2024-2025学年云南省曲靖市宣威市第十中学高二上学期期末学业水平检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年宣威市第十中学高二上学期期末学业水平检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.双曲线上一点到它的一个焦点的距离为，那么点到另一个焦点的距离为( )
A. B. C. 或 D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知空间四边形的四个顶点，，，的坐标分别为，，，，若为平面上的一个动点，则当，且，的夹角取得最小值时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若为虚数单位，在复平面内对应的点为，则( )
A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D.
10.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
11.我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，两个定点，，，是平面上的两个动点，设满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，则( )
A. 关于轴、轴对称
B. 当不在轴上时，
C. 当时，纵坐标的最大值大于
D. 当，有公共点时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则的取值集合是 ．
13.已知为等差数列的前项和，若，，则 ．
14.已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，为边的中点，求的长．
16.本小题分
已知圆经过点，，半径为．
求圆的标准方程；
当位于轴右侧时，若直线经过点，且与圆交于，两点，且，求的方程．
17.本小题分
已知首项为的数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
如图所示，在平面图形中，已知，，，，现在将梯形沿着折起到空间一个新位置使得，连接，得到直观图，如图所示．
求证：；
试在线段上求一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．
19.本小题分
已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点．
求点到的焦点之间的距离；
证明：直线过定点．
参考答案
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15.解：，
由正弦定理得，
，
由于
，
故
，
所以，
因为，所以，
故，，
因为，所以；
为边的中点，
故，
两边平方得
，
又，，，
所以，
故．

16.由题意可知：圆心在直线上，半径，
设，因为，解得，
所以圆的标准方程为．
若圆心位于轴右侧，则，圆的标准方程为，
由题意可知：圆心到直线的距离，
又因为直线经过点，
若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线，即，
则，解得，
此时直线；
综上所述：的方程为或．

17.因为，可得，
且，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，可得，
当时，，
且符合上式，所以．
由可知：，
可得
，
所以．

18.取的中点，连接，
由题意可知：，且，可知为平行四边形，
则，且，
因为，则，
又因为，，则，
即，则，
且，则，即，
又因为，平面，可得平面，
且平面，可得，
由可得，
且，平面，可得平面，
由平面，所以．
以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，
可得，
设平面的法向量，则
令，则，可得，
由题意可知：平面的法向量，
则，解得或舍去，
所以点为线段的中点．

19.因为为抛物线：上一点，
则，即，
可知抛物线：的焦点为，准线为，
所以点到的焦点之间的距离．
由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为，
设直线，，
联立方程，消去可得，
则，可得，
由题意可知：，则，
则，整理可得，
则，即，
所以直线过定点．

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