,纸张的厚度变为:
4a米即22a米
第三次再对折后报纸的厚度是:
8a米即23a米
折纸实验 (3) 三次折叠,报纸厚度分别是:
22a米,23 a米,24a米
我们猜想,继续这样折叠,报纸的厚度会是
一组等比数列:
2 2a, 2 3 a, 2 4 a , 2 5a, 26 a, 27 a …
(4)假设报纸的单页厚度约为0.1毫米，
需要折叠几次才能比泰山高呢？折纸实验(4)可以测得报纸的单页厚度约为0.1毫米 (即a=0.0001m),当我们把报纸折叠了21次,此时的厚度是:
2 21 a = 2097152毫米 = 2097.152米
报纸的厚度高过泰山500多米！折纸实验如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，
这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥情境:折纸zxxk
定义的符号表示：
2、等差数列的通项公式：
3、等差中项：a，A，b成等差数列，则
A=（a+b）/2
复习与提问：an = a1 +（n-1）d等差数列 an+1-an=d 一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.
实例1、观察细胞分裂的过程：构成数列：1，2，4，8，…古语：一尺之棰，
日取其半，万世不竭。木棒每天的长度构成一个数列：
实例2：实例3 银行有一种支付利息的方式——复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.比如，现在存入银行1万元钱，年利率是1.98%10000×1.0198210000×1.0198210000×1.0198310000×1.0198310000×1.0198410000×1.0198410000×1.01985①1，2，4，8，…
②
③1，20，202，203…
④ 10000×1.01981 ， 10000×1.01982 ， 10000×1.01983 ， 10000×1.01984…共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。思考：以下数列有什么共同特点？2.4 等比数列定义等比数列： 从第 2 项起，每一项与前一项的比等于同一个常数如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示.即： (q常数)（n≥2）(1) 1，3，9，27，… (3) 5， 5， 5， 5，…(4) 1，-1，1，-1，…(2) (5) 1，0，1，0，… 练 习 判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不是，说明理由。是是是是a1=1, q=3a1=5, q=1a1=1, q= -1不是(6) 0，0，0，0，…(7) 1, a, a2, a3 , …(8) x0, x, x2, x3 , …(9) 1，2，6，18，…不是不是小结：判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：a1=x0, q=x是不是看 是不是同一个常数？注意：(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不
能用前项比后项来求，且q≠0；(1) 等比数列｛an｝中, an≠0；(3)若q＝1，则该数列为常数列． 公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？正负交替对公比q的探究：:（a1 ﹥0时）当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；
当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；
当q=1时，等比数列{an}为常数列；
当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。有无数列是既等比又等差？思考2：有无数列是既等比又等差的？常数列 a, a , a , a , …时,既是等差数列，又是等比数列;时,只是等差数列，而不是等比数列.等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。a，G，b成等比数列例：-1和10是否存在等比中项，是的话如何计算？
思考：类比等差中项，什么是等比中项？对a，b的要求：a，b要同号。 如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示? 当n=1时，（等比数列通项公式），… ，∵∴…如何对其加以严格的证明呢？ 想一想？证明：将等式左右两边分别相乘可得：化简得：即：
此式对n=1也成立∵，… ，…………∴叠乘法推导通项公式 从通项公式，想象一下等比数列的图象是怎么样的吗？等比数列通项公式的图象表示:课本50页探究（2）通项公式 数学式
子表示定 义等比数列 等差数列名 称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan = a1 +（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示把③代入① ，得把②的两边分别除以①的两边，得解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么例3、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.③4．(2013年广东)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝______.15【解析】∵数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an＝a1?qn－1＝(－2)n－1，∴a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，∴则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.全优32页基础夯实在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比为q, 求该数列的任意项an。等比数列通项公式的推广公式： an＝amqn-m
（am≠0,an ≠ 0,m,n∈N*）A．±4 B．4A【解析】＝2n－4知a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4.全优32页基础夯实5．(2013年新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d≠0，由题意a1，a11，a13成等比数列，∴(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，即d(2a1＋25d)＝0.∵d≠0，∴2×25＋25d＝0，解得d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.全优70页限时规范训练5．(2013年新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
【解析】∴an＝－2n＋27.全优70页限时规范训练(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.(2)由(1)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31，可知此数列是以25为首项，－6为公差的等差数列．∴Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝－3n2＋28n.即为它是一个与n无关的常数， 即为练习：课本53页 3练习：课本53页 A组 33．已知三个数成等比数列，积为27，和为13，求这三个数．【解析】∴这三个数为1,3,9或9,3,1.全优31页变式训练【例2】 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．【解析】设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设得∴所求三数为3,5,7.全优34页典例剖析2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an.又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴{an}是等比数列．∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.全优31页变式训练5．若a＋b＋c，b＋c－a，a＋c－b，a＋b－c成等比数列，公比为q，则q＋q2＋q3的值为________．1【解析】依题意得b＋c－a＝(a＋b＋c)q，a＋c－b＝(a＋b＋c)q2，a＋b－c＝(a＋b＋c)q3，所以a＋b＋c＝(a＋b＋c)·(q＋q2＋q3)，即q＋q2＋q3＝1.全优34页基础夯实2．设a1＝2，数列 是公比为2的等比数列，则a6等于( )
A．31.5 B．160 C．79.5 D．159.5C【解析】1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴1＋2a6＝5·25，全优32页基础夯实【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列 是等比数列；(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，故a1＋1≠0，由上式易知an＋1≠0，所以 是以2为公比的等比数列．全优31页典例剖析【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
所以 是以2为公比的等比数列．全优31页典例剖析(2)求an的表达式．(2)解：由(1)可知是以a1＋1＝2 为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1，所以an＝2n－1.7．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．【解析】∵an＋1＝3an＋2，两边加1，∴an＋1＋1＝3an＋3＝3(1＋an)．∴数列是等比数列，且以a1＋1为首项，3为公比，∴1＋an＝(a1＋1)·3n－1＝3·3n－1.∴an＝3n－1.全优35页能力提升等比数列性质等比数列判定（中项公式法）练习：课本53页 44．在等比数列{an}中，若a4a7＋a5a6＝20，则此数列的前10项之积为________．105【解析】由性质可知a4a7＝a5a6，所以a4a7＝10.∴a1a2…a10＝(a4a7)5＝105.1．已知各项均正的等比数列{an}中，lg (a3·a8·a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．1 000 C．10 000 D．10C【解析】lg (a3·a8·a13)＝lg a83＝6，a83＝106?a8＝102＝100，a1·a15＝a82＝10 000全优34页基础夯实4．(2014年广东)等比数列{an}的各项均为正数且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝______.5【解析】在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a32＝4.因为an>0，所以a3＝2，a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a35＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.全优70页限时规范训练 插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．216【解析】设插入的三数为a，b，c，所以b＝6，ac＝36，故abc＝216.全优71页限时规范训练1．已知等比数列{an}中，an＞0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )
A．32 B．64 C．256 D．±64B【解析】由题意得a1·a99＝16，因为{an}是等比数列，所以a502＝16，因为an＞0，∴a50＝4，所以a40a50a60＝a503＝16×4＝64.全优71页限时规范训练报纸能比泰山高吗？泰山:1545m(1)假设我们有一张足够大的报纸.(设报纸厚度是a米). 先把报纸对折一次,这时纸张的厚度是报纸单页的2倍.即2a米我们做个折纸实验(2)我们再将报纸对折一次,纸张的厚度变为:
4a米即22a米
第三次再对折后报纸的厚度是:
8a米即23a米
折纸实验 (3) 三次折叠,报纸厚度分别是:
22a米,23 a米,24a米
我们猜想,继续这样折叠,报纸的厚度会是
一组等比数列:
2 2a, 2 3 a, 2 4 a , 2 5a, 26 a, 27 a …
(4)假设报纸的单页厚度约为0.1毫米，
需要折叠几次才能比泰山高呢？折纸实验(4)可以测得报纸的单页厚度约为0.1毫米 (即a=0.0001m),当我们把报纸折叠了21次,此时的厚度是:
2 21 a = 2097152毫米 = 2097.152米
报纸的厚度高过泰山500多米！折纸实验如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，
这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥情境:折纸zxxk