北师大版2024—2025学年七年级下册期中考试复习压轴题训练（含解析）

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北师大版2024—2025学年七年级下册期中考试复习压轴题训练
一、选择题
1．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（　　）
A．224 B．180 C．112 D．48
3．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．例如：因为21＝2，所以D（2）＝1；因为24＝16，所以D（16）＝4，D数有如下运算性质：D（s t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．下列说法错误的是（　　）
A．D（8）＝3
B．若D（3）＝2，D（5）＝a+b，D（15）＝2a+2b
C．若D（a）＝1，则D（a3）＝3
D．若D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+b，则D（）＝﹣a+2b
4．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　）
A．5 B．7 C．8 D．11
5．现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝10m，BC＝8m，CD＝12m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（　　）
A． B．
C．2m/s或 D．2m/s或
6．如果关于x的多项式（x+1）（x2﹣4mx+4）的结果不含x2项，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C． D．1
二、填空题
7．四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．
（1）若a＝3，b＝1，则S1＝ 　 　．
（2）若S1＝2S2，则 　 　．
8．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为　 　．
9．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝PA，过点P作PE⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为　 　．
10．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　°．
11．图①是一个长为a，宽为b的长方形，以此小长方形按图②拼成的一个大正方形和一小正方形，设小正方形ABCD的面积为S1，大正方形EFGH的面积为S2，小长方形的面积为S3．若S1S3，且S1+S2＝22，则S1＝　 　．
12．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝3，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为20，则图中阴影部分的面积和为 　 　．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D是BC上一点，BD＝3，以AD为边作等腰直角△ADE，当E恰好落在边AC上时，连接BE，则S△BDE＝　 　．
14．如图，在△ABC中，BC边上的高AD＝BD，点E为AD上的点，且DE＝DC，若S△ABD﹣S△ECD＝20，则图中阴影部分面积为 　 　．
15．如图．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．若∠A＝50°，∠D＝150°，则∠APD的度数为 　 　.
16．x2﹣（m﹣2）x+9是完全平方式，则常数m＝　 　．
三、解答题
17．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1
∴a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（6﹣x）（7﹣x）＝8，则（6﹣x）2+（7﹣x）2＝　 　．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，则图中阴影部分面积是 　 　．
18．如图，AB⊥AK，点A在直线MN上，AB、AK分别与直线EF交于点B、C，∠MAB+∠KCF＝90°．
（1）如图1，求证：EF∥MN；
（2）如图2，作∠CBA与∠BCA的角平分线交于点G，求∠G的度数；
（3）如图3，作∠NAB与∠ECK的角平分线交于点H，请问∠H的值是否为定值，若为定值请求出定值，若不是，请说明原因．
19．已知，（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，求：
（1）（2﹣1）（2+1）（22+1）＝　 　；
（2）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；
（3）求2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（332+1）结果的个位数字．
20．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．
（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
21．已知△ABC为等边三角形，∠BCE＝60°，D为BC上一点，CD＝CE，连接AD．
（1）如图1，求证：BE＝AD；
（2）如图2，延长AD交BE于点F，在AF上取点M，使AM＝BF，连接CF，CM，求证：AF＝BF+CM；
（3）如图3，已知∠PCB＝60°，Q为射线CP上一点，连接BQ，∠MBQ＝60°，BM＝BQ，连接AM，若△BMN的面积为S1，△CQB的面积为S2，△ACN的面积为S3，求证：S1+S2＝S3．
22．如图，已知AB∥CD，点P为平面内一点，过点P作射线PM、PN，PM与AB相交于点F，PN与CD相交于点E．
（1）如图1，当点P在直线AB、CD之间区域内时，若∠AFM＝65°，∠PED＝30°，求∠MPN的度数；
（2）分别在∠AFM、∠CEP的内部作射线FG、EG交于点G，使得．且n为整数）．
①如图2，当点P在直线AB、CD之间区域内时，EG与AB交于点H，若n＝3，∠G＝50°，求∠P的度数；
②如图3，当点P在直线AB上方时，请直接写出∠P与∠G的数量关系（用含n的式子表示）．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C B B D C
1．【解答】解：连接CP，
设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．
∵BD：DC＝2：1，E为AC的中点，
∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，
∵BD：DC＝2：1，CE：AC＝1：2，
∴△ABP的面积是4x．
∴4x+x＝2y+x+y，
解得yx．
又∵4x+x，
x．
则四边形PDCE的面积为x+y．
故选：B．
2．【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
故选：C．
3．【解答】解：∵29＝512，
∴D（512）＝9．
∴A选项的结论正确，不符合题意；
∵若D（a）＝1，
∴a＝21＝2，
∴a3＝23，
∴D（a3）＝3，
∴C选项的结论正确，不符合题意；
∵D（15）＝D（3×5）＝D（3）+D（5）＝2+a+b，
∴B选项的结论不正确，符合题意；
∵D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+b，
则D（）＝D（5）﹣D（3）＝（a+b）﹣（2a﹣b）＝﹣a+2b，
∴D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B．
4．【解答】解：∵H是高MQ和NR的交点，
∴∠P+∠PMQ＝90°，∠PMQ+∠RHM＝90°，∠QHN+∠HNQ＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠P＝∠QHN，
在△PMQ与△HNQ中，
，
∴△PMQ≌△HNQ（AAS），
∴PQ＝HQ，MQ＝QN，
∵MH＝3，PQ＝2，
∴MQ＝NQ＝MH+HQ＝MH+PQ＝3+2＝5，
∴PN＝PQ+QN＝2+5＝7，
故选：B．
5．【解答】解：∵AB＝10m，E是AB边的中点，
∴BE＝5m，
∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等，
∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ，
当BP＝CQ，BE＝CP时，
∵BE＝5m，BC＝8m，
设运动时间为t，8﹣2t＝5，解得，
∴，
此时妞妞的运动速度为：m/s，
当CP＝BP，BE＝CQ时，，t＝2，
此时CQ＝5，妞妞的运动速度为：，
故选：D．
6．【解答】解：（x+1）（x2﹣4mx+4）
＝x3﹣4mx2+4x+x2﹣4mx+4
＝x3﹣（4m﹣1）x2+（4﹣4m）x+4．
∵关于x的多项式（x+1）（x2﹣4mx+4）的结果不含x2项，
∴4m﹣1＝0．
∴m．
故选：C．
二、填空题
7．【解答】解：（1）由题意可得：空白部分的面积S1为2个直角三角形（直角边为a、a+b），2个直角三角形（直角边为a、b）和中间正方形（边长为a﹣b）的面积和，
∴
＝ab+b2+ab+a2﹣2ab+b2
＝a2+2b2，
∵a＝3，b＝1，
∴，
故答案为：11；
（2）由（1）得：，
∵大正方形的面积为，
∴，
又∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理得：（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，即，
故答案为：．
8．【解答】解：延长AB交l2于E，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥CD，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝150°．
故答案为：150°．
9．【解答】解：∵PF∥BQ，
∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
∵在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴DEAC，
∵AC＝10，
∴DEAC＝5．
故答案为：5．
10．【解答】解：∵AD∥CB，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，
即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，
∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．
∵∠H＝∠D＝90°，
∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，
∴∠GMN＝72°．
故答案为：72．
11．【解答】解：由图可得：大正方形EFGH的面积＝小正方形ABCD的面积+4×小长方形的面积，即S2＝S1+4S3，
∵S1S3，
∴S3S1，
∵S1+S2＝22，
∴S2＝22﹣S1，
∴22﹣S1＝S1+4S1，
解得S1＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：设CF＝a，BC＝b，
由题意得，FC＝6﹣x，BC＝3+x，
即a＝6﹣x，b＝3+x，
∵长方形CBQF的面积为20，
∴ab＝（6﹣x）（3+x）＝20，
又∵a+b＝（6﹣x）+（x+3）＝9，
∴
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝92﹣2×20
＝41，
∴阴影部分的面积和为41．
13．【解答】解：如图，作AF⊥AB交BC 于F，连接EF，
∴∠BAD+∠DAF＝∠FAE+∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，
∴AB＝AF，∠ABC＝AFB＝45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
∴△ABD≌△AFE（SAS），
∴EF＝BD＝3，∠AFE＝∠ABC＝45°，
∴∠BFE＝90°，
∴．
故答案为：．
14．【解答】解：∵S阴影＝S△ABC﹣S△BCEAD BCDE BCBC（AD﹣DE）＝BC AE，
S△ABD﹣S△ECDBD ADDE CDBD2CD2（BC﹣CD）2CD2BC2﹣BC CDCD2CD2BC（BC﹣2CD）BC（BD﹣CD）BC（AD﹣DE）BC AE，
∴S阴影＝S△ABD﹣S△ECD＝20，
故答案为：20．
15．【解答】解：过P作PK∥AB，
∵AB∥CD，
∴PK∥CD，
∴∠APK＝∠A＝50°，∠D+∠DPK＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠DPK＝30°，
∴∠APD＝∠APK+∠DPK＝50°+30°＝80°．
故答案为：80°．
16．【解答】解：∵x2﹣（m﹣2）x+9是完全平方式，
∴﹣（m﹣2）x＝±2 x 3，
解得：m＝8或﹣4．
故答案为：8或﹣4．
三、解答题
17．【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，
又∵x2+y2＝40，
∴2xy＝24，
∴xy＝12；
（2）∵（6﹣x）（7﹣x）＝8，
∴（6﹣x）2+（7﹣x）2
＝[（6﹣x）﹣（7﹣x）]2+2（6﹣x）（7﹣x）
＝（6﹣x﹣7+x）2+2×8
＝（﹣1）2+16
＝1+16
＝17，
故答案为：17；
（3）设AC＝m，CB＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S1+S2＝18，
∴m2+n2＝18，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝18+2mn，
∴mn＝9，
∴，
故答案为：．
18．【解答】（1）证明：∵AB⊥AK，
∴∠MAB+∠NAC＝90°，
又∵∠MAB+∠KCF＝90°，
∴∠NAC＝∠KCF，
∴MN∥EF．
（2）解：∵AB⊥AK，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CBA+∠ACB＝90°，
∵BG平分∠CBA，
∴，
同理，
∴，
∴∠BGC＝180°﹣（∠CBG+∠BCG）＝135°．
（3）解：∠H的值是为定值．
设∠MAB＝x，
则∠ABC＝x，∠KCF＝90﹣x，
∵AH平分∠BAN，
∴，
∴，
同理，
∴∠H＝45°．
19．【解答】解：（1）（2﹣1）（2+1）（22+1）＝（22﹣1）（22+1）＝24﹣1＝15；
故答案为：15；
（2）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1；
（3）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（332+1）
＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）（332+1）
＝（316﹣1）（316+1）（332+1）
＝（332﹣1）（332+1）
＝364﹣1；
∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，...，
可知3n的个位数呈3、9、7、1...循环，
64÷4＝16，
∴364的个位数是1，
∴364﹣1的个位数是0．
即2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（332+1）结果的个位数字是0．
20．【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥MN．
∵MN∥GH．
∴PE∥MN∥GH．
∵PB平分∠DBA．
∴∠DBP∠MBA＝40°．
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝∠DBP＝40°（两直线平行，内错角相等）．
同理可证．．
∴∠BPC＝40°+25°＝65°．
（2）如图2，过点P作PE∥MN．
∵∠MBA＝80°．
∴∠DBA＝180°﹣80°＝100°．
∵BP平分∠DBA．
∴．
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝180°﹣∠DBP＝130°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵PC平分∠DCA．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BPC＝130°+25°＝155°．
（3）如图3，过点P作PE∥MN．
∵BP平分∠DBA．
∴∠DBP＝40°＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）．
∴CP平分∠DCA．∠DCA＝180°﹣∠DCG＝130°．
∴．
∴∠CPE＝180°﹣∠PCA＝115°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠BPC＝40°+115°＝155°；
如图4，同理得：∠ACF＝∠GCP＝65°，∠PEC＝∠DBP＝40°，
∴∠BPC＝∠GCP﹣∠PEC＝65°﹣40°＝25°；
如图5，∠AOC＝∠HAO﹣∠HCO＝80°﹣65°＝15°＝∠BOP，
∴∠BPC＝∠EBP﹣∠BOP＝40°﹣15°＝25°；
综上，∠BPC的度数为25°或155°．
21．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠BCE，
又∵CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵AC＝BC，AM＝BF，
∴△ACM≌△BCF（SAS），
∴CM＝CF，∠ACM＝∠BCF，
∴∠ACM+∠MCD＝∠BCF+∠MCD，
∴∠ACB＝∠MCF＝60°，
∴△MCF是等边三角形，
∴CM＝MF，
∴AF＝AM+MF＝BF+CM；
（3）如图3，在CB上截取CH＝CQ，连接AH，
∵AC＝BC，∠ACB＝∠PCB＝60°，CH＝CQ，
∴△ACH≌△BCQ（SAS），
∴BQ＝AH，∠CQB＝∠AHC，S2＝S△BCQ＝S△ACH，
∵BQ＝BM，
∴BM＝AH，
在△BCQ中，∠BCQ+∠CQB+∠CBQ＝180°，
又∵∠BCQ＝∠QBM＝60°，
∴∠CQB+∠CBQ+∠QBM＝180°，
∴∠CQB+∠CBM＝180°，
又∵∠AHB+∠AHC＝180°，
∴∠AHB＝∠CBM，
又∵∠ANH＝∠MNB，
∴△ANH≌△MNB（AAS），
∴S1＝S△ANH＝S△BNM，
∴S1+S2＝S3．
22．【解答】解：（1）过点P作PQ∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠MPQ＝∠AFM，∠NPQ＝∠PED，
∴∠MPQ+∠NPQ＝∠AFM+∠PED，
即∠MPN＝∠AFM+∠PED，
∵∠AFM＝65°，∠PED＝30°，
∴∠MPN＝∠AFM+∠PED＝65°+30°＝95°；
（2）①过点G作GH∥AB，如图2所示：
当n＝3时，∠MFG∠AFM，∠PEG∠PEC
∴∠AFM＝3∠MFG，∠PEC＝3∠PEG，
设∠MFG＝α，∠PEG＝β，
∴∠AFM＝3α，∠PEC＝3β，
∴∠AFG＝∠AFM﹣∠MFG＝2α，∠CEG＝∠PEC﹣∠PEG＝2β，
∴∠PED＝180°﹣∠PEC＝180°﹣3β，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGF＝∠AFG＝2α，∠HGE＝∠CEG＝2β，
由（1）可知：∠MPN＝∠AFM+∠PED＝3α+180°﹣3β＝180°﹣3（β﹣α），
∴∠FGE＝∠HGE﹣∠HGF＝2（β﹣α），
∵∠FGE＝50°，
∴2（β﹣α）＝50°，
∴β﹣α＝25°，
∴∠MPN＝180°﹣3（β﹣α）＝105°；
②∠MPN与∠G的数量关系是：∠MPN∠G＝180°，理由如下：
延长GF到T，过点P作PR∥AB，如图3所示：
∵∠MFG∠AFM，∠PEG∠PEC，
∴∠AFM＝n∠MFG，∠PEC＝n∠PEG，
设∠MFG＝α，∠PEG＝β，
∴∠AFM＝nα，∠PEC＝nβ，
∴∠AFG＝∠AFM﹣∠MFG＝（n﹣1）α，∠CEG＝∠PEC﹣∠PEG＝（n﹣1）β，
∴∠PFT＝∠AFG＝（n﹣1）α，∠PED＝180°﹣∠PEC＝180°﹣nβ，
∵PR∥AB，AB∥CD，
∴PR∥AB∥CD，
∴∠RPE＝∠PED＝180°﹣nβ，∠RPM＝∠AFM＝nα，
由（1）可知：∠G＝∠PFT+∠CEG＝（n﹣1）α+（n﹣1）β＝（n﹣1）（α+β），
∴α+β∠G，
∴∠MPN＝∠RPE﹣∠RPM＝180°﹣nβ﹣nα＝180°﹣n（α+β），
∴∠MPN＝180°﹣n ∠G，
∴∠MPN∠G＝180°．
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