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第5.7节 章末综合复习
一、运动的合成与分解
例1 如图所示为中国无人机“翼龙”飞行时的照片。无人机巡航时水平分速度为40 m/s，竖直分速度为0。无人机接收到动作指令后立即在竖直方向上做匀加速直线运动，在水平方向上仍以40 m/s的速度做匀速直线运动。以无人机接收到动作指令为计时起点，当无人机运动的水平位移为160 m时，其竖直位移也为160 m，关于这一过程，下列说法正确的是( )
A.无人机的运动轨迹为直线
B.无人机运动的时间为8 s
C.无人机的加速度大小为20 m/s2
D.此时无人机的速度为80 m/s
答案 C
解析 无人机水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，其合运动的轨迹为曲线，A错误；水平方向满足x＝vt，解得运动的时间为t＝4 s，B错误；竖直方向满足y＝at2，解得a＝20 m/s2，C正确；vy＝at＝80 m/s，v合＝＝40 m/s，故D错误。
训练1河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要以最短时间渡河，则（ ）
A．船在河水中航行的轨迹是一条直线
B．船渡河的最短时间是60s
C．船在河水中的最大速度是3m/s
D．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
答案 D
解析 A．船在垂直于河岸方向上是匀速直线运动，在沿河岸方向上是变速运动，所以合运动的轨迹是曲线，不是直线，故A错误；
BD．当船渡河的时间最短时，船头应始终正对河岸与河岸垂直，则最短时间
选项B错误，D正确；
C．船在河水中的最大速度是
选项C错误；
故选D。
训练2在广东珠海举行的第十四届中国国际航空航天博览会上，身披七彩祥云的“歼-20”惊艳亮相珠海上空。在起飞一段时间内，“歼-20”水平方向做匀速直线运动，竖直向上运动的图像如图所示，则地面上观众看到的“歼-20”运动轨迹正确的是（ ）
A. B．
C． D．
答案 A
解析 根据题意可知“歼-20”水平方向做匀速直线运动，由图像可知竖直向上方向做匀速直线运动，所以合运动为匀速直线运动，其方向为斜向上。
故选A。
例2 (2024·四川眉山高一校考期中)已知河宽200 m，一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1＝10 min，小艇到达正对岸下游x＝120 m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过t2＝12.5 min小艇恰好到达正对岸的B处，求：
(1)水流的速度v1：
(2)小艇在静水中的速度v2；
(3)小艇与河岸的夹角α。
答案 (1)12 m/min (2)20 m/min (3)53°
解析 (1)水流速度为v1，小艇在静水中速度为v2，艇身与河岸垂直时，由x＝v1t1得
v1＝＝ m/min＝12 m/min。
(2)艇身与河岸垂直时，d＝v2t1
解得v2＝20 m/min。
(3)小艇逆向上游行驶时，速度情况如图所示，小艇与河岸夹角α的余弦cos α＝
解得α＝53°。
训练1汽艇船头垂直河岸从码头出发向对岸匀速航行，汽艇在静水中的航行速度是，河宽，河中任意位置的水流速度，下列说法正确的是（ ）
A．汽艇的航行速度是6m/s
B．汽艇从码头到达对岸的时间为100s
C．汽艇在距离出发点下游的600m处登陆
D．汽艇实际航行方向与河岸夹角的正切值
答案 B
解析 AD．汽艇在向对岸航行的过程中参与两个方向的运动：一是垂直河岸的运动，速度大小
；一是沿河岸向下游的运动，速度大小是。汽艇的合速度大小是
合速度的方向是与河岸的夹角
故AD错误；
B．汽艇过河的时间
故B正确；
C．汽艇沿河岸向下游运动的距离
故C错误。
故选B。
训练2关于轮船过河，下列正确的说法是（ ）
A．水流速度越大，渡河时间越长
B．欲使轮船最短时间过河，船头的指向应垂直于河岸
C．欲使轮船最短距离过河，船头的指向应垂直于河岸
D．轮船相对于水的速度越大，过河时间一定越短
答案 B
解析 将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，根据分运动和合运动具有等时性，在垂直于河岸方向上，船的速度越大，渡河的时间越短，当合速度的方向与河岸垂直，渡河的位移最短。
解决本题的关键将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，知道分运动和合运动具有等时性，各分运动具有独立性。
【详解】因为各分运动具有独立性，在垂直于河岸方向上
合运动与分运动具有等时性，知运动的时间不变。在沿河岸方向上
水流速度加快，则沿河岸方向上的位移增大，根据运动的合成，最终的位移增大。
A．当垂直对岸行驶时，水流速度变大，不会影响渡河时间，故A错误；
C．当时，船相对水的速度与水流速度的合速度垂直河岸时，轮船垂直到达对岸，此时渡河距离最短；当时，设船头与河岸的夹角为，当
时，渡河距离最小，故C错误；
B．当船头的指向垂直河岸时，渡河的时间最小，故B正确；
D．当垂直对岸行驶时，轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短；若没有垂直行驶时，渡河时间不一定越短，故D错误。
故选B。
二、平抛运动规律的应用
例3 (2024·河南南阳高一期中)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6)。从P点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度为1 m/s。不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球运动到曲面上所用时间为( )
A.1 s B. s
C. s D. s
答案 A
解析 小球做平抛运动，打在曲面上时，竖直方向位移为h＝gt2，水平方向位移x＝v0t，小球的坐标为(t，6－5t2)，小球打在曲面上，则满足曲面的方程，将小球坐标代入方程y＝x2，解得t＝1 s，故A正确，B、C、D错误。
训练1固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为、，经时间、分别落在等高的C、D两点，OC、OD与竖直方向的夹角均为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量
D．落在D点的小球不可能垂直打在圆弧上
答案 D
解析 AB．根据几何关系可知，两小球下落高度相等，竖直方向有
可知两小球下落的时间相等，则有
水平方向有
又
，
则有
故AB错误；
C．根据
由于两小球下落的时间相等，则甲球的速度变化量等于乙球的速度变化量，故C错误；
D．根据平抛运动推论可知，落在D点的小球速度方向反向延长线交水平位移的中点，由图可知交点一定位于圆心O点的左侧，所以落在D点的小球不可能垂直打在圆弧上，故D正确。
故选D。
训练2水平放置的圆柱体正上方有一点P，将一个小球从P点以沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，其飞行一段时间后，恰由Q点沿切线飞过，测得圆心O与Q的连线与OP的夹角为θ，试求：
（1）小球从P运动到Q的时间t；
（2）小球的初始位置P点到圆柱体最高点的高度H。
答案 （1）；（2）
解析 （1）设小球在Q点时的速度为，在Q点竖直方向的速度为，如图所示
根据几何关系可得到Q点速度同水平方向夹角为，则
可得
小球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动
，
代入数据得
（2）平抛运动，在水平方向匀速运动
由几何关系
竖直方向位移
可得
小球距圆柱体的高度
联立可得
例4 如图所示，足够长的斜面静止在水平地面上，将质量为m的小球从斜面底端以初速度v0抛出，初速度的方向与斜面间夹角为θ，小球恰好沿水平方向撞到斜面上。不计空气阻力。若仍将小球从斜面底端抛出，改变以下条件，仍能使小球水平撞到斜面上的是( )
A.仅增大v0
B.仅适当增大θ
C.将m和θ都适当减小
D.将v0和θ都适当增大
答案 A
解析 利用逆向思维，可知小球的逆运动为从斜面上水平抛出，然后落到斜面底端。根据平抛运动的推论tan α＝2tan β(α为物体速度和水平方向的夹角，β为物体位移和水平方向的夹角)，由于位移和水平方向的夹角β不变，所以速度和水平方向的夹角α也不变，即小球落到斜面底端时的速度方向不变，θ不变。所以，若保持θ不变，仅增大初速度v0，仍能使小球水平撞到斜面上，故A正确，B、C、D错误。
解决平抛运动问题的三个突破口
(1)平抛运动的时间。平抛运动规律中，各物理量都与时间有联系，所以只要求出平抛运动的时间，其他的物理量都可轻松解出。
(2)平抛运动的偏转角。如图所示，tan θ＝2tan α。
(3)平抛运动的一段轨迹。如图为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取A、E、B三点，使FE＝DB。
则有tAE＝tEB＝T
竖直方向上由匀变速直线运动推论得FC－AF＝gT2，可求g。
水平方向上由匀速直线运动规律得FE＝DB＝v0T，可求v0。
训练1如图所示，一小球从O点水平抛出后途经A、B两点的轨迹，已知小球从O到A的时间等于从A到B的时间，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球从O到B的位移是从O到A位移的4倍
B．小球在B点速度的大小是A点速度大小的2倍
C．小球从O到B速度的变化量是从O到A速度的变化量的2倍
D．小球在B点速度与水平方向的夹角是A点速度与水平方向的夹角的2倍
答案 C
解析 A．小球做平抛运动，可得
，，，
可知
，
根据小球的位移
可知小球从O到B的位移不是从O到A位移的4倍。故A错误；
B．依题意，小球竖直方向做自由落体运动，有
，
由小球运动的速度
可知小球在B点速度的大小不是A点速度大小的2倍。故B错误；
C．小球速度的变化量
可知
故C正确；
D．速度偏转角的正切值
可知
故D错误。
故选C。
训练2如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（ ）
A．三个小球平抛运动时间的大小关系为
B．三个小球平抛初速度的大小关系为
C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直
D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60°
答案 D
解析 A．根据
B小球竖直位移最大，时间最长，A、C两个小球竖直位移相等，时间相同，故A错误；
B．三个小球下落相同高度的情况下，时间相同，根据
C小球抛得最远，A小球抛得最近，故平抛初速度满足
故B错误；
C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故C错误；
D．落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为，则
速度与水平方向夹角大于60°，故D正确。
故选D。
三、平抛运动与体育运动相结合的问题
例5 壁球是一种对墙击球的室内运动，如图所示，某同学由A点正对竖直墙面击出壁球(可将其视为质点)，已知球击出的初速度大小为v、初速度与水平方向的夹角为θ，重力加速度的大小为g，不计空气阻力，要使壁球垂直打在竖直墙面上，则A点到墙壁的距离为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设A点到墙壁的距离为d，将壁球的运动分解到水平方向和竖直方向，在水平方向做匀速直线运动d＝vtcos θ，在竖直方向上，做竖直上抛运动vsin θ＝gt，两式联立消去时间得d＝＝，故C正确。
训练1当地时间2024年8月9日晚，在法兰西体育场进行的巴黎奥运会女子铅球决赛中，中国队选手宋佳媛以19米32的成绩夺得铜牌。如图所示为宋佳媛在某次训练中以大小为、方向与水平方向成角斜向上的速度掷出铅球的运动轨迹，重力加速度大小为，抛出点距水平地面的距离为，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．铅球做变加速曲线运动
B．铅球落地时的速度大小为
C．轨迹的最高点距水平地面的距离为
D．铅球从抛出到运动到与抛出点等高处所用的时间为
答案 D
解析 A．斜抛时铅球只受重力作用，做匀变速曲线运动，A错误；
B．由机械能守恒定律有
解得
B错误；
CD．斜抛时，当铅球在竖直方向的分速度减为0时，铅球运动到轨迹的最高点，则有
解得
则轨迹的最高点距水平地面的距离为
由
解得铅球从抛出到运动到轨迹最高点所用的时间
由运动的对称性可知，铅球从抛出到运动到与抛出点等高处所用的时间
C错误，D正确。
故选D。
训练2某运动员在练习投掷铅球时，两次将铅球以相同速率从点抛出，如图所示，两次铅球均落在位置，第一次抛出时速度方向水平，第二次抛出时速度方向与水平方向的夹角为，已知抛出点与落地点的竖直高度差为，水平距离为，重力加速度为，不计空气阻力，下列关于的关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案 B
解析 设铅球抛出时初速度大小为，第一次抛出时铅球做平抛运动，设平抛运动时间为，则水平方向有
竖直方向有
联立解得
设第二次抛出时运动时间为，水平方向有
竖直方向设向下为正方向，则有
代入，解得
故选B。
例6 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为l1和l2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气阻力的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.B.C.D.答案 D
解析 设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1，刚好不触网且过球网正中间，则竖直方向上有
3h－h＝gt①
水平方向上有＝v1t1②
由①②两式可得v1＝
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，则竖直方向有3h＝gt③
水平方向有＝v2t2④
由③④两式可得v2＝
则v的最大取值范围为v1训练1网球运动员将球沿水平方向击出，球离开球拍后划出一条曲线向对方场地飞去，如图所示。网球可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．网球的初速度越大，在空中运动时间越长
B．网球初位置越高，水平位移越大
C．网球在空中的速度变化量仅由抛出时的高度决定
D．网球的落地速度越大，说明抛出位置越高
答案 C
解析 A．竖直方向有
解得
可知网球的飞行时间与初速度无关，故A错误；
B．水平方向有
可知网球水平位移与高度和初速度有关，初位置越高，初速度小，水平位移不见得越大，故B错误；
C．网球在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，速度变化量只在竖直方向，有
解得
可知，网球在空中的速度变化量仅由抛出时的高度决定，故C正确；
D．竖直方向有
解得
水平方向有
则落地速度为
可知，落地速度的大小与初速度和抛出点的高度有关，高度相同，则初速度越大，落地速度越大，故D错误。
故选C。
训练2在2024年巴黎奥运会上，郑钦文为中国队获得奥运历史上的第一块单打网球金牌。如图所示为运动员练球时的场景，运动员将网球（可视为质点）从O点以一定速度水平击出，网球经过M点时速度方向与竖直方向的夹角为60°，落到水平地面上的N点时速度方向与竖直方向的夹角为45°，且网球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等，垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的且方向反向。网球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．网球拋出时的初速度大小为
B．O点距水平地面的高度为3h
C．网球从O点运动到M点的时间为
D．O、N两点间的水平距离为4h
答案 A
解析 A．网球与地面碰撞后弹起的最大高度为h，网球弹起后竖直方向有
解得
由题意可得落地时的竖直分速度为
网球落到水平地面上的N点时速度方向与竖直方向的夹角为45°，可得网球抛出时的初速度大小为
A正确；
B．根据
可得O点距水平地面的高度为
B错误；
C．根据题意，在M点有
，
可求得网球从O点运动到M点的时间
C错误；
D．网球落地时的竖直分速度
根据
解得网球落地的时间
水平方向有
解得O、N两点间的水平距离
D错误。
故选A。
四、实验：探究平抛运动的特点
例7 (2024·南通市高一期末)用如图甲所示的装置“探究平抛运动的特点”，M为斜槽，N为水平放置的可上下调节的倾斜挡板。
(1)除了硬背板(含固定支架)、小球、斜槽M、铅垂线、倾斜的挡板N、铅笔、图钉、白纸、复写纸之外，下列器材中还需要的是________。
A.秒表 B.刻度尺
C.天平 D.弹簧测力计
(2)本实验需要选择合适的点作为坐标原点O，建立直角坐标系，下列选项中，原点选择正确的是________。
(3)实验中得到的轨迹如图乙，其中O点为平抛运动的起点，重力加速度g取9.8 m/s2，根据图中给出的数据可得小球做平抛运动的初速度v0＝________ m/s。
答案 (1)B (2)C (3)1.6
解析 (1)本实验需要刻度尺测量长度，不需要秒表，时间由位移计算，不需要天平和弹簧测力计测量质量和重力，故选B。
(2)小球从斜槽末端位置开始做平抛运动，所以平抛运动的初位置为小球在斜槽末端球心的投影点，故选C。
(3)根据y＝gt2得小球平抛运动的时间为t＝＝ s＝0.2 s，则小球平抛运动的初速度为v0＝＝ m/s＝1.6 m/s。
训练1图（a）为用二维运动传感器研究平抛运动的实验装置图。将发射器A从倾斜轨道上某位置由静止释放后，A沿轨道下滑，并从轨道末端水平向左抛出，A在运动过程中每隔0.02s向周围空间发射一次红外线、超声波脉冲，接收器B上的两个红外线、超声波传感器B1、B2接收脉冲，并通过计算机记录脉冲到达传感器的时间。
(1)在实验室条件下， （选填“需要”或“不需要”）考虑红外线从A到B的传播时间；
(2)A某次脉冲发出后，B接收到红外线脉冲的时刻为t0，B1、B2接收到超声波脉冲的时刻分别为t1、t2，则由这三个数据可以计算出A在 时刻到B1、B2的直线距离分别为s1= 、s1= （已知超声波在空气中传播的速度为v）；由于B1、B2的间距已知，由几何知识即可确定A在该时刻的位置；
(3)本实验有如下操作步骤，则实验操作的顺序应为 ；
A．将发射器A放置在轨道的水平部分的末端
B．将发射器A从轨道的倾斜部分上某位置由静止释放
C．在计算机软件中点击“零点设置”按钮，进行坐标调零——即设置A此时的位置坐标为（0，0）
D．在计算机软件中点击“开始记录”按钮，开始采集发射器A位置随时间变化的信息
(4)（多选）如图（b）所示为某次实验得到的A抛出后不同时刻的水平、竖直位置坐标，点击计算机软件中的“二次拟合”按钮，绘制得到A做平抛运动时的关系图像，则__________。
A．应让所有数据点都落在拟合曲线上
B．该图像为发射器A做平抛运动的实际轨迹
C．由图示数据可计算A做平抛运动的加速度
D．由图示数据可计算A做平抛运动的初速度
答案 (1)不需要
(2) t0
(3)ACDB
(4)CD
解析 （1）光速太大，实验装置尺度太小，故不需要考虑光的传播时间；
（2）不考虑红外线传播时间，故B接收到红外线的时刻t0就是A发出红外线的时刻；超声波从t0时刻发出到t1、t2时刻被B接收，超声波传播的距离分别为，；
（3）为了保证做平抛运动，将发射器A放置在轨道的水平部分的末端，开始释放A记录位置数据前，需要先确定抛出点的位置并进行坐标调零，将A放在轨道末端进行定位调零，释放A之前就应该打开“开始记录”按钮，否则，B有可能记录不到完整的平抛运动位置数据，再将将发射器A从轨道的倾斜部分上某位置由静止释放，故实验步骤排序为ACDB；
（4）AB．应该让数据均匀分布在曲线的两边，得出拟合的平抛运动的曲线，该曲线不是发射器的运动轨迹，只是通过各个点拟合出来的运动曲线，故AB错误；
CD．题干说明了A发出脉冲的时间间隔为0.02 s，故可由X坐标随时间变化规律确定A的平抛初速度，由Y坐标随时间变化规律确定A的平抛加速度——即自由落体加速度，故CD正确。
故选CD。
训练2用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。
(1)下列实验条件必须满足的有________。
A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末段水平
C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。
a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的球心对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时y轴与重锤线平行。
b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则 （选填“大于”、“等于”或者“小于”）。可求得钢球平抛的初速度大小为 （已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示）。
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是_______。
A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹
B．用频闪照相在同一底片上记录平抛小球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹
C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
(4)伽利略曾研究过平抛运动，他推断：从同一炮台水平发射的炮弹，如果不受空气阻力，不论它们能射多远，在空中飞行的时间都一样。这实际上揭示了平抛物体________。
A．在水平方向上做匀速直线运动 B．在竖直方向上做自由落体运动
答案 (1)BD
(2) 大于
(3)AB
(4)B
解析 （1）本实验中要保证小球飞出斜槽末端时的速度为水平，即小球做平抛运动，且每次飞出时的速度应相同，所以只要每次将小球从斜槽上同一位置由静止释放即可。
故选BD。
（2）[1]由初速度为零的匀加速直线运动规律即在相等时间间隔内所通过的位移之比为1∶3∶5∶7∶....可知，由于A点不是抛出点，所以；
[2]设AB，BC间所用的时间为T，竖直方向有
水平方向有
联立解得
（3）A．细管A始终在水面之下，B就会喷出稳定的细水柱，故可行，A正确；
B．用频闪照相在同一底片上记录小球不同时刻的位置即平抛运动的轨迹上的点，平滑连接在一起即为平抛运动轨迹，所以此方案可行，B正确；
C．将铅笔垂直于竖直的白板放置，以一定初速度水平抛出，笔尖与白纸间有摩擦阻力的作用，所以铅笔作的不是平抛运动，故此方案不可行，C错误。
故选AB。
（4）由平抛运动竖直方向运动可知
解得运动时间
所以只要高度相同，时间相同，说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动。
故选B。
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第5.7节 章末综合复习
一、运动的合成与分解
例1 如图所示为中国无人机“翼龙”飞行时的照片。无人机巡航时水平分速度为40 m/s，竖直分速度为0。无人机接收到动作指令后立即在竖直方向上做匀加速直线运动，在水平方向上仍以40 m/s的速度做匀速直线运动。以无人机接收到动作指令为计时起点，当无人机运动的水平位移为160 m时，其竖直位移也为160 m，关于这一过程，下列说法正确的是( )
A.无人机的运动轨迹为直线
B.无人机运动的时间为8 s
C.无人机的加速度大小为20 m/s2
D.此时无人机的速度为80 m/s
训练1河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要以最短时间渡河，则（ ）
A．船在河水中航行的轨迹是一条直线
B．船渡河的最短时间是60s
C．船在河水中的最大速度是3m/s
D．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
训练2在广东珠海举行的第十四届中国国际航空航天博览会上，身披七彩祥云的“歼-20”惊艳亮相珠海上空。在起飞一段时间内，“歼-20”水平方向做匀速直线运动，竖直向上运动的图像如图所示，则地面上观众看到的“歼-20”运动轨迹正确的是（ ）
B．
C． D．
例2 (2024·四川眉山高一校考期中)已知河宽200 m，一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1＝10 min，小艇到达正对岸下游x＝120 m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过t2＝12.5 min小艇恰好到达正对岸的B处，求：
(1)水流的速度v1：
(2)小艇在静水中的速度v2；
(3)小艇与河岸的夹角α。
训练1汽艇船头垂直河岸从码头出发向对岸匀速航行，汽艇在静水中的航行速度是，河宽，河中任意位置的水流速度，下列说法正确的是（ ）
A．汽艇的航行速度是6m/s
B．汽艇从码头到达对岸的时间为100s
C．汽艇在距离出发点下游的600m处登陆
D．汽艇实际航行方向与河岸夹角的正切值
训练2关于轮船过河，下列正确的说法是（ ）
A．水流速度越大，渡河时间越长
B．欲使轮船最短时间过河，船头的指向应垂直于河岸
C．欲使轮船最短距离过河，船头的指向应垂直于河岸
D．轮船相对于水的速度越大，过河时间一定越短
二、平抛运动规律的应用
例3 (2024·河南南阳高一期中)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6)。从P点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度为1 m/s。不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球运动到曲面上所用时间为( )
A.1 s B. s
C. s D. s
训练1固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为、，经时间、分别落在等高的C、D两点，OC、OD与竖直方向的夹角均为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量
D．落在D点的小球不可能垂直打在圆弧上
训练2水平放置的圆柱体正上方有一点P，将一个小球从P点以沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，其飞行一段时间后，恰由Q点沿切线飞过，测得圆心O与Q的连线与OP的夹角为θ，试求：
（1）小球从P运动到Q的时间t；
（2）小球的初始位置P点到圆柱体最高点的高度H。
例4 如图所示，足够长的斜面静止在水平地面上，将质量为m的小球从斜面底端以初速度v0抛出，初速度的方向与斜面间夹角为θ，小球恰好沿水平方向撞到斜面上。不计空气阻力。若仍将小球从斜面底端抛出，改变以下条件，仍能使小球水平撞到斜面上的是( )
A.仅增大v0
B.仅适当增大θ
C.将m和θ都适当减小
D.将v0和θ都适当增大
解决平抛运动问题的三个突破口
(1)平抛运动的时间。平抛运动规律中，各物理量都与时间有联系，所以只要求出平抛运动的时间，其他的物理量都可轻松解出。
(2)平抛运动的偏转角。如图所示，tan θ＝2tan α。
(3)平抛运动的一段轨迹。如图为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取A、E、B三点，使FE＝DB。
则有tAE＝tEB＝T
竖直方向上由匀变速直线运动推论得FC－AF＝gT2，可求g。
水平方向上由匀速直线运动规律得FE＝DB＝v0T，可求v0。
训练1如图所示，一小球从O点水平抛出后途经A、B两点的轨迹，已知小球从O到A的时间等于从A到B的时间，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球从O到B的位移是从O到A位移的4倍
B．小球在B点速度的大小是A点速度大小的2倍
C．小球从O到B速度的变化量是从O到A速度的变化量的2倍
D．小球在B点速度与水平方向的夹角是A点速度与水平方向的夹角的2倍
训练2如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（ ）
A．三个小球平抛运动时间的大小关系为
B．三个小球平抛初速度的大小关系为
C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直
D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60°
三、平抛运动与体育运动相结合的问题
例5 壁球是一种对墙击球的室内运动，如图所示，某同学由A点正对竖直墙面击出壁球(可将其视为质点)，已知球击出的初速度大小为v、初速度与水平方向的夹角为θ，重力加速度的大小为g，不计空气阻力，要使壁球垂直打在竖直墙面上，则A点到墙壁的距离为( )
A. B.
C. D.
训练1当地时间2024年8月9日晚，在法兰西体育场进行的巴黎奥运会女子铅球决赛中，中国队选手宋佳媛以19米32的成绩夺得铜牌。如图所示为宋佳媛在某次训练中以大小为、方向与水平方向成角斜向上的速度掷出铅球的运动轨迹，重力加速度大小为，抛出点距水平地面的距离为，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．铅球做变加速曲线运动
B．铅球落地时的速度大小为
C．轨迹的最高点距水平地面的距离为
D．铅球从抛出到运动到与抛出点等高处所用的时间为
训练2某运动员在练习投掷铅球时，两次将铅球以相同速率从点抛出，如图所示，两次铅球均落在位置，第一次抛出时速度方向水平，第二次抛出时速度方向与水平方向的夹角为，已知抛出点与落地点的竖直高度差为，水平距离为，重力加速度为，不计空气阻力，下列关于的关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例6 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为l1和l2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气阻力的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.B.C.D.训练1网球运动员将球沿水平方向击出，球离开球拍后划出一条曲线向对方场地飞去，如图所示。网球可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．网球的初速度越大，在空中运动时间越长
B．网球初位置越高，水平位移越大
C．网球在空中的速度变化量仅由抛出时的高度决定
D．网球的落地速度越大，说明抛出位置越高
训练2在2024年巴黎奥运会上，郑钦文为中国队获得奥运历史上的第一块单打网球金牌。如图所示为运动员练球时的场景，运动员将网球（可视为质点）从O点以一定速度水平击出，网球经过M点时速度方向与竖直方向的夹角为60°，落到水平地面上的N点时速度方向与竖直方向的夹角为45°，且网球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等，垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的且方向反向。网球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．网球拋出时的初速度大小为
B．O点距水平地面的高度为3h
C．网球从O点运动到M点的时间为
D．O、N两点间的水平距离为4h
四、实验：探究平抛运动的特点
例7 (2024·南通市高一期末)用如图甲所示的装置“探究平抛运动的特点”，M为斜槽，N为水平放置的可上下调节的倾斜挡板。
(1)除了硬背板(含固定支架)、小球、斜槽M、铅垂线、倾斜的挡板N、铅笔、图钉、白纸、复写纸之外，下列器材中还需要的是________。
A.秒表 B.刻度尺
C.天平 D.弹簧测力计
(2)本实验需要选择合适的点作为坐标原点O，建立直角坐标系，下列选项中，原点选择正确的是________。
(3)实验中得到的轨迹如图乙，其中O点为平抛运动的起点，重力加速度g取9.8 m/s2，根据图中给出的数据可得小球做平抛运动的初速度v0＝________ m/s。
训练1图（a）为用二维运动传感器研究平抛运动的实验装置图。将发射器A从倾斜轨道上某位置由静止释放后，A沿轨道下滑，并从轨道末端水平向左抛出，A在运动过程中每隔0.02s向周围空间发射一次红外线、超声波脉冲，接收器B上的两个红外线、超声波传感器B1、B2接收脉冲，并通过计算机记录脉冲到达传感器的时间。
(1)在实验室条件下， （选填“需要”或“不需要”）考虑红外线从A到B的传播时间；
(2)A某次脉冲发出后，B接收到红外线脉冲的时刻为t0，B1、B2接收到超声波脉冲的时刻分别为t1、t2，则由这三个数据可以计算出A在 时刻到B1、B2的直线距离分别为s1= 、s1= （已知超声波在空气中传播的速度为v）；由于B1、B2的间距已知，由几何知识即可确定A在该时刻的位置；
(3)本实验有如下操作步骤，则实验操作的顺序应为 ；
A．将发射器A放置在轨道的水平部分的末端
B．将发射器A从轨道的倾斜部分上某位置由静止释放
C．在计算机软件中点击“零点设置”按钮，进行坐标调零——即设置A此时的位置坐标为（0，0）
D．在计算机软件中点击“开始记录”按钮，开始采集发射器A位置随时间变化的信息
(4)（多选）如图（b）所示为某次实验得到的A抛出后不同时刻的水平、竖直位置坐标，点击计算机软件中的“二次拟合”按钮，绘制得到A做平抛运动时的关系图像，则__________。
A．应让所有数据点都落在拟合曲线上
B．该图像为发射器A做平抛运动的实际轨迹
C．由图示数据可计算A做平抛运动的加速度
D．由图示数据可计算A做平抛运动的初速度
训练2用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。
(1)下列实验条件必须满足的有________。
A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末段水平
C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。
a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的球心对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时y轴与重锤线平行。
b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则 （选填“大于”、“等于”或者“小于”）。可求得钢球平抛的初速度大小为 （已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示）。
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是_______。
A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹
B．用频闪照相在同一底片上记录平抛小球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹
C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
(4)伽利略曾研究过平抛运动，他推断：从同一炮台水平发射的炮弹，如果不受空气阻力，不论它们能射多远，在空中飞行的时间都一样。这实际上揭示了平抛物体________。
A．在水平方向上做匀速直线运动 B．在竖直方向上做自由落体运动
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