江苏省南京市雨花台中学2024-2025苏科版七年级下数学第5周阶段性训练试卷(含详解)

江苏省南京市雨花台中学2024-2025苏科版七下数学第5周阶段性训练
一．选择题（共3小题）
1．设a＝﹣0.32，b＝﹣32，c＝（﹣）﹣2，d＝（﹣）0，则a，b，c，d的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．a＜b＜d＜c
2．下列命题中，真命题是（　　）
A．如果a2＝b2，那么a＝b．
B．三角形的三条高线交于一点
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补
3．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是（　　）
A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共10小题）
4．若24+24＝2a，35+35+35＝3b，则a﹣b的值为 　 　．
5．5811的个位数字为 　 　．
6．已知5a＝4，5b＝6，5c＝9，则a，b，c之间满足的等量关系是 　 　．
7．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　 　cm．
8．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．若∠ABC＝45°，∠DFE＝50°，则∠BAC＝　 　°．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD＝　 　．
10．如图，AB∥DP，AP∥CD．若∠B+∠C＝124°，则∠P＝　 　°．
11．如图，P是∠BAC内一点，∠ABP＝37°，∠ACP＝25°，过点P作直线EF，交AB，AC分别于E，F．若∠BEP＝∠BPC＝∠PFC，则∠BAC＝　 　°．
12．若a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝　 　．
13．若23+43+63+83+103+123+143+163+183＝16200，则33+63+93+123+153+183+213+243+273＝　 　．
三．解答题（共3小题）
14．【概念学习】我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD、BE叫∠ABC的角三分线．其中BD是“邻AB角三分线”，BE是“邻BC角三分线”．
【概念理解】（1）如图2，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝65°，若∠C的角三分线CD交AB于点D，则∠ADC＝　 　．
【概念应用】（2）如图3，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB角三分线和∠ACB邻AC角三分线，若∠BPC＝100°，求∠A的度数；
【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ABD是△ABC的外角，∠C的角三分线与∠ABD的角三分线交于点P，若∠A＝m°，∠C＝n°，请直接写出分类情况和相应的∠BPC的度数．
15．从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．
（1）如图1，AB∥CD，点E为AB、CD之间的一点．求证：∠1+∠MEN+∠2＝360°；
（2）如图2，AB∥CD，点E、F、G、H为AB、CD之间的四点．则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　 　；
（3）如图3，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠n＝　 　．
16．【问题提出】
如图1，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，边长为a的正方形EFGH的边EF在射线AD上移动，BG交射线AP于点M．探索S△GMF，S△BMD与S长方形ABCD之间的数量关系．
【问题思考】
特殊化，如图2，当D，F重合时，．
【问题解决】
一般化，
（1）如图3，当M在AD上，说明．
（2）如图4，当M在DP上，猜想S△GMF，S△BMD与S长方形ABCD之间的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【解答】解：∵a＝﹣0.09，b＝﹣9，c＝32＝9，d＝1，
又∵﹣9＜﹣0.09＜1＜9，
∴b＜a＜d＜c．
故选：C．
2．【解答】解：A、如果a2＝b2，那么a＝±b，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、三角形的三条高所在的直线交于一点，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补，是真命题，符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故正确；
④无法证明CA平分∠BCG，故错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故正确；
②∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴，
∴∠CGE＝2∠DFB，
∴，故正确．
∴正确的为：①②③，
故选：C．
二．填空题（共10小题）
4．【解答】解：∵24+24＝2a，35+35+35＝3b，
∴2a＝2×24＝25，3b＝3×35＝36．
∴a＝5，b＝6．
∴a﹣b＝5﹣6＝﹣1．
故答案为：﹣1．
5．【解答】解：∵8的一次方尾数是8，
8的二次方尾数是4，
8的3次方尾数是2，
8的四次方尾数是6，
8的5次方尾数是8，
……
∴尾数四个一循环，次序8、4、2、6．
∵11÷4＝2……3，
∴5811的个位数字为：2．
故答案为：2．
6．【解答】解：∵5a＝4，5b＝6，5c＝9，
∴4×9＝62，
∴5a 5c＝（5b）2，
∴5a+c＝52b，
∴a+c＝2b，
故答案为：a+c＝2b．
7．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
8．【解答】解：∵∠EDF是△ABD的一个外角，
∴∠EDF＝∠1+∠ABD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EDF＝∠2+∠ABD＝∠ABC，
即∠ABC＝∠EDF；
∵∠DEF是△ACE的一个外角，
∴∠DEF＝∠3+∠CAE，
∵∠1＝∠3，
∴∠DEF＝∠1+∠CAE＝∠BAC，
得∠EDF＝∠ABC＝45°，
∵∠DFE＝50°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠DFE＝85°，
即∠BAC＝85°．
故答案为：85．
9．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵∠B﹣∠A＝10°，
∴∠A＝40°，∠B＝50°，
设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，
由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，
当∠DFE＝∠E＝40°时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，
∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴140﹣x＝100+40+x，
解得x＝0（不存在）；
当∠FDE＝∠E＝40°时，
∴140﹣x＝40+40+x，
解得x＝30，
即∠ACD＝30°；
当∠DFE＝∠FDE时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，
∴∠FDE＝＝70°，
∴140﹣x＝70+40+x，
解得x＝15，
即∠ACD＝15°，
综上，∠ACD＝15°或30°，
故答案为：15°或30°．
10．【解答】解：延长AP交BC于点E，如图，
∵AB∥DP，AP∥CD，
∴∠A＝∠APD，∠C＝∠AEB，
∵∠B+∠C＝124°，
∴∠B+∠AEB＝124°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠AEB）＝56°，
∴∠APD＝56°．
故答案为：56．
11．【解答】解：如图，连接BC，
由题意知，∠BAC+∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP＝180°，
∴∠PBC+∠PCB＝118°﹣∠BAC，
∵∠BEP＝∠BPC＝∠PFC，
∴，，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴，
解得∠BAC＝56°，
故答案为：56．
12．【解答】解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝13．
13．【解答】解：∵23+43+63+83+103+123+143+163+183
＝23×（13+23+33+……+93）
＝
＝16200，
∴33+63+93+123+153+183+213+243+273
＝33×（13+23+33+……93）
＝
＝54675．
故答案为：54675．
三．解答题（共3小题）
14．【解答】解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝65°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣55°﹣65°＝60°，
①当CD是“邻AC三分线”时，∠BCD＝∠ACB＝×60°＝40°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝40°+65°＝105°；
②当CD是“邻BC三分线”时，∠BCD＝∠ACB＝×60°＝20°，
∠ADC＝∠BCD+∠B＝20°+65°＝85°；
综上所述，∠ADC为85°或105°，
故答案为：85°或105°；
（2）∵BP、CP分别是∠ABC邻AB角三分线和∠ACB邻AC角三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵∠BPC＝100°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣100°＝80°，
∵∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB），
∴（∠ABC+∠ACB）＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣120°＝60°；
（3）分为四种情况：
①如图1，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∠PCB＝∠ACB＝n°，
由题意得：∠PBD＝∠ABD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PBD﹣∠PCB＝（m°+n°）﹣n°＝m°；
②如图2，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻BC三分线”时，
∠PCB＝∠ACB＝n°，
由题意可知：∠PBD＝∠ABD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PBD﹣∠PCB＝（m°+n°）﹣n°＝；
③如图3，当BP和CP分别是“邻BD三分线”、“邻AC三分线”时，
当m°＞n°时，如图3，
∠PCB＝∠ACB＝n°，
由外角可得：∠PBD＝∠ABD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PBD﹣∠PCB＝（m°+n°）﹣n°＝；
当m°＜n°时，如图4，
∠FCB＝∠ACB＝n°，
由题意得：∠DBE＝∠PBC＝∠ABD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠FCB﹣∠PBC＝n°﹣（m°+n°）＝；
④如图5，当BP和CP分别是“邻BD三分线”、“邻BC三分线”时，
∠PCB＝∠ACB＝n°，
由题意得：∠PBD＝∠ABD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PBD﹣∠PCB＝（m°+n°）﹣n°＝m°；
综合上述，∠BPC的度数是m°或或或或m°．
15．【解答】（1）证明：过点E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠1+∠MEF＝180°，
同理∠2+∠NEF＝180°，
∴∠1+∠2+∠MEN＝360；
（2）解：过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，
∵CD∥AB，
∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，
∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．
故答案为：900°；
（3）解：同（2）理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1）．
故答案为：180°（n﹣1）．
16．【解答】（1）证明：在△BMA和△GMF中，
，
∴△BMA≌△GMF（AAS），
∴S△BMA＝S△GMF，
∴，
∴；
（2）解：．理由如下：
同（1）可知△BMA≌△GMF（AAS），则S△BMA＝S△GMF，
∴，
∴．