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第七章 万有引力与宇宙航行
第7.1节 行星的运动
学习目标
1.了解人类对行星运动规律的认识历程。
2.知道行星绕太阳运动的原因，知道引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力。
3.认识科学探究的过程，通过对原有观念和模型的不断修正，使其逐步接近真实的物理规律。
知识点一 人类对行星运动规律的认识
阅读教材“科学漫步”，关于托勒密的地心说的观点，思考下列问题：
(1)地心说的基本观点是什么？它是怎样解释天体运动的？
(2)托勒密模型为什么能流传1 000多年？
(3)我们知道“日心说”比“地心说”要准确一些，那么日心说是完全正确的吗？
1.地心说： 是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕 运动。代表人物 。
2.日心说： 是静止不动的，地球和其他行星都绕 运动。代表人物 。
3.局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的 ，而与丹麦天文学家第谷的观测数据不符。
例1 (多选)人类对行星运动规律的认识有两种学说，下列说法正确的是( )
A.地心说的代表人物是“托勒密”
B.地心说的代表人物是“亚里士多德”
C.日心说的代表人物是“开普勒”
D.地心说和日心说都有其局限性
训练1（多选）探索宇宙的奥秘，一直是人类孜孜不倦的追求．下列说法正确的是（ ）
A．地球是宇宙的中心，太阳，月球及其他行星都绕地球运动
B．太阳静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
C．地球是绕太阳运动的一颗行星
D．日心说和地心说都是错误的
训练2物理学发展历程中，在前人研究基础上经过多年的尝试性计算，首先发表行星运动的三个定律的科学家是（ ）
A．托勒密 B．哥白尼 C．第谷 D．开普勒
知识点二 开普勒定律
我们生活的地球自转的同时还绕太阳公转，从而造成四季变换，如图所示为地球绕太阳运动的示意图及北半球春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置。
太阳是否在轨道中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相等？
1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在 的一个 上。开普勒第一定律又叫轨道定律。
2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 相等。开普勒第二定律又叫面积定律。
注意：“在相等的时间内，行星与太阳连线扫过的面积相等”是对于同一颗行星而言的，对不同行星则不成立。
3.开普勒第三定律：所有行星轨道的 跟它的 的比都相等。其表达式为＝k，其中a代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星绕太阳公转的周期，k是对所有行星都相同的常量。开普勒第三定律也叫周期定律。该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动(注意k值不同)。
【思考】
1.开普勒第一定律说明了行星运动轨迹的形状，那不同的行星绕太阳运行时椭圆轨道相同吗？
2.行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上，则行星在远日点的速率与在近日点的速率谁大？
3.开普勒第三定律中的常量k可能与谁有关？
例2 (教材P45图7.1－1改编)如图所示，焦点为F1和F2的椭圆表示火星绕太阳运行的轨道，已知火星运行到A点的速率比运行到B点的速率大，则根据开普勒定律可知，太阳应位于( )
A.A处 B.B处
C.F1处 D.F2处
训练1关于太阳系各行星的运动，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
B．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
C．行星在近日点的速率比远日点的速率大
D．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于行星轨道的中心处
训练2（多选）开普勒行星运动定律是我们学习、研究天体运动的基础。下列关于开普勒三定律的理解正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道是标准的圆形
B．太阳处在绕它运动的行星轨道的一个焦点上
C．所有行星与太阳的连线，在相同时间内扫过的面积相等
D．所有行星轨道半长轴的三次方与周期的平方之比都相同
例3 “天问一号”成功被火星捕获，成为火星的人造卫星。这也拉开了我国探索火星的序幕。结合开普勒行星运动定律，判断下列对火星的说法正确的是( )
A.太阳位于火星运行轨道的中心
B.火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星和地球公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
训练1关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆中心
B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等
C．表达式中，月球绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同
D．该定律是在牛顿运动定律的基础上推导出来的
训练2（多选）根据德国天文学家开普勒的行星运动三定律，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的中心
B．行星在椭圆轨道上运动时，任意相等的时间内走过的弧长都相等
C．由开普勒第二定律可知，行星离太阳越近，速度越大
D．开普勒第三定律公式中的k值，只与中心天体有关
知识点三 开普勒定律的应用
1.当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律。
2.由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，所有行星 的三次方跟它的公转周期T的二次方的 ，即＝k或＝。
角度1 开普勒第二定律的应用
例4 (2024·上海卷)如图所示，太阳系中木星沿着椭圆轨道绕太阳运行，其中a、c为椭圆长轴上的两个端点，b、d为椭圆短轴上的两个端点。木星绕太阳的运行周期为T。某时刻木星沿逆时针绕过a点，从该时刻起，经过后，木星位于( )
A.ab间 B.b点
C.bc间 D.c点
训练1如图所示，嫦娥六号在环月轨道上沿图中箭头方向作周期性椭圆运动，只考虑其受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴，cd为椭圆轨道短轴，若某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的（ ）
A．b点 B．d点 C．bd之间 D．ad之间
训练2某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，E和F是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速度比在B点的速度大，则太阳位于（ ）
A．F点 B．E点 C．B点 D．A点
角度2 开普勒第三定律的应用
例5 (教材P48T1改编)地球公转轨道的半径在天文学上被作为长度单位，叫天文单位，用来度量太阳系内天体与太阳的距离。已知火星的公转轨道半径是1.5天文单位，那么，火星的公转周期大约是( )
A.478天 B.548天
C.668天 D.821天
训练1紫金山-阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为（ ）
A． B． C． D．
训练2如图所示，已知彗星的近日点接近火星轨道，远日点接近木星轨道，火星、木星的公转轨道半径分别为地球公转轨道半径的p倍和q倍，则南山—哈恩彗星的运动周期为（ ）
A．年 B．年 C．年 D．年
基础练习
1.(地心说和日心说)自古以来，当人们仰望星空时，天空中壮丽璀璨的景象便吸引了人们的注意，人类用智慧的头脑不断地探索星体运动的奥秘。下列对星体运动认识的叙述中符合现代认识观点的是( )
A.人们观测到太阳每天都要东升西落，这说明地球是静止不动的，是宇宙的中心
B.人们观测到行星绕太阳做圆周运动，这说明太阳是静止不动的，是宇宙的中心
C.人们认为天体的运动是神圣的，因此天体的运动是最完美、最和谐的匀速圆周运动
D.开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，得出了行星绕太阳运动的轨道是椭圆的结论
2.(开普勒定律的理解)地球沿椭圆轨道绕太阳运行，月球沿椭圆轨道绕地球运行。下列说法正确的是( )
A.地球位于月球运行轨道的中心
B.地球在近日点的运行速度大于其在远日点的运行速度
C.地球与月球公转周期二次方之比等于它们轨道半长轴三次方之比
D.相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积等于月球与地球连线扫过的面积
3.(开普勒第二定律的应用)(多选)如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，A为远日点，离太阳的距离为a，B为近日点，离太阳的距离为b，行星过远日点时的速率为va，过近日点时的速率为vb。已知图中的两个阴影部分的面积相等，则( )
A.vb＝va
B.vb＝va
C.行星从A到A′的时间小于从B到B′的时间
D.太阳一定在该椭圆的一个焦点上
4.(开普勒第三定律的应用)2022年11月9日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为( )
A.R0 B.R0
C.R0 D.R0
5.如图所示，在下列四个节气时，地球绕太阳公转速度最大的是（ ）
A．春分 B．夏至 C．秋分 D．冬至
6.天文爱好者在赤道上观察一颗绕地球做圆周运动的低轨道卫星，其轨道半径是地球同步卫星轨道半径的，已知天文爱好者随地球自转的向心加速度为a，地球半径为R，则这颗低轨道卫星运行的周期为（ ）
A． B．
C． D．
对点题组练
题组一 人类对行星运动规律的认识
1.在物理学发展历史中，许多物理学家都做出了卓越的贡献。以下关于物理学家所做科学贡献的叙述中，正确的是( )
A.托勒密认为地球是宇宙的中心，是静止不动的
B.伽利略提出了“日心说”
C.牛顿提出了“日心说”
D.哥白尼发现了行星运动三大定律
题组二 开普勒定律
2.火星和地球都绕太阳运动，已知火星离太阳较远，下列说法正确的是( )
A.火星和地球绕太阳运动的速率是不变的
B.火星和地球在同一椭圆轨道上运动
C.火星公转周期比地球公转周期大
D.火星轨道半长轴比地球轨道半长轴小
3.(多选)关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( )
A.地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点速率小于远日点运行的速率
B.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
C.椭圆轨道的半长轴为a，公转周期为T，则比值为常数
D.若图中两阴影部分行星运动时间相等，则右侧面积大于左侧面积
题组三 开普勒定律的应用
4.太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运行的周期也不相同。下列反映公转周期T与行星轨道半长轴a的关系图像中正确的是( )
5.若某颗地球卫星P的轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A.2∶1 B.4∶1
C.8∶1 D.16∶1
6.(2024·广东肇庆高一期末)如图所示，“天问一号”从地球飞向火星时的转移轨道又叫霍曼转移轨道。霍曼转移轨道是与火星和地球公转轨道均相切的椭圆轨道，其切点分别为P、Q。已知地球公转周期为T1，火星公转周期为T2，“天问一号”从霍曼转移轨道P点运动到Q点所用的时间为t，则( )
A.t< B.t>
C.7.2023年11月1日6时50分，我国在太原卫星发射中心成功将天绘五号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。天绘五号卫星在轨道上做匀速圆周运动的周期为T，月球绕地球公转周期为T0，则“天绘五号”卫星与月球的轨道半径之比为( )
A. B.
C. D.
8.已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为R1和R2(公转轨道近似为圆)，如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则地球和火星绕太阳公转过程中与太阳连线扫过的面积速率之比是( )
A. B.
C. D.
综合提升练
9.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列四幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg，纵轴是lg，这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列四幅图中，正确的是( )
10.如图所示，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB；C为绕地球沿圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC。下列说法或关系式正确的是( )
A.地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上
B.卫星B和卫星C运动的速度大小均不变
C.＝，该比值的大小与地球和卫星有关
D.≠，该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关
11.(2024·山东卷，5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A. B.
C. D.
12.关于物理学发展，下列表述正确的是（ ）
A．哥白尼提出了“地心说”，认为地球位于宇宙的中心
B．卡文迪什提出了万有引力定律，并利用扭秤装置较准确地测出了引力常量
C．第谷通过对天体运动的长期研究，发现了行星运动三定律
D．经典力学是许多科学家经过艰苦探索才完成的科学理论，但实践证明，经典力学只适用于宏观、低速的情况
13．假如某天地球加速绕太阳沿椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R（R为加速前地球绕太阳做圆周运动时与太阳间的距离），地球距太阳的最远距离为7R，则地球的公转周期变为（ ）
A．2年 B．4年 C．6年 D．8年
培优加强练
14.(2024·湖南长沙雅礼中学高一月考)位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜，通过FAST可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若将地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为( )
A.(1＋k2)年 B.(1＋k2)年
C.(1＋k2)年 D.k年
15.嫦娥六号绕月球运行的椭圆轨道如图所示，月球位于椭圆的焦点上。假设每隔时间记录一次嫦娥六号的位置，记录点如图所示，已知为椭圆轨道的中心，、分别为椭圆的长轴和短轴，的距离为，的距离为，且满足，椭圆的面积公式为，则嫦娥六号从运动到所需的最短时间（ ）
A． B． C． D．
16．2024年7月5日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将天绘五号02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星的轨道高度为h，地球半径为R，月球绕地球运行的轨道半径为r，周期为T，忽略地球自转的影响，该卫星的运行周期为（ ）
A． B．
C． D．
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第七章 万有引力与宇宙航行
第7.1节 行星的运动
学习目标
1.了解人类对行星运动规律的认识历程。
2.知道行星绕太阳运动的原因，知道引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力。
3.认识科学探究的过程，通过对原有观念和模型的不断修正，使其逐步接近真实的物理规律。
知识点一 人类对行星运动规律的认识
阅读教材“科学漫步”，关于托勒密的地心说的观点，思考下列问题：
(1)地心说的基本观点是什么？它是怎样解释天体运动的？
(2)托勒密模型为什么能流传1 000多年？
(3)我们知道“日心说”比“地心说”要准确一些，那么日心说是完全正确的吗？
提示 (1)地心说认为地球是静止不动的，太阳、月亮及其他行星都围绕地球运动。地球是宇宙的中心，月亮、太阳及各个行星围绕着地球在大小不同的轨道上运动。
(2)托勒密模型符合人们坐地观天的习惯，在当时，能较好地预报行星的位置、日食和月食，也能顺利地解释许多天文现象，是西方古代天文学的研究基础。
(3)日心说也并不是完全正确的，因为太阳只是太阳系的一个中心天体，而太阳系只是宇宙中众多星系之一，所以太阳并不是宇宙的中心，也不是静止不动的。
1.地心说：地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕地球运动。代表人物托勒密。
2.日心说：太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。代表人物哥白尼。
3.局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而与丹麦天文学家第谷的观测数据不符。
例1 (多选)人类对行星运动规律的认识有两种学说，下列说法正确的是( )
A.地心说的代表人物是“托勒密”
B.地心说的代表人物是“亚里士多德”
C.日心说的代表人物是“开普勒”
D.地心说和日心说都有其局限性
答案 AD
解析 地心说的代表人物是“托勒密”，日心说的代表人物是“哥白尼”，故A正确，B、C错误；地心说和日心说都有其局限性，故D正确。
训练1（多选）探索宇宙的奥秘，一直是人类孜孜不倦的追求．下列说法正确的是（ ）
A．地球是宇宙的中心，太阳，月球及其他行星都绕地球运动
B．太阳静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
C．地球是绕太阳运动的一颗行星
D．日心说和地心说都是错误的
答案 CD
解析 A．由开普勒行星运动定律知“地心说”是错误的，地球不是宇宙的中心，故A错误；
B．太阳系在银河系中运动，太阳是运动的，故B错误；
C．地球是绕太阳运动的一颗行星，故C正确；
D．宇宙没有固定的中心，日心说和地心说都是错误的，故D正确。
故选CD。
训练2物理学发展历程中，在前人研究基础上经过多年的尝试性计算，首先发表行星运动的三个定律的科学家是（ ）
A．托勒密 B．哥白尼 C．第谷 D．开普勒
答案 D
解析 首先发表行星运动的三个定律的科学家是开普勒。
故选D。
知识点二 开普勒定律
我们生活的地球自转的同时还绕太阳公转，从而造成四季变换，如图所示为地球绕太阳运动的示意图及北半球春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置。
太阳是否在轨道中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相等？
提示 太阳不在轨道中心，而在轨道的焦点上。夏至、冬至时地球到太阳的距离不相等，夏至时地球离太阳远些。
1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第一定律又叫轨道定律。
2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。开普勒第二定律又叫面积定律。
注意：“在相等的时间内，行星与太阳连线扫过的面积相等”是对于同一颗行星而言的，对不同行星则不成立。
3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。其表达式为＝k，其中a代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星绕太阳公转的周期，k是对所有行星都相同的常量。开普勒第三定律也叫周期定律。该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动(注意k值不同)。
【思考】
1.开普勒第一定律说明了行星运动轨迹的形状，那不同的行星绕太阳运行时椭圆轨道相同吗？
提示 不同，行星绕太阳运行的椭圆轨道不一样，但这些轨道有一个共同的焦点，即太阳所处的位置。
2.行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上，则行星在远日点的速率与在近日点的速率谁大？
提示 行星在近日点的速率大于远日点的速率。
3.开普勒第三定律中的常量k可能与谁有关？
提示 k只与中心天体有关。
例2 (教材P45图7.1－1改编)如图所示，焦点为F1和F2的椭圆表示火星绕太阳运行的轨道，已知火星运行到A点的速率比运行到B点的速率大，则根据开普勒定律可知，太阳应位于( )
A.A处 B.B处
C.F1处 D.F2处
答案 D
解析 根据开普勒第一定律可知，太阳位于椭圆轨道的焦点位置；根据开普勒第二定律可知，距离太阳越近的位置速率越大，则太阳应位于F2位置，故D正确。
训练1关于太阳系各行星的运动，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
B．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
C．行星在近日点的速率比远日点的速率大
D．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于行星轨道的中心处
答案 C
解析 A．根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，故A错误；
B．所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，运动方向为轨迹上某一点切线方向，不一定与它和太阳的连线垂直，故B错误；
C．第二定律的内容为：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，可知行星绕太阳有近日点和远日点之分，近日点快，远日点慢，故C正确；
D．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故D错误。
故选C。
训练2（多选）开普勒行星运动定律是我们学习、研究天体运动的基础。下列关于开普勒三定律的理解正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道是标准的圆形
B．太阳处在绕它运动的行星轨道的一个焦点上
C．所有行星与太阳的连线，在相同时间内扫过的面积相等
D．所有行星轨道半长轴的三次方与周期的平方之比都相同
答案 BD
解析 A．开普勒第一定律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，A错误；
B．由开普勒第一定律知，太阳处在绕它运动的行星轨道的焦点上，B正确；
C．由开普勒第二定律可知，行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，这个定律相对于同一行星而言，对于不同的行星，其相同时间内扫过的面积不相等，C错误；
D．由开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相同，D正确。
故选BD。
例3 “天问一号”成功被火星捕获，成为火星的人造卫星。这也拉开了我国探索火星的序幕。结合开普勒行星运动定律，判断下列对火星的说法正确的是( )
A.太阳位于火星运行轨道的中心
B.火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星和地球公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
答案 C
解析 太阳位于火星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A项错误；由于火星沿椭圆轨道绕太阳运行，火星绕太阳运行的速度大小在变化，故B项错误；根据开普勒第三定律可知，火星与地球公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方，故C项正确；相等时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于地球与太阳连线扫过的面积，故D项错误。
训练1关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆中心
B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等
C．表达式中，月球绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同
D．该定律是在牛顿运动定律的基础上推导出来的
答案 C
解析 A．根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误；
B．根据开普勒第二定律可知，地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点的运行速率大于远日点的运行速率，故B错误；
C．根据开普勒第三定律可知
其中k与中心天体的质量有关，故月球绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同，故C正确；
D．开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但不是在牛顿运动定律的基础上导出了行星运动规律，故D错误。
故选C。
训练2（多选）根据德国天文学家开普勒的行星运动三定律，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的中心
B．行星在椭圆轨道上运动时，任意相等的时间内走过的弧长都相等
C．由开普勒第二定律可知，行星离太阳越近，速度越大
D．开普勒第三定律公式中的k值，只与中心天体有关
答案 CD
解析 A．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的焦点上，选项A错误；
B．行星在椭圆轨道上运动时，任意相等的时间内与太阳的连线扫过的面积都相等，选项B错误；
C．由开普勒第二定律可知，行星离太阳越近，速度越大，选项C正确；
D．开普勒第三定律公式中的k值，只与中心天体有关，选项D正确。
故选CD。
知识点三 开普勒定律的应用
1.当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律。
2.由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k或＝。
角度1 开普勒第二定律的应用
例4 (2024·上海卷)如图所示，太阳系中木星沿着椭圆轨道绕太阳运行，其中a、c为椭圆长轴上的两个端点，b、d为椭圆短轴上的两个端点。木星绕太阳的运行周期为T。某时刻木星沿逆时针绕过a点，从该时刻起，经过后，木星位于( )
A.ab间 B.b点
C.bc间 D.c点
答案 C
解析 木星从a点经b点运动到c点的过程中，根据开普勒第二定律可知，该过程中木星的速度一直减小，则木星在ab段的平均速度大于在bc段的平均速度，又tac＝，所以tab<，tbc>，故从该时刻起，经过后，木星位于bc间，故C正确。
训练1如图所示，嫦娥六号在环月轨道上沿图中箭头方向作周期性椭圆运动，只考虑其受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴，cd为椭圆轨道短轴，若某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的（ ）
A．b点 B．d点 C．bd之间 D．ad之间
答案 C
解析 根据开普勒第二定律知，近月点速度快，远月点速度慢，可知嫦娥六号在弧cbd上的平均速度小于在弧dac上的平均速度，弧cbd的长度为环月椭圆轨道周长的一半，故再经过二分之一周期它将位于轨道的bd之间。
故选C。
训练2某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，E和F是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速度比在B点的速度大，则太阳位于（ ）
A．F点 B．E点 C．B点 D．A点
答案 B
解析 根据开普勒第一定律可知，行星绕太阳运行的轨迹是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，开普勒第二定律说，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，从而可以得到，行星在近日点速度大，在远日点速度小，所以A点为近日点，太阳在E点。
故选B。
角度2 开普勒第三定律的应用
例5 (教材P48T1改编)地球公转轨道的半径在天文学上被作为长度单位，叫天文单位，用来度量太阳系内天体与太阳的距离。已知火星的公转轨道半径是1.5天文单位，那么，火星的公转周期大约是( )
A.478天 B.548天
C.668天 D.821天
答案 C
解析 据题意，火星的公转轨道半径是地球公转轨道半径的1.5倍，地球绕太阳公转的周期是365天，据开普勒第三定律可得＝，解得火星的公转周期T2＝·T1＝×365天≈668天，故C正确，A、B、D错误。
训练1紫金山-阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为（ ）
A． B． C． D．
答案 A
解析 由开普勒第三定律
可得该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值为
故选A。
训练2如图所示，已知彗星的近日点接近火星轨道，远日点接近木星轨道，火星、木星的公转轨道半径分别为地球公转轨道半径的p倍和q倍，则南山—哈恩彗星的运动周期为（ ）
A．年 B．年 C．年 D．年
答案 C
解析 假设地球公转轨道半径为，则彗星的公转轨道半长轴为
运用开普勒第三定律分析地球和彗星，有
联立解得
年
故选C。
基础练习
1.(地心说和日心说)自古以来，当人们仰望星空时，天空中壮丽璀璨的景象便吸引了人们的注意，人类用智慧的头脑不断地探索星体运动的奥秘。下列对星体运动认识的叙述中符合现代认识观点的是( )
A.人们观测到太阳每天都要东升西落，这说明地球是静止不动的，是宇宙的中心
B.人们观测到行星绕太阳做圆周运动，这说明太阳是静止不动的，是宇宙的中心
C.人们认为天体的运动是神圣的，因此天体的运动是最完美、最和谐的匀速圆周运动
D.开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，得出了行星绕太阳运动的轨道是椭圆的结论
答案 D
解析 在太阳系中，包括地球在内的所有行星都绕太阳运转，故太阳是太阳系的中心，而在整个宇宙中，太阳也在不断绕着其他天体运转，故太阳不是宇宙的中心，A、B错误；开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，得出了行星绕太阳运动的轨道是椭圆的结论，C错误，D正确。
2.(开普勒定律的理解)地球沿椭圆轨道绕太阳运行，月球沿椭圆轨道绕地球运行。下列说法正确的是( )
A.地球位于月球运行轨道的中心
B.地球在近日点的运行速度大于其在远日点的运行速度
C.地球与月球公转周期二次方之比等于它们轨道半长轴三次方之比
D.相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积等于月球与地球连线扫过的面积
答案 B
解析 根据开普勒第一定律知，地球位于月球椭圆运行轨道的一个焦点上，A错误；根据开普勒第二定律，地球和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以地球在近日点的运行速度大于其在远日点的运行速度，B正确；根据开普勒第三定律知，所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，但地球与月球不是绕同一个星球运动，不满足这一结论，C错误；根据开普勒第二定律知，对任意一个行星而言，太阳与行星的连线在相等时间内扫过的面积相等，但地球与月球不是绕同一个星球运动，不满足这一结论，D错误。
3.(开普勒第二定律的应用)(多选)如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，A为远日点，离太阳的距离为a，B为近日点，离太阳的距离为b，行星过远日点时的速率为va，过近日点时的速率为vb。已知图中的两个阴影部分的面积相等，则( )
A.vb＝va
B.vb＝va
C.行星从A到A′的时间小于从B到B′的时间
D.太阳一定在该椭圆的一个焦点上
答案 BD
解析 取极短时间Δt，根据开普勒第二定律得a·vaΔt＝b·vbΔt，则vb＝va，故A错误，B正确；已知题图中的两个阴影部分的面积相等，由开普勒第二定律可知它们的运动时间相等，故C错误；由开普勒第一定律可知太阳一定在该椭圆的一个焦点上，故D正确。
4.(开普勒第三定律的应用)2022年11月9日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为( )
A.R0 B.R0
C.R0 D.R0
答案 A
解析 由开普勒第三定律可知＝，可得R＝R0，故A正确，B、C、D错误。
5.如图所示，在下列四个节气时，地球绕太阳公转速度最大的是（ ）
A．春分 B．夏至 C．秋分 D．冬至
答案 D
解析 地球绕太阳做椭圆运动时，根据开普勒第二定律可知，地球在近日点的公转速度最大，所以地球绕太阳公转速度最大的是冬至。
故选D。
6.天文爱好者在赤道上观察一颗绕地球做圆周运动的低轨道卫星，其轨道半径是地球同步卫星轨道半径的，已知天文爱好者随地球自转的向心加速度为a，地球半径为R，则这颗低轨道卫星运行的周期为（ ）
A． B．
C． D．
答案 A
解析 设地球自转周期为T，根据题意有
则
设低轨道卫星运行周期为，根据开普勒第三定律有
解得
故选A。
对点题组练
题组一 人类对行星运动规律的认识
1.在物理学发展历史中，许多物理学家都做出了卓越的贡献。以下关于物理学家所做科学贡献的叙述中，正确的是( )
A.托勒密认为地球是宇宙的中心，是静止不动的
B.伽利略提出了“日心说”
C.牛顿提出了“日心说”
D.哥白尼发现了行星运动三大定律
答案 A
解析 托勒密是“地心说”的代表人物，他认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，A正确；哥白尼提出了“日心说”，B、C错误；开普勒发现了行星运动的三大定律，D错误。
题组二 开普勒定律
2.火星和地球都绕太阳运动，已知火星离太阳较远，下列说法正确的是( )
A.火星和地球绕太阳运动的速率是不变的
B.火星和地球在同一椭圆轨道上运动
C.火星公转周期比地球公转周期大
D.火星轨道半长轴比地球轨道半长轴小
答案 C
解析 火星和地球绕太阳运动时，离太阳越远，速率越小；离太阳越近，速率越大，A错误；地球和火星在不同椭圆轨道上绕太阳运动，火星离太阳较远，则火星轨道的半长轴大于地球轨道的半长轴，B、D错误；由于火星轨道的半长轴大于地球轨道的半长轴，因此火星的公转周期大于地球的公转周期，C正确。
3.(多选)关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( )
A.地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点速率小于远日点运行的速率
B.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
C.椭圆轨道的半长轴为a，公转周期为T，则比值为常数
D.若图中两阴影部分行星运动时间相等，则右侧面积大于左侧面积
答案 BC
解析 地球绕太阳在椭圆轨道上运行，根据开普勒第二定律知，地球在近日点的速率大于远日点运行的速率，选项A错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项B正确；根据开普勒第三定律可知，比值为常数，选项C正确；根据开普勒第二定律可知，若图中的两阴影部分行星运动时间相等，则右侧面积等于左侧面积，选项D错误。
题组三 开普勒定律的应用
4.太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运行的周期也不相同。下列反映公转周期T与行星轨道半长轴a的关系图像中正确的是( )
答案 D
解析 由＝k知a3＝kT2，D项正确。
5.若某颗地球卫星P的轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A.2∶1 B.4∶1
C.8∶1 D.16∶1
答案 C
解析 由开普勒第三定律知＝，因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1，故C正确。
6.(2024·广东肇庆高一期末)如图所示，“天问一号”从地球飞向火星时的转移轨道又叫霍曼转移轨道。霍曼转移轨道是与火星和地球公转轨道均相切的椭圆轨道，其切点分别为P、Q。已知地球公转周期为T1，火星公转周期为T2，“天问一号”从霍曼转移轨道P点运动到Q点所用的时间为t，则( )
A.t< B.t>
C.答案 C
解析 由开普勒第三定律可知，“天问一号”在霍曼转移轨道运行周期大于地球公转周期，小于火星公转周期，所以7.2023年11月1日6时50分，我国在太原卫星发射中心成功将天绘五号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。天绘五号卫星在轨道上做匀速圆周运动的周期为T，月球绕地球公转周期为T0，则“天绘五号”卫星与月球的轨道半径之比为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 根据开普勒第三定律＝得＝，故D正确。
8.已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为R1和R2(公转轨道近似为圆)，如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则地球和火星绕太阳公转过程中与太阳连线扫过的面积速率之比是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 根据开普勒第三定律知，地球和火星运动的周期之比＝，在一个周期内扫过的面积之比为＝＝，扫过的面积速率为，可知地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比为，故B正确，A、C、D错误。
综合提升练
9.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列四幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg，纵轴是lg，这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列四幅图中，正确的是( )
答案 B
解析 根据开普勒第三定律，公转周期的平方与轨道半径的三次方成正比，可知R3＝kT2，R＝kT，两边相除后取对数，得lg＝lg，整理得3lg＝2lg，即lg＝lg，故B正确。
10.如图所示，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB；C为绕地球沿圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC。下列说法或关系式正确的是( )
A.地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上
B.卫星B和卫星C运动的速度大小均不变
C.＝，该比值的大小与地球和卫星有关
D.≠，该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关
答案 A
解析 由开普勒第一定律可知，地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上，选项A正确；由开普勒第二定律可知，B卫星绕地球转动时速度大小在不断变化，卫星C运动的速度大小不变，选项B错误；由开普勒第三定律可知＝＝k，比值k的大小仅与中心天体地球质量有关，选项C、D错误。
11.(2024·山东卷，5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 “鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有＝k′，则有＝＝，D正确。
12.关于物理学发展，下列表述正确的是（ ）
A．哥白尼提出了“地心说”，认为地球位于宇宙的中心
B．卡文迪什提出了万有引力定律，并利用扭秤装置较准确地测出了引力常量
C．第谷通过对天体运动的长期研究，发现了行星运动三定律
D．经典力学是许多科学家经过艰苦探索才完成的科学理论，但实践证明，经典力学只适用于宏观、低速的情况
答案 D
解析 A．托勒密提出了“地心说”，认为地球位于宇宙的中心，故A错误；
B．牛顿提出了三条运动定律及万有引力定律，卡文迪许利用扭秤装置较准确地测出了引力常量，故B错误；
C．开普勒通过对第谷对天体运动的观测数据的研究，发现了行星运动三定律，故C错误；
D．经典力学是物理学和天文学的基础，经典力学是许多科学家经过艰苦探索才完成的科学理论，只适用范围是宏观、低速、弱引力场情形，故D正确。
故选D。
13．假如某天地球加速绕太阳沿椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R（R为加速前地球绕太阳做圆周运动时与太阳间的距离），地球距太阳的最远距离为7R，则地球的公转周期变为（ ）
A．2年 B．4年 C．6年 D．8年
答案 D
解析 地球加速绕太阳沿椭圆轨道运动的半长轴
根据开普勒第三定律
其中，地球做圆周运动时的周期
地球的公转周期变为
故选D。
培优加强练
14.(2024·湖南长沙雅礼中学高一月考)位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜，通过FAST可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若将地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为( )
A.(1＋k2)年 B.(1＋k2)年
C.(1＋k2)年 D.k年
答案 A
解析 太阳、地球、木星的位置关系如图所示，设地球与太阳的距离为R1，木星与太阳的距离为R2，由地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍可得
R＝R＋(kR1)2，由开普勒第三定律知＝，又地球公转周期为一年，解得T2＝(1＋k2)年，A正确。
15.嫦娥六号绕月球运行的椭圆轨道如图所示，月球位于椭圆的焦点上。假设每隔时间记录一次嫦娥六号的位置，记录点如图所示，已知为椭圆轨道的中心，、分别为椭圆的长轴和短轴，的距离为，的距离为，且满足，椭圆的面积公式为，则嫦娥六号从运动到所需的最短时间（ ）
A． B． C． D．
答案 C
解析 由图可知，嫦娥六号绕月球运行的周期
由开普勒第二定律可知，嫦娥六号与椭圆的焦点的连线在相等的时间内扫过的面积相等，设经过时间t，嫦娥六号与椭圆的焦点的连线扫过的面积为S，则
设嫦娥六号从运动到过程所用时间为，嫦娥六号与椭圆的焦点的连线扫过的面积为，则
其中
根据数学知识可知
又
联立，求得
故选C。
16．2024年7月5日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将天绘五号02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星的轨道高度为h，地球半径为R，月球绕地球运行的轨道半径为r，周期为T，忽略地球自转的影响，该卫星的运行周期为（ ）
A． B．
C． D．
答案 A
解析 由开普勒定律有
解得
故选A。
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