2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中线段和差及周长最值问题（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中线段和差及周长最值问题
1．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值．
2．如图，二次函数yx2+bx+c的图象交x轴于A、D两点并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若抛物线对称轴上是否存在一个动点P，使点P到点B、点D的距离之和最短，若存在求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．
3．如图，二次函数yx2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）．
（1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．
（3）设点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，求使△BPC面积最大时的点P的坐标，并求出最大面积．
5．如图，直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（b﹣2）x+3a+8（a＜0，a，b均为常数）经过点（1，8），分别交y轴正半轴于点C，交x轴于点M，N，顶点为点D，P为线段OC上一动点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边）．
（1）用含a的代数式表示b．
（2）求该抛物线的对称轴及PB﹣AP的值．
（3）当OP＝4CP时，点D关于AB的对称点Q的纵坐标为﹣1，求此时MN的长．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；
（3）点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，不存在，说明理由．
7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
9．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已经抛物线经过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；
（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，过点P作直线MN∥y轴，交x轴于点N，交直线BC于点M，设点P的横坐标为t，当PN＝2PM时，求点P的坐标．
12．如图，已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．与y轴交于点C（0，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出当PB+PC最小时点P的坐标；
（3）若抛物线上有一动点Q，Q点在直线AC的下方，当使△ACQ的面积最大时，求Q点坐标．
13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点的坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AC的解析式；
（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线y＝x2+bx﹣5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）且B（5，0），抛物线与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若P是y轴上一动点，当PA+PD值最小时，求点P的坐标．
（3）点M为抛物线上一动点，且横坐标为m（0＜m＜2），过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q，过点M作MN∥x轴，交抛物线于点N，求MQ+MN的最大值．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点M运动过程中，四边形ACMB面积的最大值；
（3）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB﹣PC|最大，求点P的坐标．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（6，0），
∴62+6b+3＝0，
解得：b＝1，
∴抛物线的解析式为yx2+x+3，
∵x2，
∴抛物线yx2+x+3的对称轴为直线x＝2；
（2）存在．如图1，设BC交抛物线的对称轴直线x＝2于点P，连接PA，
则PA＝PB，
∴当点B、P、C三点共线时，△PAC周长＝PA+PC+AC＝PB+PC+AC＝BC+AC最小，即△PAC周长取得最小值，
设点P（2，m），直线BC表达式为y＝kx+b′，
将点B（6，0）、C（0，3）代入y＝kx+b′，
得，
解得：，
则直线BC表达式为yx+3，
当x＝2时，y＝2，
∴m＝2，
故点P（2，2），
（3）根据题意：点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，
设M（t，t2+t+3），其中0＜t＜6，则N（t，t+3），
∴MNt2+t+3﹣（t+3）t2t（t﹣3）2，
∵0，
∴当x＝3时，MN的值最大，最大值为．
2．【解答】解：（1）将A（2，0），B（8，6）代入yx2+bx+c，得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为yx2﹣4x+6．
（2）∵yx2﹣4x+6（x﹣4）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝4．
连接AB交抛物线对称轴于点P，如图1所示．
∵点A，点D是抛物线yx2﹣4x+6与x轴的交点，
∴点A和点D关于对称轴x＝4对称，
∴PA＝PD，
∴PB+PD最小．
设AB所在直线解析式为y＝kx+d（k≠0），
将A（2，0），B（8，6）代入y＝kx+d，得：
，解得：，
∴AB所在直线解析式为y＝x﹣2，
当x＝4时，y＝4﹣2＝2，
∴点P坐标为（4，2），
∴在抛物线对称轴上存在一个动点P（4，2），使点P到点B、点D的距离之和最短．
（3）由（2）知，函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），点C坐标为（4，0）．
∵点A，点D关于对称轴直线x＝4对称且A（2，0），
∴点D的坐标为（6，0），
∴CD＝6﹣4＝2．
设BC所在的直线解析式为y＝mx+n（m≠0），
将点B（8，6），C（4，0）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴BC所在的直线解析式为yx﹣6．
联立直线BC与抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，（舍去），
∴点E的坐标为（3，），
∴S△BDE＝S△CDB+S△CDECD yBCD （﹣yE）2×62．
3．【解答】解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入yx2+bx+c，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为yx2﹣4x+6；
（2）由yx2﹣4x+6（x﹣4）2﹣2，得
二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）．
令y＝0，得x2﹣4x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝6，
∴D点的坐标为（6，0）；
（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得△CBD的周长最小．
连接CA，如图，
∵点C在二次函数的对称轴x＝4上，
∴xC＝4，CA＝CD，
∴△CBD的周长＝CD+CB+BD＝CA+CB+BD，
根据“两点之间，线段最短”，可得
当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，
此时，由于BD是定值，因此△CBD的周长最小．
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
把A（2，0）、B（8，6）代入y＝mx+n，得
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2．
当x＝4时，y＝4﹣2＝2，
∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为（4，2）时，△CBD的周长最小．
4．【解答】解：（1）依题意得：
，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点G（x，x+3），
∴PG＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∵S△PBC＝S△PBG+S△PCG
PG×OB
3×（﹣x2﹣3x）
（x）2，
∴当x时，S△PBC有最大值，最大值为．
∴点P（，）．
5．【解答】解：（1）把点（1，8）代入y＝ax2﹣（b﹣2）x+3a+8中，
得a﹣（b﹣2）+3a+8＝8，整理得，b＝4a+2．
（2）该抛物线的对称轴为直线：x2；
过顶点D作DE⊥x轴于点E，交AB于点H，
∵AB∥x轴，由对称性可知，AH＝BH，PH＝OE＝2，
∴PB﹣AP
＝BH+PH﹣AP
＝AH+PH﹣AP
＝2PH
＝4．
（3）由抛物线解析式可知，C（0，3a+8），OC＝3a+8，
∵OP＝4CP，
∴OP（3a+8）a，
又∵y＝ax2﹣（b﹣2）x+3a+8
＝ax2﹣4ax+3a+8
＝a（x﹣2）2+8﹣a，
∴点D（2，8﹣a），
DH＝DE﹣OP＝8﹣a﹣（a）a，
∵点D关于AB的对称点Q的纵坐标为﹣1，
∴aa1，解得a＝﹣1，
此时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
∴点M，N的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），
∴MN＝6．
6．【解答】解：（1）把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
得，，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4，
（2）由抛物线解析式可知，l：x，C（﹣1，0），
如图，作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，
此时B′（3，4），直线B′C：y＝x+1，
∴P（，），
∵B（0，4），C（﹣1，0），B′（3，4），
∴BC，CB′＝4，
∴△PBC周长的最小值为：4．
（3）存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，），（，）或（，）．理由如下：
由抛物线解析式可知，E（，），
∵A（4，0）、B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∴F（，）．
∴EF．
设M（m，﹣m2+3m+4），
①当EF为边时，则EF∥MN，
∴N（m，﹣m+4），
∴NM＝EF，即|﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）|，
解得m（舍）或或或，
∴M（，）或（，），（，））．
②当EF为对角线时，EF的中点为（，），
∴点N的坐标为（3﹣m，m2﹣3m），
∴﹣3+m+4＝m2﹣3m，解得m（舍），m，
∴M3（，）．
综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，），（，）或（，）．
7．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
故点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
由题意得B（﹣3，0），
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得，
∴直线的解析式为y＝x+3；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），
则BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（t﹣3）2+1，
若点B为直角顶点时，则BC2+PB2＝PC2，
即18+4+t2＝（t﹣3）2+1，
解得t＝﹣2；
若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2，
即4+t2＝18+（t﹣3）2+1，
解得t＝4，
若P为直角顶点时，则PB2+PC2＝BC2，则4+t2+（t﹣3）2+1＝18，
解得t，
综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
8．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M，如图，
抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x1，由于点A（﹣1，0），则点B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点M（1，2）；
（3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2，
根据△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当PC＝CD时，
则12+（t﹣3）2＝10，
解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合，舍去），
∴P（1，6）；
②当CD＝PD时，
则10＝t2，
解得：t＝±，
∴P1（1，），P2（1，）；
③当PC＝PD时，
则12+（t﹣3）2＝t2，
解得：t，
P（1，）；
综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，）或（1，）．
9．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（﹣1，4），
∴设函数表达式为y＝a（x+1）2+4
∵图象过点C（0，3），
∴当x＝0时，y＝3，
∴3＝a（0+1）2+4，
解得，a＝﹣1，
∴函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）﹣x2﹣2x+3＝0，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∵A、B关于对称轴x＝﹣1对称，点M在对称轴x＝﹣1上，
∴MA＝MB，
∴△BCM的周长＝BC+CM+BM＝BC+CM+AM，
当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小，
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+3，
∵点M的横坐标为x＝﹣1，
所以点M的坐标为（﹣1，2）；
（3）如图2，当点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分，
∴四边形AQBP是平行四边形，此时点P的坐标为（﹣1，4），
当P′Q′∥AB，P′Q′＝AB＝4时，四边形AP′Q′B是平行四边形，
此时P′点的横坐标为﹣1﹣4＝﹣5，
∴P′的纵坐标为：﹣25+10+3＝﹣12，
∴点P′的坐标为（﹣5，﹣12），
当P′′Q′∥AB，P′′Q′＝AB＝4时，四边形AQ′P′′B是平行四边形，
此时P′′点的横坐标为﹣1+4＝3，
∴P′′的纵坐标为：﹣9﹣6+3＝﹣12，
∴点P′′的坐标为（3，﹣12），
综上所述：以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣5，﹣12）或（3，﹣12）．
10．【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴（m﹣2）×5＝15，
解得：m＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此时，PA﹣PB＝AB3．
11．【解答】解：（1）将（3，0）代入y＝﹣x2+mx+3，得：﹣9+3m+3＝0，
解得m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，连接MA，MB，MC，BC，
∵y＝﹣x2+2x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
由抛物线的对称性可知MA＝MB，
∴MA+MC＝MB+MC≥BC，
∴当点M在直线BC上时，MA+MC取最小值．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3）和B（3，0）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵抛物线的对称轴为直线，
将x＝1代入y＝﹣x+3，得y＝﹣1+3＝2，
∴点M的坐标为（1，2）；
（3）令y＝﹣x2+2x+3＝0，
得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），
∵点P是x轴上方抛物线上的动点，点P的横坐标为t，
∴点P（t，﹣t2+2t+3），﹣1＜t＜3，
∵点M在直线BC：y＝﹣x+3上，点N在x轴上，
∴M（t，﹣t+3），N（t，0），
当PN＝2PM时，分两种情况：
当点P在y轴右侧时，如图2所示：
∵PN＝﹣t2+2t+3，PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴﹣t2+2t+3＝2（﹣t2+3t），
解得t＝1或t＝3（舍），
将x＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣12+2+3＝4，
∴P（1，4）；
当点P在y轴左侧时，如图3所示：
∵PN＝﹣t2+2t+3，PM＝﹣t+3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣3t，
∴﹣t2+2t+3＝2（t2﹣3t），
解得或t＝3（舍），
将代入y＝﹣x2+2x+3，得，
∴；
综上可知，点P的坐标为（1，4）或．
12．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
即抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点P为抛物线的对称轴上的一动点，点A和点B关于直线x＝﹣1对称，
∴PA＝PB，则PB+PC＝PA+PC
∵两点之间线段最短，
∴连接点A和点C与直线x＝﹣1的交点就是使得PB+PC最小时的点P，如图1，
设过点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3）的直线解析式为y＝kx+m，
得：，
解得：，
即直线AC的函数解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）设Q（t，t2+2t﹣3），过点Q作QD∥y轴，交AC于D，如图2，则D（t，﹣t﹣3），
∴DQ＝（﹣t﹣3）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t，
则S△ACQ＝S△ADQ+S△CDQDQ （xQ﹣xA）DQ （xC﹣xQ）DQ （xC﹣xA），
∴S△ACQ[0﹣（﹣3）]（﹣t2﹣3t）（﹣3＜t＜0），
∵，
∴当时，S△ACQ有最大值，此时yQ，
即：此时点Q的坐标为（，）．
13．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+3经过A（1，0），C（4，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+h，
将A、C两点坐标代入y＝kx+h得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；
（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），
∴B（3，0），抛物线的对称轴为x＝2；
∵BC长度不变，
∴BD+DC最小时，△BCD的周长最小，
∵A、B是关于抛物线对称轴对称的，
∴当D点为对称轴与AC的交点时，BD+DC最小，即△BCD的周长最小，如图，
∴，
解得：，
∴D（2，1），
即：当D点的坐标为（2，1）时，△BCD的周长最小．
14．【解答】解：（1）把（5，0）代入y＝x2+bx﹣5中，
0＝25+5b﹣5，
得b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣5；
（2）在y＝x2﹣4x﹣5中，
当x＝﹣2时：y＝7，
∴点D的坐标为（﹣2，7），
当y＝0时：x1＝﹣1，x2＝5，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
作点A关于y轴的对称点E，
∵A点坐标为（﹣1，0），
∴E点坐标为（1，0），
连接DE交y轴于点P，
此时PA+PD最小，
设直线DE为y＝kx+b，
∴
解得：，
∴直线DE的表达式为
∴点P的坐标为；
（3）如图：
在y＝x2﹣4x﹣5中，
当x＝0时：y＝﹣5，
∴点C的坐标为（0，﹣5），
设直线BC解析式为y＝k1x+b2，则
解得，
∴直线BC表达式：y＝x﹣5，
设M点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），
Q点坐标（m，m﹣5），
∴MQ＝m﹣5﹣m2+4m+5＝﹣m2+5m，
∵M和N关于对称轴对称，对称轴为直线，
∴MN＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
∴MN+MQ＝4﹣2m+（﹣m2+5m）
＝﹣m2+3m+4
，
∵﹣1＜0，
∴当时MN+MQ有最大值．
15．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，
∴，解得，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）如图，连接BC，过点M作MN∥y轴交BC于点N，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
设M（t，t2﹣t﹣2），则N（t，t﹣2），
∴MN＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∴，
∵，
∴，
当t＝1时，四边形ACMB的面积最大值为4，此时M（1，﹣2）．
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图，作C点关于对称轴的对称点C′，连接BC′并延长与对称轴交于点P，
∵CP＝C′P，
∴|PB﹣PC|＝|PB﹣PC′|≤BC′，此时|PB﹣PC|有最大值，
∵C（0，﹣2），
∴C′（1，﹣2），
设直线BC′的解析式为y＝kx+m，
∴，解得，
∴y＝2x﹣4，
∴．
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