中小学教育资源及组卷应用平台
第6.3节 向心力的分析和向心力公式的应用
学习目标
1.知道向心力是一种效果力，会分析向心力的来源，并能进行计算。
2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力分析方法。
知识点一 向心力的大小及来源分析
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？
1.向心力的公式Fn＝ 或Fn＝ 。
2.几种常见的圆周运动向心力来源的实例分析
来源 实例分析
重力提供向心力 如图，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供。
弹力提供向心力 在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动，向心力由筒壁的弹力提供。
摩擦力提供向心力 如图，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。
合力提供向心力 如图，细线拉住小球在竖直面内做圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线拉力和小球重力的合力提供。
分力提供向心力 如图，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供。
角度1 匀速圆周运动的分析
例1 如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大后，下列说法正确的是( )
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B.物体所受弹力和摩擦力都减小了
C.物体所受弹力不变，摩擦力也不变
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
训练1两小孩在水平转动的魔盘上玩耍，小孩始终相对圆盘静止，原型简化如图所示。已知小孩质量，运动半径，则两小孩向心加速度、向心力大小的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
训练2（多选）如图，两质量相等的小物块P和Q放在水平转盘上，它们与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍。P与竖直转轴的距离为d，连接P、Q的细线长也为d，且P、Q与转盘中心三者共线，初始时，细线恰好伸直但无张力。现让该装置开始绕轴转动，在圆盘的角速度缓慢增大的过程中，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
A．当时，绳子一定无弹力
B．当时，P、Q相对于转盘会滑动
C．当时，P受到的摩擦力随的增大而变大
D．当时，Q受到的摩擦力随的增大而变大
例2 长为L的细线，拴一质量为m的小球(小球可视为质点)，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。当摆线与竖直方向的夹角是α时，求(重力加速度为g)：
(1)细线的拉力的大小；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
思路点拨
(1)应该选择的研究对象是谁？
(2)确定研究对象做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
(3)分析研究对象受到几个力作用？哪些力提供向心力？
(4)根据哪些规律列方程求解？
训练1如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（ ）
A．角速度 B．角速度
C．角速度 D．角速度
训练2如图所示，质量为、的两个小球A、B套在光滑圆环上，圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，已知，不计空气阻力。小球相对圆环静止时，两小球在圆环上相对位置可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
角度2 圆周运动中的连接体问题
例3 (多选)如图所示，两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
A.A处小球所受向心力为F1，B处小球所受向心力为F2
B.A处小球所受向心力为F2，B处小球所受向心力为F1
C.A处小球所受向心力为F2，B处小球所受向心力为F1－F2
D.F1∶F2＝3∶2
连接体问题，分析向心力的来源是关键，对于两个及两个以上物体的圆周运动问题，还要抓住物体之间的作用力、转动半径以及角速度等的关系。
训练1如图，矩形框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一质量为m的小球，小球穿过PQ杆。当矩形框绕MN轴分别以不同的角速度ω1和ω2匀速转动时，小球相对于杆的位置不变。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹力大小可能发生了变化
B．杆PQ对小球的弹力大小一定发生了变化
C．若ω2>ω1，则角速度为ω2时杆PQ对小球的弹力更大
D．小球所受合力的大小一定发生了变化
训练2如图所示，竖直杆在、两点通过光滑铰链连接两等长轻杆和，和与竖直方向的夹角均为，轻杆长均为，在处固定一质量为的小球，重力加速度为，在装置绕竖直杆转动的角速度从0开始逐渐增大过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，杆和杆对球的作用力都表现为拉力
B．杆对球的作用力先增大后减小
C．一定时间后，杆与杆上的力的大小之差恒定
D．当时，杆对球的作用力不为0
知识点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
如图所示，荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下运动时：
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
1.变速圆周运动
做变速圆周运动的物体所受的合力并不严格指向运动轨迹的圆心。
(1)跟圆周相切的分力Ft：只改变速度的 ，若与速度方向 ，线速度增大；若与速度方向相反，线速度减小。
(2)指向圆心的分力Fn：与速度方向 ，只改变速度的 。
(3)匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
运动种类 匀速圆周运动 变速圆周运动
特点 v、Fn大小 、方向 ，ω、T、n不变 v、Fn、ω大小均
向心力 来源 合力 合力沿半径方向指向圆心的分力
周期性 有 不一定有
条件 合力的大小不变，方向始终与线速度方向 合力方向与线速度方向
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r都适用
2.一般曲线运动及处理方法
(1)定义：运动轨迹既不是 也不是 的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段 ，研究质点在这一小段的运动时，可以采用 的分析方法进行处理，如图所示。
例4 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针方向转动时，下列说法正确的是( )
A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
训练1如图，圆盘在水平面内做匀速圆周运动，质量为的小物块放置在水平圆盘的正中央，并用一根长的轻质细线与质量为的另一个小物块连接，两物块与圆盘间的动摩擦因数均为0.2。已知两个小物块均可看作质点，细线所能承受的拉力足够大，取。要保证与圆盘间不发生相对滑动，圆盘角速度的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
训练2如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体A和B，A的质量为3m，B的质量为m。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为，，A、B与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为；若只将B的质量增加为2m，A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为。转动过程中轻绳未断，则为（ ）
A． B． C． D．
例5 如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A.物体的合力为零
B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C.物体的合力提供向心力
D.物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
(1)解决圆周运动问题要注意是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，匀速圆周运动合外力总是指向圆心，非匀速圆周运动合外力有时指向圆心，有时不指向圆心。
(2)摩擦力可以与速度共线，也可以成任意夹角。
训练1滚筒洗衣机静置于水平地面上，已脱净水的衣物随滚筒一起在竖直平面内做匀速圆周运动，滚筒截面如图所示。若质量为m的衣物在最高点A对滚筒的压力与自身受到的重力大小相等，重力加速度大小为g，则衣物在最低点B对滚筒的压力大小为（ ）
A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
训练2如图，小物体在圆盘上随圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力（ ）
A．由支持力提供
B．方向始终指向圆盘中心
C．方向与速度方向相同
D．方向与速度方向相反
基础练习
1.(向心力的来源及大小分析)(2024·江苏镇江市期中)链球是奥运会比赛项目，如图甲为运动员甩动链球做匀速圆周运动的动作，简化模型如图乙所示，不计空气阻力和链重，则( )
A.链球受重力、拉力和向心力三个力的作用
B.链长不变，转速越大，链条张力越小
C.链长不变，转速越大，θ角越小
D.转速不变，链长越大，θ角越大
2.(匀速圆周运动的连接体问题)如图所示，在光滑杆上穿着两个小球质量分别为m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A.1∶1 B.1∶4
C.2∶1 D.1∶2
3.(一般的曲线运动)(人教版必修第二册P30 T5改编)一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图A、B、C、D中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为可能正确的是( )
4.(变速圆周运动)(多选)如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿顺时针方向缠绕在两钉子上(俯视)。现使小球以初速度v0在水平面上沿逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( )
A.小球的速度变大
B.小球的角速度变小
C.小球的向心力变小
D.细绳对小球的拉力变大
5.如图所示，正方形光滑玻璃板abcd水平固定放置，玻璃板正中间有一个光滑的小孔O，一根细线穿过小孔，两端分别系着小球A和小球B，小球A的质量为，使小球A在玻璃板上绕O点做匀速圆周运动，同时使小球B做圆锥摆运动，小球A做圆周运动的线速度大小为，角速度大小为，OB悬线与竖直方向的夹角为，A、B做圆周运动的周期相同，重力加速度g取，不计空气阻力。求：
(1)细线上的拉力的大小；
(2)小球B的质量及连接A、B的细线的长度。
6.近几年我国航空事业飞速发展，某公司计划开设太空旅馆。其设计图如图所示，用长为78.4m的绳连结质量相同的两客舱，两客舱围绕两舱中点转动，可使旅客感到和在地面上一样受重力作用，而没有“失重”的感觉，已知重力加速度g=9.8m/s2，则客舱转动的角速度为（ ）
A．0.5rad/s B．0.125rad/s C．0.25rad/s D．0.35rad/s
对点题组练
题组一 向心力的大小和来源分析
1.(2024·北京昌平高一期末)如图所示，在杂技表演中，杂技演员表演了“球内飞车”的杂技。一个由钢骨架和铁丝网构成的球壳固定在水平地面上，杂技演员骑摩托车在球壳内飞速旋转，惊险而刺激。甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，提供向心力的是( )
A.重力 B.支持力
C.摩擦力 D.重力与支持力的合力
2.如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )
A.绳的张力可能为零
B.桶对物块的弹力不可能为零
C.随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D.随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
3.如图所示，质量为m的鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对鹰作用力的大小等于(重力加速度为g)( )
A.m B.m
C.m D.mg
4.(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A.运动周期为
B.线速度的大小为ωR
C.受摩天轮作用力的大小始终为mg
D.所受合力的大小始终为mω2R
5.如图所示，质量相同的小球A、B用轻质细线悬挂在同一点O，在同一水平面内做匀速圆周运动，则( )
A.A球的线速度一定比B球的线速度大
B.A球的角速度一定比B球的角速度大
C.A球的向心力一定比B球的向心力小
D.A球所受细线的拉力一定比B球所受细线的拉力小
6.(2024·四川绵阳高一期末)如图所示，光滑小球串在三杆夹角均为120°的Y形杆上，三杆结点为O，Y形杆的一杆竖直，并绕该竖直杆匀速旋转，使小球维持在距O点l处，重力加速度为g，则Y形杆旋转的角速度ω为( )
A. B.
C. D.
题组二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
7.(2024·河北张家口高一期末)如图所示，一半径为R的半球形金属壳开口向上，固定在水平面上，质量为m的物块沿金属壳内壁滑下，滑到最低点时速度大小为v，方向如图所示，若物块与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物块在最低点时，下列说法正确的是( )
A.向心力为m
B.向心力为mg＋m
C.滑动摩擦力为μm
D.滑动摩擦力为μmg＋m
8.(多选)如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A.线速度突然增大为原来的2倍
B.角速度突然增大为原来的2倍
C.向心力突然增大为原来的2倍
D.向心力突然增大为原来的4倍
9.如图所示，质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时悬线与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.小明在最高点的速度为零，合力为零
B.小明在最低点的加速度为零，速度最大
C.最高点秋千对小明的作用力为mg
D.最低点秋千对小明的作用力为mg
综合提升练
10.(多选)如图，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在水平的旋转圆盘上，座椅A离转轴的距离较近。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动，稳定后A、B都在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A. 座椅B的角速度比A的大
B.座椅B的向心力比A的大
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂B的缆绳所承受的拉力比悬挂A的缆绳所承受的拉力大
11.(2024·广东云浮高一统考期末)如图所示，马戏团正在上演飞车节目，杂技演员驾驶摩托车(整体可视为质点)在一个可视为球体的固定铁笼内绕铁笼的竖直直径在水平面内做匀速圆周运动，此时摩托车所在位置与铁笼中心O点的连线与水平方向的夹角θ＝30°。已知铁笼的半径R＝5.4 m，杂技演员与摩托车整体的质量m＝150 kg，不计铁笼与摩托车间的摩擦，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)请作出演员驾驶摩托车(整体可视为质点)的受力分析图；
(2)摩托车对铁笼的压力大小；
(3)摩托车此时行驶的速度大小。
12.（多选）如图所示，两物块套在水平粗糙的杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆对物块的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块到轴的距离为物块A到轴的距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A受到的静摩擦力一直增大
B．A受到的静摩擦力先增大后减小
C．A受到的合外力一直在增大
D．受到的静摩擦力先增大后保持不变
13．游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的8位同学，其中甲、乙同学的位置如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，若某时刻转到顶点a的甲同学将一小重物向右水平抛出使之恰好做自由落体运动，并立即通知下面的同学接住，结果重物掉落过程中被乙同学第一次到达最低点b时接到。已知“摩天轮”半径为R，重力加速度为g，不计人和吊篮的大小及重物的质量，假设人与吊篮之间除脚接触外没有其他接触。则（ ）
A．“摩天轮”转动的周期为2
B．乙同学初始状态受到的摩擦力向右
C．乙同学在最低点时对吊篮地板的压力大小为mg-mg
D．甲同学在最高点时对吊篮地板的压力大小为mg＋mg
14．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径满足．当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
培优加强练
15.（多选）如图所示，矩形框MNQP竖直放置，其中MP、PQ足够长，且MP杆粗糙、MN杆光滑，轻弹簧一端连接一个穿过MN杆、质量为m的小球a，另一端连接另一个穿过MP杆、质量也为m的小球b。已知框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球b在MP杆的位置不变，且ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时（ ）
A．小球a的高度更低 B．弹簧弹力的大小相等
C．小球b所受杆的摩擦力更大 D．小球b所受合外力更大
16.(2024·广东广州高一期末)双人滑冰是2022年北京冬奥会比赛项目之一。某次训练中，男运动员以自己为轴拉着女运动员做圆周运动，若女运动员的质量为m，伸直的手臂与竖直方向的夹角为θ，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r，示意图如图所示。忽略女运动员受到的摩擦力，重力加速度为g。求：
(1)当女运动员刚要离开冰面时，女运动员的角速度大小；
(2)当女运动员的角速度为时，女运动员对冰面的弹力大小。
17．粗糙程度处处相同的细杆一端固定在竖直转轴上的O点，并可随竖直轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。杆未转动时，弹簧处于原长状态，此时圆环恰好静止在粗糙细杆上。当杆缓慢加速转动时，弹簧会逐渐被拉长。已知杆与竖直转轴的夹角始终为53°，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，求：
(1)圆环与粗糙细杆之间的动摩擦因数；
(2)某时圆环与粗糙细杆之间恰好没有摩擦力，此时角速度的大小；
(3)当角速度时，此时弹簧的长度。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第6.3节 向心力的分析和向心力公式的应用
学习目标
1.知道向心力是一种效果力，会分析向心力的来源，并能进行计算。
2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力分析方法。
知识点一 向心力的大小及来源分析
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？
提示 (1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(2)当物体转动的角速度变大后，由Fn＝mω2r知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
1.向心力的公式Fn＝mω2r或Fn＝m。
2.几种常见的圆周运动向心力来源的实例分析
来源 实例分析
重力提供向心力 如图，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供。
弹力提供向心力 在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动，向心力由筒壁的弹力提供。
摩擦力提供向心力 如图，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。
合力提供向心力 如图，细线拉住小球在竖直面内做圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线拉力和小球重力的合力提供。
分力提供向心力 如图，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供。
角度1 匀速圆周运动的分析
例1 如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大后，下列说法正确的是( )
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B.物体所受弹力和摩擦力都减小了
C.物体所受弹力不变，摩擦力也不变
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
答案 D
解析 物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的弹力，如图所示，重力G与静摩擦力Ff平衡，即G＝Ff，与物体的角速度无关，因为弹力FN提供向心力，即FN＝mrω2，所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力FN增大，故D正确。
训练1两小孩在水平转动的魔盘上玩耍，小孩始终相对圆盘静止，原型简化如图所示。已知小孩质量，运动半径，则两小孩向心加速度、向心力大小的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案 B
解析 AB．小孩AB相对圆盘静止，两者角速度相等。向心加速度公式为
又因为
所以
故A错误，B正确。
CD．向心力公式
无法比较两者大小，故CD错误。
故选B。
训练2（多选）如图，两质量相等的小物块P和Q放在水平转盘上，它们与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍。P与竖直转轴的距离为d，连接P、Q的细线长也为d，且P、Q与转盘中心三者共线，初始时，细线恰好伸直但无张力。现让该装置开始绕轴转动，在圆盘的角速度缓慢增大的过程中，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
A．当时，绳子一定无弹力
B．当时，P、Q相对于转盘会滑动
C．当时，P受到的摩擦力随的增大而变大
D．当时，Q受到的摩擦力随的增大而变大
答案 AC
解析 A．开始转动时圆盘的角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，因为两木块角速度、质量都相同，根据向心力公式可知，Q先达到最大静摩擦力，根据牛顿第二定律得
解得
因此当时，绳子一定无弹力，A正确；
B．角速度继续增大，绳子出现拉力，Q受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，P的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，P、Q相对于转盘开始滑动，根据牛顿第二定律，对P有
对Q有
联立解得
因此当时，P、Q相对于转盘会发生滑动，B错误；
C．当时，P相对转盘是静止的，受到的摩擦力为静摩擦力，根据牛顿第二定律有
当增大时,静摩擦力也增大，C正确；
D．当时，绳子出现拉力，Q所受静摩擦力达到最大值且保持不变，D错误。
故选AC。
例2 长为L的细线，拴一质量为m的小球(小球可视为质点)，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。当摆线与竖直方向的夹角是α时，求(重力加速度为g)：
(1)细线的拉力的大小；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
思路点拨 (1)应该选择的研究对象是谁？
(2)确定研究对象做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
(3)分析研究对象受到几个力作用？哪些力提供向心力？
(4)根据哪些规律列方程求解？
答案 (1) (2)
(3) 2π
解析 以小球为研究对象，小球受重力mg和细线的拉力FT，如图所示。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且是沿水平方向。
(1)由平行四边形定则知，细线对小球的拉力大小为FT＝。
(2)小球受到的合力大小为F合＝mgtan α
由牛顿第二定律得mgtan α＝m
由几何关系得r＝Lsin α
所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为
v＝。
(3)小球运动的角速度
ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π。
训练1如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（ ）
A．角速度 B．角速度
C．角速度 D．角速度
答案 B
解析 对小球受力分析，受到重力和弹力作用，由力的合成法则和牛顿第二定律可知
可得
故选B。
训练2如图所示，质量为、的两个小球A、B套在光滑圆环上，圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，已知，不计空气阻力。小球相对圆环静止时，两小球在圆环上相对位置可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案 C
解析 光滑圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，稳定后，两小球在圆环上在水平面内做匀速圆周运动，小球所受重力与圆环的支持力提供向心力，则小球一定在О点所在水平面的下面，如图所示
根据牛顿第二定律可得
解得
两小球转动的角速度相等，所以θ相同，两小球在同一水平面上。
故选C。
角度2 圆周运动中的连接体问题
例3 (多选)如图所示，两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
A.A处小球所受向心力为F1，B处小球所受向心力为F2
B.A处小球所受向心力为F2，B处小球所受向心力为F1
C.A处小球所受向心力为F2，B处小球所受向心力为F1－F2
D.F1∶F2＝3∶2
答案 CD
解析 小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，A处小球靠绳的拉力提供向心力，则A处小球的向心力为F2，B处小球靠两个拉力的合力提供向心力，则B处小球向心力为F1－F2。由牛顿第二定律，对A处小球有F2＝mω2r2，对B处小球有F1－F2＝mω2r1，已知r2＝2r1，各式联立解得F1＝F2，故C、D正确，A、B错误。
连接体问题，分析向心力的来源是关键，对于两个及两个以上物体的圆周运动问题，还要抓住物体之间的作用力、转动半径以及角速度等的关系。
训练1如图，矩形框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一质量为m的小球，小球穿过PQ杆。当矩形框绕MN轴分别以不同的角速度ω1和ω2匀速转动时，小球相对于杆的位置不变。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹力大小可能发生了变化
B．杆PQ对小球的弹力大小一定发生了变化
C．若ω2>ω1，则角速度为ω2时杆PQ对小球的弹力更大
D．小球所受合力的大小一定发生了变化
答案 D
解析 A．由于小球相对于杆的位置不变，故弹簧的形变量不变，根据胡克定律可知弹簧的弹力大小不变，故A错误；
B．小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，如图所示，当角速度较小时，此时杆对小球的弹力向外，弹簧的弹力在水平方向的分力和杆对小球的支持力的合力提供向心力，当角速度较大时，此时杆对小球的弹力向里，弹簧的弹力在水平方向的分力和杆对小球的支持力的合力提供向心力，当角速度合适时，杆对小球弹力的大小相同，故B错误；
C．若金属框的角速度较小，杆对小球的弹力方向垂直于杆向外，如图所示，在水平方向上，由牛顿第二定律得
Fsinα-FN=mω2r
则得
FN=Fsinα-mω2rω变大，其它量不变，则FN变小，由牛顿第三定律知小球对杆压力的大小变小，故C错误；
D．小球所受合外力的大小
F合=Fn=mω2rω变化时，其它量不变，则F合一定发生变化，故D正确。
故选D。
训练2如图所示，竖直杆在、两点通过光滑铰链连接两等长轻杆和，和与竖直方向的夹角均为，轻杆长均为，在处固定一质量为的小球，重力加速度为，在装置绕竖直杆转动的角速度从0开始逐渐增大过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，杆和杆对球的作用力都表现为拉力
B．杆对球的作用力先增大后减小
C．一定时间后，杆与杆上的力的大小之差恒定
D．当时，杆对球的作用力不为0
答案 C
解析 A．当时，由于小球在水平方向受力平衡，因此杆对小球的作用力表现为拉力，杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，选项A错误；
BD．当逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大，杆对小球的支持力逐渐减小，当杆的作用力为0时，有
解得
当继续增大时，杆对小球的拉力继续增大，杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，选项BD错误；
C．一定时间后，杆和杆的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即
则
因此杆与杆上的力的大小之差恒定，选项C正确。
故选C。
知识点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
如图所示，荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下运动时：
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
提示 (1)变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。
1.变速圆周运动
做变速圆周运动的物体所受的合力并不严格指向运动轨迹的圆心。
(1)跟圆周相切的分力Ft：只改变速度的大小，若与速度方向相同，线速度增大；若与速度方向相反，线速度减小。
(2)指向圆心的分力Fn：与速度方向垂直，只改变速度的方向。
(3)匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
运动种类 匀速圆周运动 变速圆周运动
特点 v、Fn大小不变、方向变化，ω、T、n不变 v、Fn、ω大小均变化
向心力 来源 合力 合力沿半径方向指向圆心的分力
周期性 有 不一定有
条件 合力的大小不变，方向始终与线速度方向垂直 合力方向与线速度方向不垂直
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r都适用
2.一般曲线运动及处理方法
(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理，如图所示。
例4 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针方向转动时，下列说法正确的是( )
A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
答案 A
解析 转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误。
训练1如图，圆盘在水平面内做匀速圆周运动，质量为的小物块放置在水平圆盘的正中央，并用一根长的轻质细线与质量为的另一个小物块连接，两物块与圆盘间的动摩擦因数均为0.2。已知两个小物块均可看作质点，细线所能承受的拉力足够大，取。要保证与圆盘间不发生相对滑动，圆盘角速度的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
答案 A
解析 当物块将要滑动时，对m有
对M有
解得
故选A。
训练2如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体A和B，A的质量为3m，B的质量为m。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为，，A、B与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为；若只将B的质量增加为2m，A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为。转动过程中轻绳未断，则为（ ）
A． B． C． D．
答案 B
解析 当A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动达到最大角速度时有
解得
若只将B的质量增加为2m，A、B与圆盘一起绕中轴线匀速转动的最大角速度为时有
解得
所以
故选B。
例5 如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A.物体的合力为零
B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C.物体的合力提供向心力
D.物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
答案 D
解析 物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力的方向夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。
(1)解决圆周运动问题要注意是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，匀速圆周运动合外力总是指向圆心，非匀速圆周运动合外力有时指向圆心，有时不指向圆心。
(2)摩擦力可以与速度共线，也可以成任意夹角。
训练1滚筒洗衣机静置于水平地面上，已脱净水的衣物随滚筒一起在竖直平面内做匀速圆周运动，滚筒截面如图所示。若质量为m的衣物在最高点A对滚筒的压力与自身受到的重力大小相等，重力加速度大小为g，则衣物在最低点B对滚筒的压力大小为（ ）
A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
答案 B
解析 衣物运动到最高点A时，对衣物有
在最低点有
解得
根据牛顿第三定律，衣物在最低点B对滚筒的压力大小为3mg。
故选B。
训练2如图，小物体在圆盘上随圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力（ ）
A．由支持力提供
B．方向始终指向圆盘中心
C．方向与速度方向相同
D．方向与速度方向相反
答案 B
解析 小物体在圆盘上随圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供，方向始终指向圆盘中心，与速度方向垂直。
故选B。
基础练习
1.(向心力的来源及大小分析)(2024·江苏镇江市期中)链球是奥运会比赛项目，如图甲为运动员甩动链球做匀速圆周运动的动作，简化模型如图乙所示，不计空气阻力和链重，则( )
A.链球受重力、拉力和向心力三个力的作用
B.链长不变，转速越大，链条张力越小
C.链长不变，转速越大，θ角越小
D.转速不变，链长越大，θ角越大
答案 D
解析 对链球受力分析，受重力、拉力两个力作用，A错误；如图所示，有FT＝，F合＝mgtan θ，设链长为L，则做圆周运动的半径为r＝Lsin θ，由牛顿第二定律有F合＝m(2πn)2r，整理得cos θ＝，若链长不变，转速越大，θ越大，则链条张力越大，故B、C错误；若转速不变，链长越大，θ角越大，故D正确。
2.(匀速圆周运动的连接体问题)如图所示，在光滑杆上穿着两个小球质量分别为m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )
A.1∶1 B.1∶4
C.2∶1 D.1∶2
答案 D
解析 两球受到绳子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，则有m1ω2r1＝m2ω2r2，又有m1＝2m2，由以上两式可得r1∶r2＝1∶2，故D正确。
3.(一般的曲线运动)(人教版必修第二册P30 T5改编)一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图A、B、C、D中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为可能正确的是( )
答案 C
解析 汽车在行驶中速度越来越小，所以汽车在轨迹的切线方向做减速运动，切线方向受力如图中的Ft所示。同时汽车做曲线运动，必有沿半径指向圆心的分力提供向心力，向心力如图中的Fn所示。汽车所受合力F为Ft、Fn的合力，故C正确。
4.(变速圆周运动)(多选)如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿顺时针方向缠绕在两钉子上(俯视)。现使小球以初速度v0在水平面上沿逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( )
A.小球的速度变大
B.小球的角速度变小
C.小球的向心力变小
D.细绳对小球的拉力变大
答案 BC
解析 由于小球所受的拉力始终与其速度方向垂直，不改变速度大小，故A错误；由v＝ωr可知，v不变，r变大，则角速度ω变小，故B正确；小球的向心力Fn＝m，v不变，r变大，则向心力变小，故C正确；细绳对小球的拉力提供向心力，有F＝m，v不变，r变大，则F变小，故D错误。
5.如图所示，正方形光滑玻璃板abcd水平固定放置，玻璃板正中间有一个光滑的小孔O，一根细线穿过小孔，两端分别系着小球A和小球B，小球A的质量为，使小球A在玻璃板上绕O点做匀速圆周运动，同时使小球B做圆锥摆运动，小球A做圆周运动的线速度大小为，角速度大小为，OB悬线与竖直方向的夹角为，A、B做圆周运动的周期相同，重力加速度g取，不计空气阻力。求：
(1)细线上的拉力的大小；
(2)小球B的质量及连接A、B的细线的长度。
答案 (1)8N
(2)0.4kg，1.75m
解析 （1）对小球A进行分析，由细线的拉力提供向心力，则有
根据线速度与角速度的关系有
解得
T=8N
（2）对小球B进行分析有
结合上述解得
则连接A、B的细线的长度
6.近几年我国航空事业飞速发展，某公司计划开设太空旅馆。其设计图如图所示，用长为78.4m的绳连结质量相同的两客舱，两客舱围绕两舱中点转动，可使旅客感到和在地面上一样受重力作用，而没有“失重”的感觉，已知重力加速度g=9.8m/s2，则客舱转动的角速度为（ ）
A．0.5rad/s B．0.125rad/s C．0.25rad/s D．0.35rad/s
答案 A
解析 根据
可得
故选A。
对点题组练
题组一 向心力的大小和来源分析
1.(2024·北京昌平高一期末)如图所示，在杂技表演中，杂技演员表演了“球内飞车”的杂技。一个由钢骨架和铁丝网构成的球壳固定在水平地面上，杂技演员骑摩托车在球壳内飞速旋转，惊险而刺激。甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，提供向心力的是( )
A.重力 B.支持力
C.摩擦力 D.重力与支持力的合力
答案 B
解析 甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，提供向心力的是轨道对摩托车的支持力，故B正确。
2.如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )
A.绳的张力可能为零
B.桶对物块的弹力不可能为零
C.随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D.随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
答案 C
解析 当物块随内壁光滑的圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力恰好为零，故B错误。
3.如图所示，质量为m的鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对鹰作用力的大小等于(重力加速度为g)( )
A.m B.m
C.m D.mg
答案 A
解析 对鹰的受力情况进行分析，如图所示。鹰受到重力mg、空气对鹰的作用力F，两力的合力提供向心力Fn，方向沿水平方向指向圆心，故F＝，又Fn＝m，联立解得F＝m，故B、C、D错误，A正确。
4.(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( )
A.运动周期为
B.线速度的大小为ωR
C.受摩天轮作用力的大小始终为mg
D.所受合力的大小始终为mω2R
答案 BD
解析 座舱的周期T＝，A错误；根据线速度与角速度的关系知v＝ωR，B正确；座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R，C错误，D正确。
5.如图所示，质量相同的小球A、B用轻质细线悬挂在同一点O，在同一水平面内做匀速圆周运动，则( )
A.A球的线速度一定比B球的线速度大
B.A球的角速度一定比B球的角速度大
C.A球的向心力一定比B球的向心力小
D.A球所受细线的拉力一定比B球所受细线的拉力小
答案 A
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ，根据mgtan θ＝mLsin θ·ω2＝m，得v＝，ω＝，A球细线与竖直方向的夹角较B球的大，则A球的线速度较B球的大，两球Lcos θ相等，则两球的角速度相等，故A正确，B错误；向心力Fn＝mgtan θ，A球细线与竖直方向的夹角较大，则向心力较大，故C错误；根据竖直方向上受力平衡有Fcos θ＝mg，A球与竖直方向的夹角较大，则A球所受细线的拉力较大，故D错误。
6.(2024·四川绵阳高一期末)如图所示，光滑小球串在三杆夹角均为120°的Y形杆上，三杆结点为O，Y形杆的一杆竖直，并绕该竖直杆匀速旋转，使小球维持在距O点l处，重力加速度为g，则Y形杆旋转的角速度ω为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 小球在水平面内做匀速圆周运动，圆周半径为r＝lsin 60°＝l，小球所受重力和支持力的合力提供向心力，即Fn＝mgtan 30°＝mg，由向心力公式Fn＝mω2r，可得ω＝＝＝，故A正确。
题组二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
7.(2024·河北张家口高一期末)如图所示，一半径为R的半球形金属壳开口向上，固定在水平面上，质量为m的物块沿金属壳内壁滑下，滑到最低点时速度大小为v，方向如图所示，若物块与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物块在最低点时，下列说法正确的是( )
A.向心力为m
B.向心力为mg＋m
C.滑动摩擦力为μm
D.滑动摩擦力为μmg＋m
答案 A
解析 依题意，根据向心力公式得Fn＝m，故A正确，B错误；根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，则有FN＝mg＋m，所以滑动摩擦力为Ff＝μ，故C、D错误。
8.(多选)如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A.线速度突然增大为原来的2倍
B.角速度突然增大为原来的2倍
C.向心力突然增大为原来的2倍
D.向心力突然增大为原来的4倍
答案 BC
解析 悬线碰到钉子前后，悬线的拉力始终与小球的运动方向垂直，小球的线速度大小不变，故A错误；悬线碰到钉子后，小球的运动半径减小为原来的一半，线速度大小不变，由ω＝知角速度变为原来的2倍，由Fn＝m可知向心力变为原来的2倍，故B、C正确，D错误。
9.如图所示，质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时悬线与竖直方向夹角为30°，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.小明在最高点的速度为零，合力为零
B.小明在最低点的加速度为零，速度最大
C.最高点秋千对小明的作用力为mg
D.最低点秋千对小明的作用力为mg
答案 C
解析 小明在最高点时，速度为零，受力分析如图，知F合＝mgsin 30°，F1＝mgcos 30°，解得F1＝mg，F合≠0，故A错误，C正确；小明在最低点速度最大，设最低点秋千对小明的作用力大小为F2，由牛顿第二定律可得F2－mg＝man＝m>0，知加速度不为零，秋千对小明的作用力F2大于mg，故B、D错误。
综合提升练
10.(多选)如图，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在水平的旋转圆盘上，座椅A离转轴的距离较近。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动，稳定后A、B都在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A. 座椅B的角速度比A的大
B.座椅B的向心力比A的大
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂B的缆绳所承受的拉力比悬挂A的缆绳所承受的拉力大
答案 BD
解析 同轴转动角速度相同，由于座椅B的圆周运动半径比座椅A的半径大，A、B质量相等，由Fn＝mω2r得B的向心力比A的大，故选项A错误，B正确；设缆绳与竖直方向的夹角为θ，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2r，解得tan θ＝，由于座椅B的圆周半径比座椅A的半径大，故B与竖直方向的夹角大，在竖直方向上有FTcos θ＝mg，解得FT＝，悬挂B的缆绳所受到的拉力比悬挂A的大，故选项C错误，D正确。
11.(2024·广东云浮高一统考期末)如图所示，马戏团正在上演飞车节目，杂技演员驾驶摩托车(整体可视为质点)在一个可视为球体的固定铁笼内绕铁笼的竖直直径在水平面内做匀速圆周运动，此时摩托车所在位置与铁笼中心O点的连线与水平方向的夹角θ＝30°。已知铁笼的半径R＝5.4 m，杂技演员与摩托车整体的质量m＝150 kg，不计铁笼与摩托车间的摩擦，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)请作出演员驾驶摩托车(整体可视为质点)的受力分析图；
(2)摩托车对铁笼的压力大小；
(3)摩托车此时行驶的速度大小。
答案 (1)见解析 (2)3 000 N (3)9 m/s
解析 (1)演员驾驶摩托车的受力分析如图
(2)由牛顿第二定律可得FNsin θ＝mg
可得铁笼对摩托车的支持力为
FN＝＝ N＝3 000 N
根据牛顿第三定律可知摩托车对铁笼的压力大小为
FN′＝FN＝3 000 N。
(3)由牛顿第二定律可得FNcos θ＝m
可得摩托车此时行驶的速度大小v＝9 m/s。
12.（多选）如图所示，两物块套在水平粗糙的杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆对物块的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块到轴的距离为物块A到轴的距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A受到的静摩擦力一直增大
B．A受到的静摩擦力先增大后减小
C．A受到的合外力一直在增大
D．受到的静摩擦力先增大后保持不变
答案 CD
解析 D.根据
得，当角速度逐渐增大时，B先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，B由绳子的拉力和最大静摩擦力提供向心力，有
B的静摩擦力一直增大，达到最大静摩擦力后不变，故D正确；
ABC.随着角速度增大，拉力增大，对于A有
联立有
可知A受到向右的摩擦力随着角速度的增大而减小，当拉力增大到一定程度，A所受的摩擦力减小到零，接着角速度继续增大，A受到的摩擦力向左增大，所以A所受的摩擦力先增大后减小，再增大，方向先是指向圆心，然后背离圆心，且A所受的合外力提供向心力，向心力一直增大，则A所受的合外力一直增大，故AB错误，C正确。
故选CD。
13．游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的8位同学，其中甲、乙同学的位置如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，若某时刻转到顶点a的甲同学将一小重物向右水平抛出使之恰好做自由落体运动，并立即通知下面的同学接住，结果重物掉落过程中被乙同学第一次到达最低点b时接到。已知“摩天轮”半径为R，重力加速度为g，不计人和吊篮的大小及重物的质量，假设人与吊篮之间除脚接触外没有其他接触。则（ ）
A．“摩天轮”转动的周期为2
B．乙同学初始状态受到的摩擦力向右
C．乙同学在最低点时对吊篮地板的压力大小为mg-mg
D．甲同学在最高点时对吊篮地板的压力大小为mg＋mg
答案 B
解析 A．由题意可知，重物做自由落体运动有
解得
此时间正好等于摩天轮圆周运动周期的八分之一，故摩天轮转动的周期为
故A错误；
B．乙同学若只受到支持力与重力，则不能提供乙做圆周运动的向心力，所以乙同学初始状态受到向右的摩擦力，故B正确；
CD．由牛顿第二定律可知，甲同学在最高点时有
解得
乙同学在最低点时有
解得
根据牛顿第三定律可知，甲、乙同学对吊篮地板的压力大小分别与吊篮地板对甲、乙同学的支持力大小相等，故CD错误。
故选B。
14．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径满足．当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
答案 C
解析 轮A和B边缘的线速度大小相等，根据
可知
在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上，则有
将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，设木块距B轮转轴的最大距离为，则有
联立解得
故选C。
培优加强练
15.（多选）如图所示，矩形框MNQP竖直放置，其中MP、PQ足够长，且MP杆粗糙、MN杆光滑，轻弹簧一端连接一个穿过MN杆、质量为m的小球a，另一端连接另一个穿过MP杆、质量也为m的小球b。已知框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球b在MP杆的位置不变，且ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时（ ）
A．小球a的高度更低 B．弹簧弹力的大小相等
C．小球b所受杆的摩擦力更大 D．小球b所受合外力更大
答案 BD
解析 AB．对小球a受力分析，设弹力为T，弹簧与水平方向的夹角为θ，小球在竖直方向有
而
可知θ为定值，T不变，则当转速增大后，小球a的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；
CD．以ω匀速转动时，根据题意无法判断小球b所受摩擦力的方向，所以无法判断摩擦力的变化，对小球b，有
r不变，角速度变大，则合外力变大，C错误，D正确。
故选BD。
16.(2024·广东广州高一期末)双人滑冰是2022年北京冬奥会比赛项目之一。某次训练中，男运动员以自己为轴拉着女运动员做圆周运动，若女运动员的质量为m，伸直的手臂与竖直方向的夹角为θ，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r，示意图如图所示。忽略女运动员受到的摩擦力，重力加速度为g。求：
(1)当女运动员刚要离开冰面时，女运动员的角速度大小；
(2)当女运动员的角速度为时，女运动员对冰面的弹力大小。
答案 (1) (2)mg
解析 (1)女运动员刚要离开地面时，受重力和男运动员对女运动员的拉力，有Fcos θ＝mg
Fsin θ＝mωr，解得ω1＝。
(2)对女运动员受力分析，如图所示
水平方向有
F′sin θ＝mωr
竖直方向有
F′cos θ＋FN＝mg
联立解得FN＝mg。
17．粗糙程度处处相同的细杆一端固定在竖直转轴上的O点，并可随竖直轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。杆未转动时，弹簧处于原长状态，此时圆环恰好静止在粗糙细杆上。当杆缓慢加速转动时，弹簧会逐渐被拉长。已知杆与竖直转轴的夹角始终为53°，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，求：
(1)圆环与粗糙细杆之间的动摩擦因数；
(2)某时圆环与粗糙细杆之间恰好没有摩擦力，此时角速度的大小；
(3)当角速度时，此时弹簧的长度。
答案 (1)
(2)
(3)
解析 （1）杆未转动时，弹簧处于原长状态，此时圆环恰好静止在粗糙细杆上，有
解得
（2）当杆开始缓慢加速转动时，先是斜向上的摩擦力逐渐减小，当摩擦力减为零时，圆环只受重力和支持力，合力沿径向提供向心力，有
解得
（3）当杆继续加速转动时，圆环所受摩擦力沿杆向下达到最大，此后弹簧开始拉长，设长度为，有
联立解得
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
