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第5.6节 培优提升二
平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题
学习目标
1.掌握平抛运动与斜面和曲面结合问题的解题方法。
2.会分析有关平抛运动的临界和极值问题。
3.会用平抛运动的分析方法分析类平抛运动。
提升1 与斜面和曲面关联的平抛运动
几种常见的运动情形和分析方法
运动情形 分析方法
从空中水平抛出垂直落到斜面上，速度偏转角与斜面倾角互余，即α＋θ＝ 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝ tan θ＝＝
从斜面某点水平抛出又落到斜面上，斜面的倾角等于位移与水平方向的夹角 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝
从斜面外水平抛出，要求以最短位移打到斜面，位移的方向与斜面垂直，即α＋θ＝ 分解位移 x＝v0t，y＝gt2 tan θ＝＝ tan α＝＝
从斜面外水平抛出，沿斜面方向落入斜面，其合速度方向沿斜面方向 分解速度 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝
角度1 从斜面上水平抛出
例1 如图所示，女子跳台滑雪运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑道上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。设某运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不考虑空气阻力(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s；
(3)运动员落到斜面上时的速度大小；
(4)运动员何时离斜面最远。
答案 (1)3 s (2)75 m (3)10 m/s (4)1.5 s
解析 (1)运动员由A点到B点做平抛运动，水平方向的位移x＝v0t，竖直方向的位移y＝gt2
又＝tan 37°
联立解得t＝＝3 s。
(2)由题意知sin 37°＝＝，得A、B间的距离s＝＝75 m。
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量
vy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
运动员落到斜面上时的速度大小
v＝＝10 m/s。
(4)如图，运动员距离斜面最远时，合速度方向与斜面平行，有
tan 37°＝
即tan 37°＝
解得t′＝＝1.5 s。
(1)平抛运动求时间利用各个分运动的等时性和独立性进行求解。
(2)计算分速度、合速度可分别求分速度，然后合成，也可以利用三角函数的关系进行联系。
(3)计算分位移、合位移可以分别求分位移，然后合成，也可以利用三角函数的关系进行联系。
(4)解决斜面上的平抛运动也可以沿斜面和垂直斜面建坐标系，恰当的选取坐标系，可以使运算简化。
训练1如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)( )
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
答案 A
解析
过b做一条与水平面平行的一条直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v0水平抛出时，小球落在水直线上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在我们所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。
故选A。
训练2如图所示，水平地面上固定一足够大斜面，斜面倾角为37°，从斜面上一点P正上方沿与水平方向成45°角斜向上抛出一小球，小球抛出速度最大为10 m/s，已知重力加速度g = 10 m/s2，抛出点与P点间的距离为3 m，则斜面上与抛出点等高的可能落点构成线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
答案 D
解析 小球初速度方向与水平方向夹角为45°，当小球初速度大小为10 m/s时，小球落到与抛出点等高的落点时水平位移最大，此时小球的水平位移为
且
解得
当小球面对斜面抛出且初速度方向与AA′垂直时，小球落到与抛出点等高的落点时水平位移最小，此时小球的水平位移为
则斜面上与抛出点等高的落点构成线段的长度为
故选D。
角度2 对着斜面水平抛出
例2 如图所示，一个小球从高h＝10 m处以水平速度v0＝10 m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知AC＝5 m，g取10 m/s2。求：
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度的大小和方向。
答案 (1)5 m (2)10 m/s 方向垂直于斜面向下
解析 (1)A、C之间的距离s＝5 m，设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律有
s＋Lcos 45°＝v0t
h－Lsin 45°＝gt2
联立解得L＝5 m，t＝1 s。
(2)小球撞击P点时的水平速度v0＝10 m/s
竖直速度vy＝gt＝10 m/s
所以小球撞击P点时速度的大小为v＝10 m/s
设小球的速度方向与水平方向的夹角为α
则tan α＝＝1，α＝45°，即方向垂直于斜面向下。
训练1一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是（ ）
A．＜v＜
B．＜v＜
C．＜v＜
D．＜v＜
答案 D
解析 若球与网恰好不相碰，根据
得
水平位移的最小值
则最小速度
若球与球台边缘相碰，根据
得
水平位移的最大值为
则最大速度
故选D。
训练2 2024年10月27日，中国网球名将郑钦文在WTA500东京站女单决赛中以2比0战胜对手肯宁，为自己的职业生涯再添一座冠军奖杯。某次郑钦文将网球沿水平方向击出，若击出时网球的速度越大（不计空气阻力），则（ ）
A．网球在空中运动的时间越长
B．网球落地瞬间竖直方向的速度越大
C．网球的位移越大
D．网球落地瞬间速度与水平方向的夹角越大
答案 C
解析 A．由平抛运动的规律
可知，网球在空中运动的时间取决于下落的高度，与网球的初速度大小无关，故A错误；
B．又网球落地瞬间的竖直速度为
显然该速度与网球初速度的大小无关，故B错误；
C．网球的初速度越大，网球的水平位移越大，则网球的位移越大，故C正确；
D．网球落地瞬间，由
可知，网球的初速度越大，网球落地瞬间速度与水平方向的夹角越小，故D错误。
故选C。
角度3 对着曲面水平抛出
例3 (2024·云南省玉溪三中高一期末)如图所示，AB为一半径为R的圆弧，圆心位置O，一小球从与圆心等高的某点沿半径方向水平抛出，恰好垂直落在AB面上的Q点，且速度与水平方向夹角为53°，则小球从抛出点到Q点的水平距离为( )
A.0.6R B.0.8R
C.R D.1.2R
答案 D
解析 如图所示，小球恰好垂直落在AB面上的Q点，作速度的反向延长线，交于O点，由平抛运动的推论可知，速度反向延长线通过水平位移的中点，故tan 53°＝，结合圆的几何关系可得＋y2＝R2，联立可解得x＝1.2R，D正确。
(1)能够理解小球垂直打在圆面上，速度反向延长一定过圆心。
(2)解决平抛运动和圆弧相结合的问题，会应用到圆的切线、垂线及圆的轨迹方程，利用数形结合建立联系。
训练1如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP=37°，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法正确的是（ ）
A．物体B比A先到达P点
B．A、B物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA:vB=16:9
D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA:vB=4:3
答案 BC
解析 AB．根据题意两物体竖直方向下落高度相等，则有
可知，A、B物体一定同时到达P点，故A错误，B正确；
CD．物体做平抛运动，水平方向有
，
结合上述解得
vA:vB=16:9
故C正确，D错误。
故选BC。
训练2如图所示，AB为半圆弧ACB的水平直径，C为ACB弧的中点，AB＝1.5 m，从A点水平抛出一小球，小球下落0.3 s后落到半圆弧ACB上，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则小球抛出的初速度v0可能为( )
A．0.5 m/s B．1.5 m/s
C．3 m/s D．4.5 m/s
答案 AD
解析 小球水平方向做平抛运动，根据
可得下落0.3s的高度为
半径为0.75m，则水平距离可能为
则平抛运动的初速度为
水平距离还可能为
则平抛运动的初速度为
故选AD。
提升2 平抛运动的临界极值问题
常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
例4 (2024·广东茂名市高一期末)中国面食文化博大精深，“刀削面”的历史最早可以追溯到元朝，其制作方式可用平抛运动的模型来进行分析。如图所示，古人在制作刀削面时面团距离锅的高度h＝0.45 m，与锅沿的水平距离L＝0.3 m，锅的半径也为L＝0.3 m，“刀削面”在空中的运动可看作平抛运动，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)面片在空中运动的时间；
(2)面片恰好落在锅中心O点时的速度大小(结果可带根号)；
(3)为保证削出的面片都落在锅内，削出的面片初速度v0大小的取值范围。
答案 (1)0.3 s (2) m/s (3)1 m/s解析 (1)据平抛运动特点，竖直方向上h＝gt2
得t＝＝0.3 s。
(2)落在锅中心O点时的水平速度大小
v01＝＝2 m/s
竖直方向速度大小vy＝gt＝3 m/s
恰好落在锅中心O点时的速度大小
v＝＝ m/s。
(3)面片水平位移的范围为L由平抛运动特点，有x＝v0t
代入数据得1 m/s平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。
训练1某同学借助安装在高处的篮球发球机练习原地竖直起跳接球。该同学站在水平地面上，与出球口水平距离l = 2.5 m，举手时手掌距地面最大高度h0 = 2.0 m。发球机出球口以速度v0 = 5 m/s沿水平方向发球。从篮球发出到该同学起跳离地，耗时t0 = 0.2 s，该同学跳至最高点伸直手臂恰能在头顶正上方接住篮球。重力加速度g大小取10 m/s2。求：
(1)t0时间内篮球的位移大小；
(2)出球口距地面的高度。
答案 (1)
(2)3.7 m
解析 （1）在t0时间内，篮球水平方向做匀速直线运动，位移为
竖直方向做自由落体运动，位移为
所以篮球的位移为
（2）从发出球到接住球经过的时间为
所以该同学起跳离地到接住球经历的时间为
同学起跳后上升的高度为
整个过程篮球下降的高度
所以出球口距地面的高度为
训练2将、两个小球从不同高度同时水平抛出，其运动轨迹在同一竖直平面内，如图中虚线所示，两轨迹的交点为，空气阻力不计，则（ ）
A．球比球先落地 B．球的水平位移一定大于球
C．、两球可能会在点相遇 D．、两球落地时速度大小可能相同
答案 AD
解析 A．由于 a 、b 两个小球从不同高度同时水平抛出，球b下落高度小，由
可知，球比球先落地，故A正确；
B．小球落地时的速率大小由水平方向的速度大小和竖直方向的速度大小共同来决定，因两球水平抛出时的初速度大小题中没有给出，所以落地时a球速率不一定大于b球速率，故B错误；
C．由于 a 、b 两个小球从不同高度同时水平抛出，下落到P点的时间不同，所以不能在P点相遇，故C错误；
D．由于两球的初速度大小未知，则两球落地的速度大小
可能相同，故D正确。
故选AD。
例5 (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
答案
解析 设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy，不计空气阻力，石子做平抛运动
竖直方向有v＝2gh
恰好可以观察到“水漂”时，有tan θ≥
联立解得v0≥
即抛出速度的最小值为vmin＝。
训练1如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为，球网高。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线。（忽略一切阻力重力加速度）
(1)发球机有效发球时发出网球的最大速率？
(2)发球机有效发球时发出网球的最小速率？
答案 (1)
(2)
解析 （1）速度最大时，网球的水平位移
飞行时间
最大速度
（2）当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应擦网恰好到达有效区域的边缘，如图所示网球恰不触网
则有
解得
网球在水平方向上做匀速直线运动，即
因与为相似三角形，则有
因、，可得
则
方程联立，发球机有效发球时发出网球的最小速率为
训练2如图为跳台滑雪的局部赛道的示意图，A为起跳台的边缘，BC是倾角的雪坡，雪坡的顶端B位于A点的正下方。经过助滑的运动员（可视为质点），在时从A点沿水平方向飞出，时刻运动员的速度方向与雪坡平行，时刻落到雪坡上的P点。不考虑运动员受到的空气阻力，取，，重力加速度为g，求：
(1)运动员从A点飞出时速度的大小；
(2)A、B两点的高度差。
答案 (1)
(2)
解析 （1）时刻运动员的速度方向与雪坡平行，则
解得运动员从A点飞出时速度的大小
（2）时刻落到雪坡上的P点，则
，，
解得A、B两点的高度差
提升3 类平抛运动
1.类平抛运动的概念
凡是合外力恒定且垂直于初速度方向的运动都可以称为类平抛运动。
2.类平抛运动的特点
(1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直向下，但合力的方向应与初速度方向垂直。
(2)加速度不一定等于重力加速度g，但应恒定不变。
3.类平抛运动的分析方法
(1)类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动的合运动。
(2)处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。
4.类平抛运动的规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。
合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。
例6 如图所示，光滑斜面长L＝10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10 m/s的初速度水平抛出，g＝10 m/s2。求：
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
答案 (1)20 m (2)10 m/s
解析 (1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝ma
又L＝at2
解得t＝＝2 s
所以x＝v0t＝10×2 m＝20 m。
(2)设小球运动到斜面底端时的速度为v，则有
vx＝v0＝10 m/s
vy＝＝＝＝10 m/s
故v＝＝10 m/s。
训练1如图所示，AB为固定斜面，倾角为，小球从A点以初速度水平抛出，恰好落到B点。求：（空气阻力不计，重力加速度为）
(1)小球在空中飞行的时间及A、B间的距离；
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
答案 (1)，
(2)，
解析 （1）位移与水平方向的夹角为，则有
解得运动的时间
AB间的距离
解得
（2）当小球的速度方向与斜面平行，距离斜面最远，根据
则经历的时间
将小球的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直斜面方向，则有
，
则最大距离
解得
训练2如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°。在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16
答案 D
解析 由平抛运动规律得
x＝v0t，y＝gt2
而
tanα＝
解得
代入数据可得
故选D。
基础练习
1. (与斜面关联的平抛运动)如图所示，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A点正上方高度为10 m处的O点，以5 m/s的速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为(g＝10 m/s2)( )
A.2 s B. s
C.1 s D.0.5 s
答案 C
解析 设小球撞到斜面上的一点D，则小球水平运动的时间与竖直下落的时间相等，设飞行时间为t，根据几何关系可得v0t＝10 m－gt2，代入数据解得t＝1 s，故选项C正确。
2.(与曲面关联的平抛运动)如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为( )
A.h B.h
C.h D.2h
答案 B
解析 小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α。根据平抛运动规律得tan θ＝2tan α＝，解得x＝h，所以A、C、D错误，B正确。
3.(临界问题)如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。则v的取值范围是( )
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s答案 C
解析 若小物件恰好过窗口上沿，则有h＝gt，L＝v1t1，解得v1＝7 m/s；若小物件恰好过窗口下沿，则有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，解得v2＝3 m/s，所以3 m/s4.(极值问题)(2024·湖北卷，3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到( )
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
答案 C
5.如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（ ）
A．初速度、大小之比为3∶4
B．若仅增大，则两球不再相碰
C．若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D
D．若只抛出甲球并适当改变大小，则甲球可能垂直击中圆环BC
答案 AD
解析 A．甲、乙两球从等高处做平抛运动恰好在C点相碰，根据
可知两球下落时间相等，水平方向有
，
可得
故A正确；
B．由于相同时间内两球下落高度相同，所以两球总是处于同一水平线上，若仅增大，则甲球的轨迹在原来轨迹的右侧，所以甲、乙两轨迹一定会相交，则两球一定会相碰，故B错误；
C．对于甲球落在斜面AC上，有
可得
若大小变为原来的一半，则甲球落在斜面AC上所用时间变为原来的一半，根据
可知甲球落在斜面AC上通过的竖直位移变为原来的，则甲球不是落在斜面的中点D，故C错误；
D．若甲球垂直击中圆环BC，则落点时速度的反向延长线过圆心O，根据平抛运动推论，速度方向延长线交水平位移的中点，如图所示
当满足
此时甲球落在点时垂直击中圆环BC，故D正确。
故选AD。
6.从同一竖直线上的不同位置水平抛出P、Q两小球，分别经时间tP、tQ后落在水平地面上的同一点，且有tP=2tQ。若P、Q两小球抛出时的速度用vP、vQ表示，下落的高度用hP、hQ表示，落地时的速度与水平方向的夹角用、表示，从抛出到落地的位移用、表示，不计空气阻力，则下列关系中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案 C
解析 AB．小球在空中做平抛运动，竖直方向有
又，则有
由题意可知两球做平抛运动水平位移相等，根据
则两小球抛出时的速度关系为
故AB错误；
D．小球从抛出到落地的位移大小为
由于，，则有
故D错误；
C．小球落地时的速度与水平方向的夹角正切值为
则有
故C正确。
故选C。
对点题组练
题组一 与斜面和曲面关联的平抛运动
1.滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间为( )
A.0.5 s B.1.0 s
C.1.5 s D.5.0 s
答案 B
解析 滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2，根据题意有tan 45°＝＝，解得t＝1.0 s，故B正确。
2.(多选)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是( )
A.水平速度与竖直速度之比为tan θ
B.水平速度与竖直速度之比为
C.水平位移与竖直位移之比为2tan θ
D.水平位移与竖直位移之比为
答案 AC
解析 小球落在斜面上，速度方向与斜面垂直，则速度方向与竖直方向的夹角为θ，则水平速度与竖直速度之比为＝tan θ，故A正确，B错误；水平位移与竖直位移之比＝＝＝2tan θ，故C正确，D错误。
3.(多选)如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t＝ s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，则下列关于物体的水平位移x和水平初速度v0正确的是( )
A.x＝25 m B.x＝10 m
C.v0＝10 m/s D.v0＝20 m/s
答案 BC
解析 物体垂直撞在斜面上时竖直分速度vy＝gt＝10 m/s，将速度进行分解，根据平行四边形定则知，tan 30°＝，解得v0＝10× m/s＝10 m/s，则水平位移x＝v0t＝10× m＝10 m，故B、C正确，A、D错误。
4.如图所示，斜面上有a、b、c、d、e五个点，ab＝bc＝cd＝de。从a点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点；若小球从a点以速度2v0水平抛出，不计空气的阻力，则它将落在斜面上的( )
A.c点 B.c与d之间某一点
C.d与e之间某一点 D.e点
答案 D
解析 小球落在斜面上时速度与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝，解得t＝，在竖直方向的位移y＝gt2＝。当初速度变为原来的2倍时，竖直方向的位移变为原来的4倍，所以小球一定落在斜面上的e点，选项D正确。
5.(2024·广东广州市高一下期末)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则知速度与水平方向的夹角为30°，有vy＝v0tan 30°，又 vy＝gt，则v0tan 30°＝gt，t＝，水平方向上小球做匀速直线运动，有R＋Rcos 60°＝v0t，联立解得v0＝，故D正确。
题组二 平抛运动的临界极值问题
6.(2024·甘肃靖远二中高一期中)如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m，水平距离为8 m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(取g＝10 m/s2)( )
A.0.5 m/s B.2 m/s
C.10 m/s D.20 m/s
答案 D
解析 根据x＝v0t、y＝gt2，将已知数据代入可得v0＝20 m/s，故D正确。
7.(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为( )
A. B.
C. D.(＋1)D
答案 C
解析 设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时x＋＝v0，解得v0＝，故C正确。
题组二 类平抛运动
8.我国建造的航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道示意图，其中AO段水平，OB段为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 战机在OB段的运动轨迹是抛物线，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则战机到达B点时的水平分速度大小vx＝，竖直分速度大小vy＝，合速度大小为v＝＝，故D正确。
综合提升练
9.某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以20 m/s的速度沿水平方向反弹，球在墙面上反弹点距地面的高度在1.25 m至1.80 m之间，忽略空气阻力，g取10 m/s2，则球反弹一次后落地( )
A.飞行的最短时间为0.6 s
B.飞行的最长时间为1.1 s
C.飞行的最远水平距离为10 m
D.飞行的最大位移将超过12 m
答案 D
解析 球反弹后做平抛运动，根据h＝gt2，可得t＝，取hmin＝1.25 m，可得tmin＝0.5 s，取hmax＝1.80 m，可得tmax＝0.6 s，故A、B错误；球在水平方向做匀速直线运动，有xmax＝v0tmax＝12 m，故C错误；球落地的最大位移smax＝＝ m>12 m，故D正确。
10.(多选)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判断正确的是( )
A.t1∶t2＝∶ B.t1∶t2＝2∶
C.v1∶v2＝∶10 D.v1∶v2＝∶5
答案 BD
解析 小球落在M、P两点下落的高度分别为h1＝Rcos 37°＝0.8R，h2＝R，根据平抛运动规律，竖直方向上h＝gt2，可知t1＝＝，t2＝＝，解得t1∶t2＝2∶，B正确，A错误；小球落在M、P两点水平位移分别为x1＝R－Rsin 37°＝0.4R，x2＝R，根据平抛运动规律，水平方向上x＝vt，可知v1＝＝，v2＝＝，解得v1∶v2＝∶5，C错误，D正确。
11.在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g。
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被探测屏探测到的微粒的初速度范围。
答案 (1) (2)L≤v≤L
解析 (1)对打在屏中点的微粒，有
h＝gt2，解得t＝。
(2)对打在B点的微粒，有
L＝v1t1，2h＝gt
解得v1＝L
对打在A点的微粒，有
L＝v2t2，h＝gt
解得v2＝L
故能被探测屏探测到的微粒初速度范围为
L≤v≤L。
12.从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，三小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角分别为60°、45°、30°，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．落在a点的小球撞在墙面的速度最小
B．三个小球撞在墙面的速度一定满足关系式va>vc>vb
C．落在c点的小球飞行时间最短
D．a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点
答案 D
解析 C．三个小球的竖直位移大小关系为，根据
可知，即落在a点的小球飞行时间最短，故C错误；
D．三个小球的水平位移相同，a、b、c三点速度方向的反向延长线一定过水平位移的中点，即a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点，故D正确；
AB．令表示小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角，x和h分别表示水平位移和竖直位移，则
小球撞在墙面的竖直分速度大小为
合速度大小为
联立可得
三个小球水平位移相同，代入数据后解得
故AB错误。
故选D。
13.如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（ ）
A．初速度、大小之比为3∶4
B．若大小变为原来的两倍，让两球仍在OC竖直面相遇，则应增大到原来4倍
C．若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D
D．若要甲球垂直击中圆环BC，则应变为原来的倍
答案 AD
解析 A．两小球竖直位移相同，则运动时间相同，初速度、大小之比为
故A正确；
B．若让两球仍在OC竖直面相遇，则
其中
，
若大小变为原来的两倍，则时间t变为原来的一半，要能相遇，则B球的速度要增大为原来的2倍，故B错误；
C．甲球落在D、C两点时的竖直位移之比为
根据可知甲球落在D、C两点时的时间之比为
甲球落在D、C两点时的水平位移之比为
根据可知甲球落在D、C两点时的初速度大小之比为
故若大小变为，则甲球恰能落在斜面的中点D，故C错误；
D．若要甲球垂直击中圆环BC，则击中BC时的速度方向一定过O点，且根据平抛运动规律的推论可知O点为甲球水平位移的中点，故甲球落点到O点的水平距离为
竖直距离为
结合在C点相碰
，
根据
解得
，
所以若要甲球垂直击中圆环BC，则应变为原来的倍，故D正确。
故选AD。
培优加强练
14.如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出(g＝10 m/s2，不计空气阻力)。
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。
答案 (1)3 m/s解析 (1)如图甲所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝gt2可得，当排球恰不触网时有
x1＝3 m，x1＝v1t1①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝gt②
由①②可得v1＝3 m/s
当排球恰不出界时有
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③
h2＝2.5 m，h2＝gt④
由③④可得v2＝12 m/s
所以排球既不触网也不出界的速度范围是
3 m/s(2)如图乙所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹。设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有
x1＝3 m，x1＝v0t1′⑤
h1′＝h－2 m，h1′＝gt1′2⑥
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t2′⑦
h2′＝h＝gt2′2⑧
联立⑤⑥⑦⑧式可得，高度h＝ m。
15.某球员正对篮筐进行投篮练习，篮球出手后打到篮筐前沿没有入筐，如图所示。球场边录像机拍摄到球出手时手与篮筐前沿连线与水平方向夹角为11°，篮球出手速度大小为，方向与水平方向夹角为37°。若篮筐前沿距地高度是，，，g取，忽略空气阻力，篮球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．篮球从出手到打到筐前沿所用时间是
B．出手点到球筐前沿的水平距离是
C．篮球打到篮筐时的速度大小为
D．篮球在飞行过程中距地最大高度为
答案 AD
解析 A．篮球做斜抛运动，设篮球出手时速度大小为，则从出手到篮球打到篮筐前沿，水平位移
竖直位移
由题意知
解得
A正确。
B．出手点到篮筐前沿的水平距离
B错误；
C．打到篮筐前沿时水平速度
竖直速度
“-”表示速度方向竖直向下，篮球打到篮筐前沿时的速度大小为
C错误；
D．篮球从最高点到篮筐前沿的竖直高度
又篮筐距地高度，故篮球在飞行过程中距地最大高度
D正确。
故选AD。
16.如图所示，一个质量为m的小球从倾斜角为θ的斜面顶端以速度水平向右抛出，重力加速度为g，斜面足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．从抛出小球开始计时，经过后小球距离斜面最远
B．小球抛出的初速度越大，则小球落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角也越大
C．若小球还受到一个竖直向下的恒力，恒力大小与其重力大小相等，则小球落到斜面上的速度大小为
D．若小球还受到一个位于竖直平面内的恒力（方向未知），且小球抛出经过足够长的时间之后速度方向趋于与斜面平行，则该恒力的最小值是
答案 D
解析 A．如图所示，
物体距离斜面最远时速度方向与斜面方向平行，可得
即
故A错误；
B．在平抛运动中，速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍。由于物体在斜面上抛出又落在斜面上，因此在不同初速度抛出的情况下位移偏转角相同，则速度偏转角相同。故增大初速度，速度偏转角不变。故B错误；
C．若小球还受到一个竖直向下的恒力，恒力大小与其重力大小相等，由牛顿第二定律可得
则物体的加速度
分解小球落在斜面上的速度，如图所示
可得
，
故C错误；
D．如图所示，
经过足够长的时间，物体的速度趋于与斜面平行，则合力的方向与斜面方向平行。由几何关系可知，当恒力方向与合力方向垂直时，恒力最小。恒力的最小值为
故D正确。
故选D。
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第5.6节 培优提升二
平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题
学习目标
1.掌握平抛运动与斜面和曲面结合问题的解题方法。
2.会分析有关平抛运动的临界和极值问题。
3.会用平抛运动的分析方法分析类平抛运动。
提升1 与斜面和曲面关联的平抛运动
几种常见的运动情形和分析方法
运动情形 分析方法
从空中水平抛出垂直落到斜面上，速度偏转角与斜面倾角互余，即α＋θ＝ 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝ tan θ＝＝
从斜面某点水平抛出又落到斜面上，斜面的倾角等于位移与水平方向的夹角 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝
从斜面外水平抛出，要求以最短位移打到斜面，位移的方向与斜面垂直，即α＋θ＝ 分解位移 x＝v0t，y＝gt2 tan θ＝＝ tan α＝＝
从斜面外水平抛出，沿斜面方向落入斜面，其合速度方向沿斜面方向 分解速度 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝
角度1 从斜面上水平抛出
例1 如图所示，女子跳台滑雪运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑道上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。设某运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不考虑空气阻力(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s；
(3)运动员落到斜面上时的速度大小；
(4)运动员何时离斜面最远。
(1)平抛运动求时间利用各个分运动的等时性和独立性进行求解。
(2)计算分速度、合速度可分别求分速度，然后合成，也可以利用三角函数的关系进行联系。
(3)计算分位移、合位移可以分别求分位移，然后合成，也可以利用三角函数的关系进行联系。
(4)解决斜面上的平抛运动也可以沿斜面和垂直斜面建坐标系，恰当的选取坐标系，可以使运算简化。
训练1如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)( )
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
训练2如图所示，水平地面上固定一足够大斜面，斜面倾角为37°，从斜面上一点P正上方沿与水平方向成45°角斜向上抛出一小球，小球抛出速度最大为10 m/s，已知重力加速度g = 10 m/s2，抛出点与P点间的距离为3 m，则斜面上与抛出点等高的可能落点构成线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
角度2 对着斜面水平抛出
例2 如图所示，一个小球从高h＝10 m处以水平速度v0＝10 m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知AC＝5 m，g取10 m/s2。求：
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度的大小和方向。
训练1一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是（ ）
A．＜v＜
B．＜v＜
C．＜v＜
D．＜v＜
训练2 2024年10月27日，中国网球名将郑钦文在WTA500东京站女单决赛中以2比0战胜对手肯宁，为自己的职业生涯再添一座冠军奖杯。某次郑钦文将网球沿水平方向击出，若击出时网球的速度越大（不计空气阻力），则（ ）
A．网球在空中运动的时间越长
B．网球落地瞬间竖直方向的速度越大
C．网球的位移越大
D．网球落地瞬间速度与水平方向的夹角越大
角度3 对着曲面水平抛出
例3 (2024·云南省玉溪三中高一期末)如图所示，AB为一半径为R的圆弧，圆心位置O，一小球从与圆心等高的某点沿半径方向水平抛出，恰好垂直落在AB面上的Q点，且速度与水平方向夹角为53°，则小球从抛出点到Q点的水平距离为( )
A.0.6R B.0.8R
C.R D.1.2R
(1)能够理解小球垂直打在圆面上，速度反向延长一定过圆心。
(2)解决平抛运动和圆弧相结合的问题，会应用到圆的切线、垂线及圆的轨迹方程，利用数形结合建立联系。
训练1如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP=37°，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法正确的是（ ）
A．物体B比A先到达P点
B．A、B物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA:vB=16:9
D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA:vB=4:3
训练2如图所示，AB为半圆弧ACB的水平直径，C为ACB弧的中点，AB＝1.5 m，从A点水平抛出一小球，小球下落0.3 s后落到半圆弧ACB上，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则小球抛出的初速度v0可能为( )
A．0.5 m/s B．1.5 m/s
C．3 m/s D．4.5 m/s
提升2 平抛运动的临界极值问题
常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
例4 (2024·广东茂名市高一期末)中国面食文化博大精深，“刀削面”的历史最早可以追溯到元朝，其制作方式可用平抛运动的模型来进行分析。如图所示，古人在制作刀削面时面团距离锅的高度h＝0.45 m，与锅沿的水平距离L＝0.3 m，锅的半径也为L＝0.3 m，“刀削面”在空中的运动可看作平抛运动，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)面片在空中运动的时间；
(2)面片恰好落在锅中心O点时的速度大小(结果可带根号)；
(3)为保证削出的面片都落在锅内，削出的面片初速度v0大小的取值范围。
平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。
训练1某同学借助安装在高处的篮球发球机练习原地竖直起跳接球。该同学站在水平地面上，与出球口水平距离l = 2.5 m，举手时手掌距地面最大高度h0 = 2.0 m。发球机出球口以速度v0 = 5 m/s沿水平方向发球。从篮球发出到该同学起跳离地，耗时t0 = 0.2 s，该同学跳至最高点伸直手臂恰能在头顶正上方接住篮球。重力加速度g大小取10 m/s2。求：
(1)t0时间内篮球的位移大小；
(2)出球口距地面的高度。
训练2将、两个小球从不同高度同时水平抛出，其运动轨迹在同一竖直平面内，如图中虚线所示，两轨迹的交点为，空气阻力不计，则（ ）
A．球比球先落地 B．球的水平位移一定大于球
C．、两球可能会在点相遇 D．、两球落地时速度大小可能相同
例5 (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
训练1如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为，球网高。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线。（忽略一切阻力重力加速度）
(1)发球机有效发球时发出网球的最大速率？
(2)发球机有效发球时发出网球的最小速率？
训练2如图为跳台滑雪的局部赛道的示意图，A为起跳台的边缘，BC是倾角的雪坡，雪坡的顶端B位于A点的正下方。经过助滑的运动员（可视为质点），在时从A点沿水平方向飞出，时刻运动员的速度方向与雪坡平行，时刻落到雪坡上的P点。不考虑运动员受到的空气阻力，取，，重力加速度为g，求：
(1)运动员从A点飞出时速度的大小；
(2)A、B两点的高度差。
提升3 类平抛运动
1.类平抛运动的概念
凡是合外力 且 于初速度方向的运动都可以称为类平抛运动。
2.类平抛运动的特点
(1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直向下，但合力的方向应与初速度方向 。
(2)加速度不一定等于重力加速度g，但应 。
3.类平抛运动的分析方法
(1)类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动的合运动。
(2)处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。
4.类平抛运动的规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝ 。
合外力方向上：a＝，vy＝ ，y＝ 。
例6 如图所示，光滑斜面长L＝10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10 m/s的初速度水平抛出，g＝10 m/s2。求：
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
训练1如图所示，AB为固定斜面，倾角为，小球从A点以初速度水平抛出，恰好落到B点。求：（空气阻力不计，重力加速度为）
(1)小球在空中飞行的时间及A、B间的距离；
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
训练2如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°。在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16
随堂对点自测
1. (与斜面关联的平抛运动)如图所示，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A点正上方高度为10 m处的O点，以5 m/s的速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为(g＝10 m/s2)( )
A.2 s B. s
C.1 s D.0.5 s
2.(与曲面关联的平抛运动)如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为( )
A.h B.h
C.h D.2h
3.(临界问题)如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。则v的取值范围是( )
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s4.(极值问题)(2024·湖北卷，3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到( )
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
5.如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（ ）
A．初速度、大小之比为3∶4
B．若仅增大，则两球不再相碰
C．若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D
D．若只抛出甲球并适当改变大小，则甲球可能垂直击中圆环BC
6.从同一竖直线上的不同位置水平抛出P、Q两小球，分别经时间tP、tQ后落在水平地面上的同一点，且有tP=2tQ。若P、Q两小球抛出时的速度用vP、vQ表示，下落的高度用hP、hQ表示，落地时的速度与水平方向的夹角用、表示，从抛出到落地的位移用、表示，不计空气阻力，则下列关系中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
对点题组练
题组一 与斜面和曲面关联的平抛运动
1.滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间为( )
A.0.5 s B.1.0 s
C.1.5 s D.5.0 s
2.(多选)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是( )
A.水平速度与竖直速度之比为tan θ
B.水平速度与竖直速度之比为
C.水平位移与竖直位移之比为2tan θ
D.水平位移与竖直位移之比为
3.(多选)如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t＝ s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，则下列关于物体的水平位移x和水平初速度v0正确的是( )
A.x＝25 m B.x＝10 m
C.v0＝10 m/s D.v0＝20 m/s
4.如图所示，斜面上有a、b、c、d、e五个点，ab＝bc＝cd＝de。从a点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点；若小球从a点以速度2v0水平抛出，不计空气的阻力，则它将落在斜面上的( )
A.c点 B.c与d之间某一点
C.d与e之间某一点 D.e点
5.(2024·广东广州市高一下期末)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
A. B.
C. D.
题组二 平抛运动的临界极值问题
6.(2024·甘肃靖远二中高一期中)如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m，水平距离为8 m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(取g＝10 m/s2)( )
A.0.5 m/s B.2 m/s
C.10 m/s D.20 m/s
7.(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为( )
A. B.
C. D.(＋1)D
题组二 类平抛运动
8.我国建造的航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道示意图，其中AO段水平，OB段为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为( )
A. B.
C. D.
综合提升练
9.某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以20 m/s的速度沿水平方向反弹，球在墙面上反弹点距地面的高度在1.25 m至1.80 m之间，忽略空气阻力，g取10 m/s2，则球反弹一次后落地( )
A.飞行的最短时间为0.6 s
B.飞行的最长时间为1.1 s
C.飞行的最远水平距离为10 m
D.飞行的最大位移将超过12 m
10.(多选)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判断正确的是( )
A.t1∶t2＝∶ B.t1∶t2＝2∶
C.v1∶v2＝∶10 D.v1∶v2＝∶5
11.在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g。
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被探测屏探测到的微粒的初速度范围。
12.从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，三小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角分别为60°、45°、30°，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．落在a点的小球撞在墙面的速度最小
B．三个小球撞在墙面的速度一定满足关系式va>vc>vb
C．落在c点的小球飞行时间最短
D．a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点
13.如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（ ）
A．初速度、大小之比为3∶4
B．若大小变为原来的两倍，让两球仍在OC竖直面相遇，则应增大到原来4倍
C．若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D
D．若要甲球垂直击中圆环BC，则应变为原来的倍
培优加强练
14.如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出(g＝10 m/s2，不计空气阻力)。
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。
15.某球员正对篮筐进行投篮练习，篮球出手后打到篮筐前沿没有入筐，如图所示。球场边录像机拍摄到球出手时手与篮筐前沿连线与水平方向夹角为11°，篮球出手速度大小为，方向与水平方向夹角为37°。若篮筐前沿距地高度是，，，g取，忽略空气阻力，篮球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．篮球从出手到打到筐前沿所用时间是
B．出手点到球筐前沿的水平距离是
C．篮球打到篮筐时的速度大小为
D．篮球在飞行过程中距地最大高度为
16.如图所示，一个质量为m的小球从倾斜角为θ的斜面顶端以速度水平向右抛出，重力加速度为g，斜面足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．从抛出小球开始计时，经过后小球距离斜面最远
B．小球抛出的初速度越大，则小球落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角也越大
C．若小球还受到一个竖直向下的恒力，恒力大小与其重力大小相等，则小球落到斜面上的速度大小为
D．若小球还受到一个位于竖直平面内的恒力（方向未知），且小球抛出经过足够长的时间之后速度方向趋于与斜面平行，则该恒力的最小值是
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