中小学教育资源及组卷应用平台
第6.7节 章末综合复习
一、描述圆周运动的物理量
例1 (多选)(2024·河南洛阳市联考)“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，杂技演员驾驶摩托车(视为质点)在倾角很大的“桶壁”内侧做圆周运动而不掉下来。如图所示，一杂技演员驾驶摩托车做匀速圆周运动，在t＝2 s内转过的圆心角θ＝4 rad，通过的弧长s＝40 m，则下列说法正确的是( )
A.摩托车的角速度大小为8 rad/s
B.摩托车的角速度大小为2 rad/s
C.摩托车做匀速圆周运动的半径为10 m
D.摩托车做匀速圆周运动的半径为5 m
答案 BC
解析 摩托车的角速度ω＝＝2 rad/s，A错误，B正确；摩托车做匀速圆周运动的半径r＝＝10 m，C正确，D错误。
训练1（多选）机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的2倍。A、B分别是两轮边缘上的质点，如图所示，皮带与两轮之间不发生相对滑动。下列说法正确的是（ ）
A．质点A、B的线速度
B．质点A、B的角速度
C．质点A、B的转速
D．质点A、B的向心加速度
答案 BD
解析 A．皮带传动的两轮边缘的线速度大小相等，所以质点A、B的线速度大小相等，即
故A错误；
B．由，，可得
故B正确；
C．由，可得
故C错误；
D．由，，，可得
故D正确。
故选BD。
训练2（多选）如图所示，在水平地面上有一个表面光滑的直角三角形物块，一轻杆下端用光滑铰链连接于点（点固定于地面上），上端连接小球，小球靠在物块左侧，同时对物块施加水平向左的推力，整个装置处于静止状态.现撤去推力，经过一段时间小球和物块分离，分离时物块的速度为，轻杆与水平方向的夹角，已知重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．分离时小球的速度大小为
B．分离时小球的加速度大小为
C．分离时小球的角速度大小为
D．从撤去推力F到小球落地前瞬间，轻杆的弹力一直增大
答案 BC
解析 B．小球与物块分离时，两者水平方向加速度和速度相等，两者之间的作用力为0，物块表面光滑，之后物块开始做匀速运动，所以小球在水平方向上的加速度也为0，又因为杆为可动杆，作用力沿杆，若杆有作用力则必然有水平方向的分力，与实际不符，故小球与物块分离时，轻杆中无作用力，小球只受重力，加速度为g，故B正确；
A．小球做圆周运动，实际速度与轻杆垂直，设两者分离时小球的速度为，将其分解为水平速度和竖直速度，则有
解得
故A错误；
C．分离时小球重力沿杆方向的分力提供向心力，则
解得
则角速度为
故C正确；
D．从撤去推力F到小球落地前瞬间，杆的弹力先减小后增大，先背离圆心后指向圆心，故D错误。
故选BC。
例2 (2024·安徽合肥一中高一期末)如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，而后轮与小齿轮是绕共同的轴转动的。设大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为r1、r2、r3，当C点的线速度大小为v时，A点的线速度大小为( )
A.v B.v
C.v D.v
答案 B
解析 传动过程中，同一链条上的A、B两点的线速度大小相等，即vA＝vB；B、C两点同轴转动，角速度相同，C点的线速度大小为v，则由v＝ωr可知＝，解得vA＝vB＝v，故A、C、D错误，B正确。
训练1如图是一皮带传动装置的示意图，右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么以下说法正确的有（ ）
A．A、B、C、D点的线速度之比是1:1:2:4
B．A、B、C、D点的角速度之比是2:1:2:4
C．A、B、C、D点的向心加速度之比是2:1:1:1
D．A、B、C、D点的向心加速度之比是4:1:2:4
答案 D
解析 AB．由同轴转动的特点有
由皮带传动的特点有
根据线速度与角速度的关系
可得
所以
所以
故AB错误；
CD．根据向心加速度与角速度的关系
可得
故C错误，D正确。
故选D。
训练2如图所示的皮带传动装置中，皮带与轮之间不打滑，两轮半径分别为R和r，且，A、B分别为两轮边缘上的点，则皮带轮运动过程中，A、B两点速率之比 ；A、B两点角速度之比 。
答案 1：1 1：3
解析 [1]皮带与轮之间不打滑，则有
[2]根据
可得
二、圆锥摆模型
1.受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2.运动实例
运动模型 向心力的来源图示
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动
3.规律总结
(1)圆锥摆的周期
如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ，受力分析，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mr
r＝Lsin θ
解得T＝2π＝2π。
(2)结论
①摆高h＝Lcos θ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
②摆线拉力FT＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力FT越大。
③摆球的向心加速度a＝gtan θ，圆锥摆转得越快，向心加速度越大。
4.圆锥摆的两种变形
变形1：具有相同锥度角(长度不同)的圆锥摆，如图甲所示。
由a＝gtan θ知A、B的向心加速度大小相等，由a＝ω2r知ωA<ωB；由a＝知vA>vB。
变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB；由a＝ω2r知aA>aB。
例3 (多选)(2024·重庆第二外国语学校高一期末)如图，小球(可视作质点)和a、b两根细绳相连，两绳分别固定在细杆上两点，其中b绳长Lb＝2 m，小球随杆一起在水平面内匀速转动。当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角θ1＝45°，θ2＝60°，g＝10 m/s2。若a、b两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是( )
A.3.5 m/s B.4 m/s
C.4.5 m/s D.5 m/s
答案 CD
解析 当a绳恰好拉直，但Tb＝0时，设细杆的转动线速度为v1，有Tacos 45°＝mg，Tasin 45°＝m，解得v1≈4.16 m/s；当b绳恰好拉直，但Ta＝0时，设细杆的转动线速度为v2，有Tbcos 60°＝mg，Tbsin 60°＝m，解得v2≈5.48 m/s，要使两绳都拉紧4.16 m/s训练1如图所示，小球用细线悬于P点，悬挂小球的细线长为L，使小球在水平面内做匀速圆周运动，当细线与竖直方向的夹角为时，绳对小球的拉力为F，重力加速度为g。求：
(1)小球的质量m；
(2)小球做匀速圆周运动的角速度。
答案 (1)
(2)
解析 （1）小球受竖直向下的重力mg和沿细线向上的拉力F，根据竖直方向受力平衡，有
求得
（2）拉力与重力的合力提供向心力，有
求得
训练2（多选）一根长L=0.5m的轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随ω2变化的图像如图乙所示，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为2kg
B．小球的质量为3kg
C．时，圆锥对小球的支持力为25N
D．时，细线的拉力为25N
答案 AD
解析 设线长为L，锥体母线与竖直方向的夹角为，当时，小球静止，受重力mg、支持力N和线的拉力而平衡，此时有
增大时，T增大，N减小，由图可知，角速度为，即，拉力发生突变，故此时时，有
，
解得
代入解得
，
故AD正确。
例4 如图所示，一根长为L＝1 m的细线一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)。
(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
答案 (1) rad/s (2)2 rad/s
解析 (1)当小球刚要离开锥面时，锥面给小球的支持力为零，受力分析如图甲所示。
由牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2Lsin θ
ω＝＝ rad/s。
甲
(2)当细线与竖直方向夹角α＝60°时，小球已飞离锥面，受力分析如图乙所示。
由牛顿第二定律得
mgtan α＝mω′2r
r＝Lsin α
联立得ω′＝＝2 rad/s。
乙
训练1如图所示，一长度为L、内壁光滑的细圆筒，其上端封闭，下端固定在竖直转轴的O点，圆筒与水平方向的夹角为θ。原长为的轻质弹簧上端固定在圆筒上端，下端连接一质量为m的小球，小球的直径略小于圆筒直径。当圆筒处于静止状态时，弹簧长度为。重力加速度为g。求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)当弹簧恢复原长时，转轴的角速度ω1；
(3)当弹簧的形变量时，转轴的角速度ω。
答案 (1)
(2)
(3)或
解析 （1）当圆筒处于静止状态时，对小球，由受力平衡可得
解得弹簧的劲度系数为
（2）当弹簧恢复原长时，以小球为对象，根据牛顿第二定律可得
解得转轴的角速度为
（3）当弹簧的形变量时，若弹簧处于伸长状态，以小球为对象，有
其中
联立解得转轴的角速度为
若弹簧处于压缩状态，以小球为对象，有
其中
联立解得转轴的角速度为
训练2如图所示，V形细杆AOB能绕其竖直对称轴转动，两质量相等的小环分别套在V形杆的两臂上，并用一定长度的轻质细线连接，两环与臂间的动摩擦因数相同。当杆以角速度转动时，细线始终处于水平状态。若杆转动的角速度最小值为，则（ ）
A．角速度为时，环受到4个力的作用
B．角速度大于时，细线上一定有拉力
C．角速度大于时，环受到的摩擦力方向一定沿杆向上
D．角速度大于时，环受到的摩擦力方向可能沿杆向下
答案 D
解析 环即将向上滑动时绳子出现拉力，在之前物体的向心力由重力，支持力和摩擦力提供。
AB．角速度最小时，环受到重力、支持力和摩擦力作用，摩擦力的方向沿杆向上，它们的水平合力提供向心力，故AB错误；
CD．角速度大于时环受到的摩擦力方向可能沿杆向下，其水平分量与杆支持力的水平分量共同提供向心力，故C错误，D正确。
故选D。
三、平抛运动与圆周运动结合模型
求解平抛运动与圆周运动的综合问题的思路是：首先根据运动的独立性和各自的运动规律列式，其次寻找两种运动的结合点，如它们的位移关系、速度关系、时间关系等，最后再联立方程求解。
例5 (2024·广东东莞高一期中)如图所示，竖直平面内有一圆弧管道，其半径为R＝0.5 m，质量m＝0.8 kg的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧管道上P点的切线方向进入管道内侧，管道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知管道最高点Q与A点等高，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求：
(1)小球从平台上的A点射出时的速度大小v0；
(2)如果小球沿管道通过圆弧的最高点Q时的速度大小为3 m/s，则小球运动到Q点时对轨道的压力；
(3)由于不同小球与管道的摩擦不同，从最高点Q飞出速度范围为0～3 m/s的小球，小球落在地面上最近的点为M，最远的点为N，求MN的距离(计算结果可用根号表示)。
答案 (1)3 m/s (2)6.4 N，方向竖直向上 (3) m
解析 (1)小球从A到P的高度差为
h＝R(1＋cos 53°)＝0.8 m
小球做平抛运动，竖直方向有h＝gt2
解得t＝0.4 s
则小球在P点的竖直分速度为vy＝gt＝4 m/s
把小球在P点的速度分解可得tan 53°＝
解得小球平抛运动初速度为v0＝3 m/s。
(2)小球到达Q时，速度为vQ＝3 m/s
设小球受到的弹力向下，根据牛顿第二定律可得
FN＋mg＝m
解得FN＝6.4 N
由牛顿第三定律可知，小球通过管道的最高点Q时对管道的压力大小为6.4 N，方向竖直向上。
(3)小球从Q点到地面做平抛运动，设小球在Q点速度为v1时，刚好经过P点落到地面上，则竖直方向有R(1＋cos 53°)＝gt
解得t1＝0.4 s
水平方向有v1＝＝1 m/s
小球从Q点到地面过程，竖直方向有2R＝gt
解得t2＝＝ s
水平方向有x＝vQt2
则小球落在地面上最近点M与最远点N的距离为
Δx＝(vmax－v1)t2＝(3－1)× m＝ m。
训练1（多选）如图所示，圆弧半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置在水平地面上，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内（小球直径略小于半圆管横截面直径），A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁上下部均无压力，则关于小球A通过最高点C时的速度vA及A、B两球落地点间的距离x，下列选项中正确的是（ ）（重力加速度大小为g）
A．x=R B．x=2R C． D．
答案 BD
解析 在最高点，对A球，有
解得
对B球，有
解得
离开圆管后两球均做平抛运动，由平抛运动规律可得落地时A、B的水平分位移分别为
则
故选BD。
训练2如图所示，一长为L的轻杆一端固定在O点，另一端固定一质量为m的小球，在A点处给小球一垂直于轻杆方向的初速度，使轻杆绕O点在竖直平面内做圆周运动。不计一切阻力及摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到A点时，轻杆对小球的弹力可能为零
B．小球运动到B点时，轻杆对小球的弹力不可能为零
C．小球运动到B点时的最小速度为
D．若增大小球的初速度，则小球运动到B点时，轻杆对小球的弹力可能减小
答案 D
解析 A．由题意可知，小球运动到A点时，由牛顿第二定律
可知，轻杆对小球的弹力方向一定竖直向上，且大小一定大于小球的重力，故A错误；
BCD．由题意可知，小球运动到B点时，由牛顿第二定律
当小球运动到B点时的速度为时，轻杆对小球的弹力为零；当杆对小球的弹力为mg时，小球的速度最小为零；若增大小球的初速度，则小球运动到B点时，轻杆对小球的弹力可能减小，故BC错误，D正确。
故选D。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第6.7节 章末综合复习
一、描述圆周运动的物理量
例1 (多选)(2024·河南洛阳市联考)“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，杂技演员驾驶摩托车(视为质点)在倾角很大的“桶壁”内侧做圆周运动而不掉下来。如图所示，一杂技演员驾驶摩托车做匀速圆周运动，在t＝2 s内转过的圆心角θ＝4 rad，通过的弧长s＝40 m，则下列说法正确的是( )
A.摩托车的角速度大小为8 rad/s
B.摩托车的角速度大小为2 rad/s
C.摩托车做匀速圆周运动的半径为10 m
D.摩托车做匀速圆周运动的半径为5 m
训练1（多选）机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的2倍。A、B分别是两轮边缘上的质点，如图所示，皮带与两轮之间不发生相对滑动。下列说法正确的是（ ）
A．质点A、B的线速度
B．质点A、B的角速度
C．质点A、B的转速
D．质点A、B的向心加速度
训练2（多选）如图所示，在水平地面上有一个表面光滑的直角三角形物块，一轻杆下端用光滑铰链连接于点（点固定于地面上），上端连接小球，小球靠在物块左侧，同时对物块施加水平向左的推力，整个装置处于静止状态.现撤去推力，经过一段时间小球和物块分离，分离时物块的速度为，轻杆与水平方向的夹角，已知重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．分离时小球的速度大小为
B．分离时小球的加速度大小为
C．分离时小球的角速度大小为
D．从撤去推力F到小球落地前瞬间，轻杆的弹力一直增大
例2 (2024·安徽合肥一中高一期末)如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，而后轮与小齿轮是绕共同的轴转动的。设大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为r1、r2、r3，当C点的线速度大小为v时，A点的线速度大小为( )
A.v B.v
C.v D.v
训练1如图是一皮带传动装置的示意图，右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么以下说法正确的有（ ）
A．A、B、C、D点的线速度之比是1:1:2:4
B．A、B、C、D点的角速度之比是2:1:2:4
C．A、B、C、D点的向心加速度之比是2:1:1:1
D．A、B、C、D点的向心加速度之比是4:1:2:4
训练2如图所示的皮带传动装置中，皮带与轮之间不打滑，两轮半径分别为R和r，且，A、B分别为两轮边缘上的点，则皮带轮运动过程中，A、B两点速率之比 ；A、B两点角速度之比 。
二、圆锥摆模型
1.受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2.运动实例
运动模型 向心力的来源图示
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动
3.规律总结
(1)圆锥摆的周期
如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ，受力分析，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mr
r＝Lsin θ
解得T＝2π＝2π。
(2)结论
①摆高h＝Lcos θ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
②摆线拉力FT＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力FT越大。
③摆球的向心加速度a＝gtan θ，圆锥摆转得越快，向心加速度越大。
4.圆锥摆的两种变形
变形1：具有相同锥度角(长度不同)的圆锥摆，如图甲所示。
由a＝gtan θ知A、B的向心加速度大小相等，由a＝ω2r知ωA<ωB；由a＝知vA>vB。
变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB；由a＝ω2r知aA>aB。
例3 (多选)(2024·重庆第二外国语学校高一期末)如图，小球(可视作质点)和a、b两根细绳相连，两绳分别固定在细杆上两点，其中b绳长Lb＝2 m，小球随杆一起在水平面内匀速转动。当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角θ1＝45°，θ2＝60°，g＝10 m/s2。若a、b两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是( )
A.3.5 m/s B.4 m/s
C.4.5 m/s D.5 m/s
训练1如图所示，小球用细线悬于P点，悬挂小球的细线长为L，使小球在水平面内做匀速圆周运动，当细线与竖直方向的夹角为时，绳对小球的拉力为F，重力加速度为g。求：
(1)小球的质量m；
(2)小球做匀速圆周运动的角速度。
训练2（多选）一根长L=0.5m的轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随ω2变化的图像如图乙所示，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为2kg
B．小球的质量为3kg
C．时，圆锥对小球的支持力为25N
D．时，细线的拉力为25N
例4 如图所示，一根长为L＝1 m的细线一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)。
(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
训练1如图所示，一长度为L、内壁光滑的细圆筒，其上端封闭，下端固定在竖直转轴的O点，圆筒与水平方向的夹角为θ。原长为的轻质弹簧上端固定在圆筒上端，下端连接一质量为m的小球，小球的直径略小于圆筒直径。当圆筒处于静止状态时，弹簧长度为。重力加速度为g。求：
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)当弹簧恢复原长时，转轴的角速度ω1；
(3)当弹簧的形变量时，转轴的角速度ω。
训练2如图所示，V形细杆AOB能绕其竖直对称轴转动，两质量相等的小环分别套在V形杆的两臂上，并用一定长度的轻质细线连接，两环与臂间的动摩擦因数相同。当杆以角速度转动时，细线始终处于水平状态。若杆转动的角速度最小值为，则（ ）
A．角速度为时，环受到4个力的作用
B．角速度大于时，细线上一定有拉力
C．角速度大于时，环受到的摩擦力方向一定沿杆向上
D．角速度大于时，环受到的摩擦力方向可能沿杆向下
三、平抛运动与圆周运动结合模型
求解平抛运动与圆周运动的综合问题的思路是：首先根据运动的独立性和各自的运动规律列式，其次寻找两种运动的结合点，如它们的位移关系、速度关系、时间关系等，最后再联立方程求解。
例5 (2024·广东东莞高一期中)如图所示，竖直平面内有一圆弧管道，其半径为R＝0.5 m，质量m＝0.8 kg的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧管道上P点的切线方向进入管道内侧，管道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知管道最高点Q与A点等高，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求：
(1)小球从平台上的A点射出时的速度大小v0；
(2)如果小球沿管道通过圆弧的最高点Q时的速度大小为3 m/s，则小球运动到Q点时对轨道的压力；
(3)由于不同小球与管道的摩擦不同，从最高点Q飞出速度范围为0～3 m/s的小球，小球落在地面上最近的点为M，最远的点为N，求MN的距离(计算结果可用根号表示)。
训练1（多选）如图所示，圆弧半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置在水平地面上，两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内（小球直径略小于半圆管横截面直径），A通过最高点C时，对管壁上部压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁上下部均无压力，则关于小球A通过最高点C时的速度vA及A、B两球落地点间的距离x，下列选项中正确的是（ ）（重力加速度大小为g）
A．x=R B．x=2R C． D．
训练2如图所示，一长为L的轻杆一端固定在O点，另一端固定一质量为m的小球，在A点处给小球一垂直于轻杆方向的初速度，使轻杆绕O点在竖直平面内做圆周运动。不计一切阻力及摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到A点时，轻杆对小球的弹力可能为零
B．小球运动到B点时，轻杆对小球的弹力不可能为零
C．小球运动到B点时的最小速度为
D．若增大小球的初速度，则小球运动到B点时，轻杆对小球的弹力可能减小
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
