2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中的直角三角形存在性问题（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中的直角三角形存在性问题
1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC的函数表达式；
（3）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
（4）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）请直接写出此抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠CAP＝∠ACB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标．
5．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示，抛物线y＝ax2+ax﹣2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（﹣2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
11．如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y＝x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标；
（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为OC的中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点E为直线BC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，EH与BC、BD分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段EF的长度；
②若EF＝FG，求此时点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠CPB＝90°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）、B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
15．综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，连接BC，AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请直接写出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，依题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）代入直线y＝mx+n，得：
，
解得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；
（3）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（4）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
如图，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，
解得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，
解得：t＝4；
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，
解得：t1，t2；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
2．【解答】解：（1）∵点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，
∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（﹣1，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
，得，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）连接OD，则四边形OFDE是矩形，则OD＝EF，
∵垂线段最短，
∴当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，
∵OA＝OC，OD⊥AC，
∴点D是线段AC的中点，
又∵DF∥OC，
∴DFOC＝2，
∴点P的纵坐标是2，
∴2＝﹣x2+3x+4，
解得，x，
∴当线段EF的长度最短时，点P的坐标是（，2）或（，2）；
（3）存在，
第一种情况，当以点C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足为M，
∵∠ACP1＝90°，
∴∠MCP1+∠ACO＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠MCP1＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，
∴∠MCP1＝∠MP1C，
∴MC＝MP1，
设点P1（m，﹣m2+3m+4），
则m+4＝﹣m2+3m+4，
解得，m1＝0（舍去），m2＝2，
∴当m＝2时，﹣m2+3m+4＝6，
∴点P1（2，6）；
第二种情况，
当点A为直角顶点时，过点A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，交y轴于点F，作P2N⊥y轴于点N，
∴P2N∥x轴，
∵∠CAO＝45°，
∴∠FP2N＝45°，
∴∠P2FN＝45°，
∴∠AFO＝45°，P2N＝NF，
∴OF＝OA，
设P2（n，﹣n2+3n+4），则n＝﹣n2+3n+4+4，解得，n1＝4（舍去），n2＝﹣2，
∴当n＝﹣2时，﹣n2+3n+4＝﹣6，即P2（﹣2，﹣6），
由上可得，点P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）．
3．【解答】解：（1）y＝﹣x2+3x+4；理由如下：
由A（4，0），可知OA＝4，
∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，OB＝1，
∴C（0，4），B（﹣1，0）．
设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；
（2）在抛物线上存在点P，使得∠CAP＝∠ACB；理由如下：
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∴∠ACB＞45°，
若点P在AC上方的抛物线上，∠CAP＝∠ACB＞45°，∠OAP＞0°，
此时AP与AC上方的抛物线没有交点，
故点P在AC上方的抛物线上时不满足题意．
当点P在AC下方的抛物线上时，如图1，AP与y轴交于点E，
∵∠CAP＝∠ACB，
∴∠OAE+∠OAC＝∠BCO+∠OCA，即∠OAE＝∠BCO，
在△BOC与△EOA中，
，
∴△BOC≌△EOA（ASA），
∴OE＝OB＝1，
∴E（0，﹣1），A（4，0），
∴过A、E两点的一次函数为，点P为过A、E两点的一次函数与抛物线的交点，
∴，即4x2﹣11x﹣20＝0，
解得，
当时，，
∴；
（3）存在点P，使得△ACP是直角三角形；P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）或或；理由如下：
分三种情况讨论：
①当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足是M．如图2，
∵∠ACP1＝90°，
∴∠MCP1+∠ACO＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠MCP1＝∠OAC．
∵OA＝OC，
∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，
∴∠MCP1＝∠MP1C，
∴MC＝MP1，
设P（m，﹣m2+3m+4），则m＝﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m1＝0（舍去），m2＝2．
∴﹣m2+3m+4＝6，即P（2，6）；
②当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图1，
∴P2N∥x轴，
∵∠CAO＝45°，
∴∠OAP＝45°，
∴∠FP2N＝45°，AO＝OF，
∴P2N＝NF．
设P2（n，﹣n2+3n+4），
∴n＝（﹣n2+3n+4）+4，
解得：n1＝﹣2，n2＝4（舍去），
∴﹣n2+3n+4＝﹣6，
∴P2的坐标是（﹣2，﹣6）；
③当点P为直角顶点时：
当点P在AP上方的抛物线上时，如图3，过点P作y轴的垂线，垂足为点M，过点A作x轴的垂线，交MP的延长线于点N，
∵∠MPC＝∠NAP，∠CMP＝∠PNA＝90°，
∴△CMP∽△PNA，
设P（m，﹣m2+3m+4），CM＝﹣m2+3m，PM＝m，PN＝4﹣m，AN＝﹣m2+3m+4，，即，
∴，
∴，
∴（m+1）（3﹣m）＝1，m2﹣2m﹣2＝0，
解得x1，x2＝1（舍去），
将代入y＝﹣x2+3x+4得；
当点P在AP下方的抛物线上时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为点N，过点C作NP的垂线，交NP的延长线于点M，
∵∠MPC＝∠NAP，∠CMP＝∠PNA＝90°，
∴△CMP∽△PNA，
设P（m，﹣m2+3m+4），CM＝﹣m，PM＝m2﹣3m，PN＝﹣m2+3m+4，AN＝4﹣m，，即，
∴，
∴，
∴（m+1）（m﹣3）＝﹣1，m2﹣2m﹣2＝0，
解得x1（舍去），
x2＝1，将x＝1代入y＝﹣x2+3x+4得：
y＝3，P（1，3．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）或（1，3）或（1，3）．
4．【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则y﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴B（3，0）；
（2）设BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（t，﹣t+3），则点M的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t）2，
t时，PM最大，
此时点M坐标（，）；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，m），且C（0，3），N（，0），
∴CN，CQ，
NQ，
∵△CNQ为直角三角形，
∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，
①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2＝NQ2
即（）2+（m2﹣6m+10），解得：m，
此时点Q坐标为（1，），
②当点Q为直角顶点时，则有CQ2+NQ2＝CN2，
即（m2﹣6m+10）（）2，解得：m1，m2，
此时点Q坐标为（1，）或（1，），
③当点N为直角顶点时，则有CN2+NQ2＝CQ2，
即（）2（m2﹣6m+10），解得：m，
此时点Q坐标为（1，），
综上所述，点Q坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
5．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D．
∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠BCD＝∠CAO，
又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，
∴点B的坐标为（﹣3，1）；
（2）抛物线y＝ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），
则得到1＝9a﹣3a﹣2，
解得a，
所以抛物线的解析式为yx2x﹣2；
（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，
过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，
∴△MP1C≌△DBC．
∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，可求得点P1（1，﹣1）；
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2，
过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，
∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P2（2，1），
③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP＝AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P2；
点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，
∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1，
∴P3为（﹣2，3）；
经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线yx2x﹣2上，点P3（﹣2，3）不在抛物线上．
6．【解答】解：（1）设直线AC的函数关系式为y＝kx+n，将A（﹣1，0），C（2，3）代入得：
，解得，
∴直线AC的函数关系式为y＝x+1，
将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线函数关系式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①在函数关系式y＝﹣x2+2x+3中令x＝0得y＝3，
∴N（0，3），
过N作AC的平行线与抛物线交点即为P，设所作直线为y＝x+m，
将N（0，3）代入y＝x+m得3＝m，
∴所作平行线为y＝x+3，
由得或，
∴P（0，3）或（1，4），
②若△ACP是以AC为斜边的直角三角形，
过A作AE∥y轴，过C作CF∥y轴，过P作EF∥x轴，交点分别为E、F，如答图：
∵∠APC＝90°，
∴∠EPA＝90°﹣∠FPC＝∠PCF，
而∠E＝∠F＝90°，
∴△AEP∽△PFC，
∴，
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
又A（﹣1，0），C（2，3），
∴AE＝﹣t2+2t+3，PF＝2﹣t，EP＝t﹣（﹣1）＝t+1，CF＝（﹣t2+2t+3）﹣3＝﹣t2+2t，
∴，解得t或t，
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，
∴t，
∴P（，）．
7．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x﹣1）2﹣4m，
∴抛物线顶点M的坐标为（1，﹣4m）；
∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，mx2﹣2mx﹣3m＝0，
∵m＞0，
∴x2﹣2x﹣3＝0；
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A、B两点的坐标为（﹣1，0）、（3，0）．
（2）当x＝0时，y＝﹣3m，
∴点C的坐标为（0，﹣3m）．
∴．
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD＝1，BD＝OB﹣OD＝2，
MD＝|﹣4m|＝4m．
∴S△BCM＝S△BDM+S梯形OCMD﹣S△OBC
＝3m．
∴S△BCM：S△ABC＝1：2，
故答案为：；
（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线；
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m，
∴MN＝DM﹣DN＝m．
∴CM2＝CN2+MN2＝1+m2；
在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝9+9m2，
在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝4+16m2；
①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°，那么CM2+BM2＝BC2，
即1+m2+4+16m2＝9+9m2，
解得，
∵m＞0，∴．
∴存在抛物线yx2x使得△BCM是Rt△；
②如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°，那么BC2+CM2＝BM2，
即9+9m2+1+m2＝4+16m2，
解得m＝±1，
∵m＞0，
∴m＝1；
∴存在抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使得△BCM是Rt△；
③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°，那么BC2+BM2＝CM2，
即9+9m2+4+16m2＝1+m2，整理得，此方程无解；
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在；
综上所述，存在抛物线yx2x和y＝x2﹣2x﹣3，使得△BCM是直角三角形．
8．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（﹣2，0），
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8．
（2）设M坐标为（a，﹣a2+2a+8），其中a＞0．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，8）．
∵A（4，0），C（0，8）．
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+8．
过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为（a，﹣2a+8）．
∴△ACM的面积＝△MNC的面积+△AMN的面积
＝﹣2a2+8a
＝﹣2（a﹣2）2+8，
当a＝2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为8．
（3）①当∠ACP＝90°时，点P的坐标为（1，8.5）；
②当∠CAP＝90°时，点P的坐标为（1，﹣1.5）；
③当∠APC＝90°时，点P的坐标为（1，4）或（1，4）．
9．【解答】解：（1）由于抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
将C点坐标（0，﹣3）代入，得：
a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，解得 a＝1，
则y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．
设直线AC的解析式为y＝kx+m，由题意，得
，解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PN＝PE﹣NE＝﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）＝﹣x2﹣3x．
∵S△PAC＝S△PAN+S△PCN，
∴SPN OA
3（﹣x2﹣3x）
（x）2，
∴当x时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）；
（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝y＝（x+1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），
∵A（﹣3，0），
∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2，
解得t，
所以点M的坐标为（0，）；
②当D为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2，
解得t，
所以点M的坐标为（0，）；
③当M为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20，
解得t＝﹣1或﹣3，
所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
10．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
11．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）＝﹣8，
解得a＝1，
∴该抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣4）或y＝x2﹣2x﹣8．
联立方程组：，
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交BD于点E，
设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE＝x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+3x+4．
∴S△BDP＝S△DPE+S△BPEPE （xp﹣xD）PE （xB﹣xE）PE （xB﹣xD）（﹣x2+3x+4）（x）2．
∴当x时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，）．
（3）设直线y＝x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB＝OK＝4．
∴∠OKB＝∠OBK＝45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG＝45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG＝90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG＝2DH，QG＝﹣x2+3x+4，DH＝x+1，
∴﹣x2+3x+4＝2（x+1），解得：x＝﹣1（舍去）或x＝2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ＝90°，则DH＝QH．
∴﹣x2+3x+4＝x+1，解得x＝﹣1（舍去）或x＝3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
12．【解答】解：（1）把A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）的坐标代入y＝ax2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2x+4．
（2）如图1中，作∥OC交AC于E．设P（m，m2m+4）．
∵直线AC的解析式为yx+4，
∴E（m，m+4），
∴PEm2+2m，
∴S△PAC（m2+2m）×6＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，△PAC的面积最大，
∴P（3，5）．
（3）如图2中，
∵A（6，0），P（3，5），
∴直线PA的解析式为yx+10，
①当AQ1⊥PA时，直线AQ′的解析式为yx，
∴Q1（2，）
②当PQ2⊥PA时，直线PQ2的解析式为yx，
∴Q2（2，）．
③当PQ3⊥AQ3时，设Q3（2，m），设PA的中点K（，），
则KQ3PA，
∴ ，
解得m＝1或4，
∴Q3（2，1）或（2，4），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（2，）或（2，）或（2，1）或（2，4）．
13．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）两点，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
（2）①由题意知：C（0，3），B（3，0），
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
∵E（m，﹣m2+2m+3），
∴F（m，﹣m+3），
∴EF＝﹣m2+3m．
②∵D为OC的中点，
∵C（0，3），
∴D（0，，
又∵B（3，0），
设BD的表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴，
∴G（m，，
FG，
∵EF＝FG，
∴，
∴m1＝3（舍去），，
∴E（，）．
（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴为：直线x＝1，
设P（1，a），
∵∠CPB＝90°，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC的中点M（，），
则MB＝MP，
∴，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
∴，，
∴，．
14．【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）存在，理由如下：
∵二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝x+3．
①当∠CFE＝90°时，
∵CF∥OB，可解得点F（﹣2，3），
此时点D坐标为（﹣2，0）．
②当∠ECF＝90°时，
过点F作FQ⊥y轴于点Q，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵CF⊥BC，
∴∠FCQ＝45°，即△FCQ是等腰直角三角形，
设FQ＝m，则CQ＝m，
∴F（﹣m，3+m），
∴﹣（﹣m）2﹣2（﹣m）+3＝3+m，
解得m＝1或m＝0（舍），
∴F（﹣1，4），
此时点D坐标为（﹣1，0）．
综上，点D的坐标为（﹣2，0）或（﹣1，0）．
（3）存在，理由如下：
如图，过点P作PG⊥BC于点G，过点P作直线PH∥BC，过点P作y轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M．
∵直线BC的解析式为：y＝x+3，
∴直线PH的解析式为：y＝x+t，
∵PG，
∴PN＝2，
∴直线PH的解析式为y＝x+5或y＝x+1．
联立直线PH和抛物线的解析式，得： 或，
解得： 或或 或，
∴点P坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）或（）或（）．
15．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（6，0）代入y＝x2+bx+c，得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x﹣6
（2）过P作PD⊥x轴，交BC于点E，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
设直线BC的表达式为y＝kx+b1将B（6，0），C（0，﹣6）代入，得
∴y＝x﹣6，
设P（m，m2﹣5m﹣6），E（m，m﹣6），
∴PE＝（m﹣6）﹣（m2﹣5m﹣6）＝6m﹣m2，
∴S△PBC＝S△PCE+S△PBE，
＝﹣3（m﹣3）2+27
∵﹣3＜0，
∴当m＝3时，S最大＝27，
当m＝3时，m2﹣5m﹣6＝﹣12，
∴P（3，﹣12）；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点，
由点C、B、Q的坐标得，BC2＝72，，，
当BC为斜边时，则，
解得：m，
即点Q或；
当BQ为斜边时，则，
解得：；
即点；
当CQ为斜边时，则，
解得：，
即点，
综上，点Q的坐标为：，，，
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