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第5.5节 培优提升一 小船渡河与关联速度问题
学习目标
1.能运用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题，会求渡河的最短时间和最短位移。
2.会分析实际运动中的关联速度问题，建立常见的绳关联模型和杆关联模型。
提升1 小船渡河问题
1.小船渡河情景
如图所示，一条宽为d的大河，小船从码头A出发，到对岸的码头B。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。
2.处理方法
(1)小船渡河时实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(船在静水中的运动，运动方向为船头朝向的方向)，船的实际运动是合运动。
(2)由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动。
3.小船渡河问题的三种常见情况
情况 图示 说明
渡河时间最短 若要使小船渡河时间最短， 只要使小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即船头垂直于河岸，最短时间为tmin＝，此时渡河位移x＝
渡河位移最短 当v水当v水>v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短。由图知sin θ＝，最短渡河位移为xmin＝＝
【思考】
1.小船渡河问题需要明确哪些速度？
2.小船渡河时间是否与水流速度有关？怎么求解小船渡河过程所用的时间及最短时间？
例1 如图所示，在某一段平直的河道中，一游客划船由M点出发沿直线到达对岸N点，直线MN与河岸夹角成60°。已知M、N两点间距离为30 m，河中水流的速度大小为3 m/s，游客划船在静水中的速度大小也为3 m/s，则下列说法正确的是( )
A.过河的时间为5 s
B.过河的时间为10 s
C.若划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度增大，则航程会减小
D.若划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度减小，则渡河时间减小
(1)求解小船渡河问题，首先要明确水流速度、船在静水中的速度、合速度，根据题意可以用合成法作平行四边形，再根据运动的等时性求解问题。
(2)当船速不变时，求解渡河时间问题：①可以应用正交分解法，垂直河岸的分速度不变，河宽不变，渡河时间不变；②水速变化时，根据运动的独立性和等时性，河宽不变，渡河时间不变。
训练1如图所示，经常年观察发现某河道水速大小为3~5m/s，在距离河边120m处的A点极易发生安全事故，现打算在河边修建一救援站，要求从救援站驾驶船只匀速直线行驶，在30秒黄金救援时间内能够到达事故现场。救援船只航行速度为，求河边可建造救援站的长度范围（ ）
A．420米 B．480米 C．540米 D．660米
训练2截至目前，巴以冲突已导致双方超1.73万人死亡，为了避免冲突，我国进一步加强军事演练，假设在演练时士兵驾驶坦克向东的速度大小为v1，坦克静止时射出的炮弹速度大小为v2（v2>v1），且出膛方向沿水平面内可调整，坦克轨迹距离目标最近为d，忽略炮弹受到的空气阻力和炮弹竖直方向的下落，且不计炮弹发射对坦克速度的影响，下列说法正确的是（ ）
A．炮弹在水平方向上做的是曲线运动
B．要想命中目标且炮弹在空中飞行时间最短，坦克发射处离目标的距离为
C．炮弹命中目标最短时间为
D．若到达距离目标最近处时再开炮，不管怎样调整炮口方向，炮弹都无法射中目标
例2 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)：
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
训练1 2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求：
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？
训练2端午赛龙舟是中华民族的传统，若某龙舟在比赛前划向比赛点的途中要渡过宽两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为，河水的流速，下列说法中正确的是（ ）
A．该龙舟以最短时间渡河通过的位移为
B．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长
C．该龙船渡河所用时间最少为
D．该龙舟不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸
提升2 关联速度问题
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连，绳长不变。
(1)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？
(2)小车A和小船B沿绳方向的速度大小相等吗？
(3)该图中小车A和小船B的速度之间存在什么关系？
绳(或杆)关联模型：
一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物的情况。高中阶段研究的绳的伸长量都很小，杆的伸长量或压缩量都很小，即认为绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
例3 如图所示，汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳提升一质量为m的物块，汽车以速度v0水平向右匀速运动，重力加速度为g，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是( )
A.物块向上做匀速运动
B.当轻绳与水平方向的夹角为θ时，物块上升的速度为
C.轻绳对物块的拉力总是大于mg
D.轻绳的拉力保持不变
训练1如图所示，人在岸上拉动绳子，使小船以速度v沿水面匀速向河岸靠近，当绳子与水面的夹角时，，则下列关于倾斜部分绳子（滑轮与船之间部分）的中点M瞬时速度的大小、方向说法正确的是（ ）
A．M点瞬时速度的方向与船速相同 B．M点瞬时速度的方向沿绳指向左上方
C．M点瞬时速度的大小为 D．M点瞬时速度的大小为
训练2如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿细绳竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，当右侧细绳与水平方向夹角为时，B的速度为 ；该过程B的加速度 （增大、不变、减小）。
例4 (多选) (2024·河北邢台市高一下期中)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是( )
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度为零
总结提升
1.常见的速度分解模型
情景图示 定量结论
v＝v∥＝v物cos θ
vB＝v∥＝vAcos θ
v∥＝v∥′ 即vAcos θ＝vBsin θ
v∥＝v∥′ 即vBcos α＝vAcos β
2.三步法求解绳(杆)连接体的速度问题
训练1汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，速率12m/s，，。下列说法正确的是（ ）
A．活塞在水平方向上做匀速直线运动
B．当OA竖直时，活塞的速度为8m/s
C．当OA与AB共线时，活塞的速度为12m/s
D．当OA与AB垂直时，活塞的速度为15m/s
训练2如图所示.半径均为r的两光滑圆柱体A、B叠放在墙角，若用力推动水平地面上的圆柱体A向右运动，圆柱体B会沿竖直墙面向上运动。当圆柱体A的中心轴与竖直墙面的距离为时.圆柱体A的速度大小为v，此时圆柱体B的速度大小为（ ）
A．v B． C． D．
基础练习
1.(小船渡河问题)小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条流速为4 m/s、河宽为150 m的河流中渡河，则( )
A.小船不可能垂直到达河对岸
B.小船渡河的时间可能为40 s
C.小船渡河的时间至少为30 s
D.小船若在50 s内渡河，到达河对岸时被冲向下游150 m
2.(绳关联问题)如图所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是(重力加速度为g)( )
A.P的速率为v
B.P的速率为vcos θ2
C.绳的拉力等于mgsin θ1
D.绳的拉力小于mgsin θ1
3.如图所示，宽度为d的一条小河水速恒定，运动员甲在静水中的速度大小为v，甲从河岸的A点以最短的时间来渡河，最后运动到河对岸的B点，甲从A点出发的同时，运动员乙从河对岸的C点沿着河岸向下游游动，结果甲、乙在B点相遇。已知C、B两点间的距离也为d，乙在静水中的速度大小为，下列说法正确的是（ ）
A．乙从C点运动到B点的时间为 B．水速为
C．A、B两点间的距离为 D．A、C两点间的距离为
4.如图所示，穿在竖直杆上的物块与放在水平桌面上的物块用跨过光滑定滑轮的不可伸长的细绳相连，为定滑轮，物块由图示水平位置以匀速下滑，当绳与水平方向的夹角为30°时（ ）
A． B．
C．该过程中物块做匀速运动 D．该过程中物块做加速运动
对点题组练
题组一 小船渡河问题
1.(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是( )
2.(多选)在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1(且v1>v2)，方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船( )
A.可能的最短渡河时间为
B.可能的最短渡河位移为d
C.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关
D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关
3.(多选)(2024·湖南长沙高一联考)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示。已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d。则下列说法正确的是( )
A.船渡河时间为
B.船渡河时间为
C.船渡河过程被冲到下游的距离为d
D.船渡河过程被冲到下游的距离为d
4.(2024·四川眉山高一期末)如图所示，一条小船从位置A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA′方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的位置B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的位置C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是( )
A.小船沿AB、AC过河的时间相等
B.小船沿AC过河的时间更长
C.v1∶v2＝1∶2
D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
5.如图所示，一条小船位于200 m宽的河中央A点处，离A点距离为100 m的下游处有一危险区，水流速度为4 m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少为( )
A. m/s B. m/s
C.2 m/s D.4 m/s
题组二 关联速度问题
6.(多选)如图所示，不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A.物体A做加速运动 B.物体A做匀速运动
C.FT小于mgsin θ D.FT大于mgsin θ
7.如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为( )
A.水平向左，大小为v
B.竖直向上，大小为vtan θ
C.沿杆A斜向上，大小为
D.沿杆A斜向上，大小为vcos θ
8.发动机活塞连杆组如图甲所示，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接活塞A，另一端与曲柄上B点相连，活塞A沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O顺时针方向做圆周运动。某时刻圆心O与B点的连线刚好水平，∠OAB＝θ，活塞A的速度大小为vA，曲柄上B点的速度大小为vB，方向竖直向下，则此时( )
A.vAcos θ＝vB B.vBcos θ＝vA
C.vA＝vB D.vAsin θ＝vB
综合提升练
9.一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0匀速运动，在半圆柱体上放置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。如图所示，当杆与半圆柱体接触点与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆运动的速度v1的大小为( )
A.v0sin θ B.v0tan θ
C.v0cos θ D.
10.(多选)(2024·河南焦作高一期末)如图所示，物体P套在光滑的细杆上，P和Q通过轻质细绳跨过定滑轮连接，一水平力F拉着物体Q在水平面上向左运动。在某一小段时间内，P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中，下列说法正确的是( )
A.Q做加速直线运动
B.Q做减速直线运动
C.细绳对P的拉力在增大
D.杆对P的弹力在减小
11.如图所示，河流宽度d＝80 m，各处水流速度大小均为v水＝5 m/s。若小船在静水中的速度大小为v船＝4 m/s，小船从A码头出发过河。下列说法正确的是( )
A.小船渡河的最短时间为25 s
B.小船渡河的最小位移为80 m
C.小船可以到达对岸B点的上游
D.小船以最小位移的方式到达对岸所需时间为 s
12.如图所示，船头始终保持与河岸成θ角渡河，已知船在静水中的速度为v，水流速度平行于河岸，大小为u，河宽为d，则( )
A.船渡河的时间为
B.船可能在图中A点处到达对岸
C.船一定在图中A点下游某位置到达对岸
D.若水流速度u增大，则船渡河的时间也将增加
13. (多选)甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两球的速度大小之比为
B．甲、乙两球的速度大小之比为
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，甲球的速度达到最大
14.如图所示，甲、乙两船同时从河岸的A点开始渡河，两船头与河岸夹角分别为和角（），最终两船到达河对岸的同一点，则（ ）
A．甲船航行的位移小于乙船
B．甲船的合速度小于乙船的合速度
C．甲、乙两船同时到达河对岸
D．甲船在静水中的航行速度一定小于乙船
培优加强练
15.已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行。
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少？
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
16.小船在静水中的速度为4m/s，河宽为200m，水流速度为3m/s，求：
（1）小船过河的最短时间，并求出此种情况下小船过河的位移
（2）当过河位移最短时过河的时间
（3）若水流速度为，求此种情况下过河最短位移及过河时间
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第5.5节 培优提升一 小船渡河与关联速度问题
学习目标
1.能运用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题，会求渡河的最短时间和最短位移。
2.会分析实际运动中的关联速度问题，建立常见的绳关联模型和杆关联模型。
提升1 小船渡河问题
1.小船渡河情景
如图所示，一条宽为d的大河，小船从码头A出发，到对岸的码头B。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。
2.处理方法
(1)小船渡河时实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(船在静水中的运动，运动方向为船头朝向的方向)，船的实际运动是合运动。
(2)由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动。
3.小船渡河问题的三种常见情况
情况 图示 说明
渡河时间最短 若要使小船渡河时间最短， 只要使小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即船头垂直于河岸，最短时间为tmin＝，此时渡河位移x＝
渡河位移最短 当v水当v水>v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短。由图知sin θ＝，最短渡河位移为xmin＝＝
【思考】
1.小船渡河问题需要明确哪些速度？
提示 (1)水流的速度v水、船在静水中的速度v船和船的实际航行速度(即合速度)v合。
2.小船渡河时间是否与水流速度有关？怎么求解小船渡河过程所用的时间及最短时间？
提示 由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，所以小船渡河时间与水流速度无关。用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度可得过河时间，即t＝，当sin θ＝1时，tmin＝。
例1 如图所示，在某一段平直的河道中，一游客划船由M点出发沿直线到达对岸N点，直线MN与河岸夹角成60°。已知M、N两点间距离为30 m，河中水流的速度大小为3 m/s，游客划船在静水中的速度大小也为3 m/s，则下列说法正确的是( )
A.过河的时间为5 s
B.过河的时间为10 s
C.若划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度增大，则航程会减小
D.若划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度减小，则渡河时间减小
答案 B
解析 设河中水流速度为v水，静水中划船速度为v静，船头与航线MN之间的夹角为α，则v水和v静在水中的合速度如图所示。
由几何知识得α＝60°，船在水中的合速度大小为3 m/s，方向沿MN，故小船从M点沿直线MN到达对岸所经历的时间为t＝＝10 s，故B正确，A错误；划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度增大，则合速度的方向将更偏向下游，航程会增大，故C错误；若划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度减小，但船的分速度沿垂直于河岸方向的分量不变，所以渡河时间不变，故D错误。
(1)求解小船渡河问题，首先要明确水流速度、船在静水中的速度、合速度，根据题意可以用合成法作平行四边形，再根据运动的等时性求解问题。
(2)当船速不变时，求解渡河时间问题：①可以应用正交分解法，垂直河岸的分速度不变，河宽不变，渡河时间不变；②水速变化时，根据运动的独立性和等时性，河宽不变，渡河时间不变。
训练1如图所示，经常年观察发现某河道水速大小为3~5m/s，在距离河边120m处的A点极易发生安全事故，现打算在河边修建一救援站，要求从救援站驾驶船只匀速直线行驶，在30秒黄金救援时间内能够到达事故现场。救援船只航行速度为，求河边可建造救援站的长度范围（ ）
A．420米 B．480米 C．540米 D．660米
答案 A
解析 救援时间最多为30秒，则在救援船只垂直河岸的方向
由勾股定理得在沿河岸方向
在下游修建救援站的最远位置满足
在上游修建救援站的最远位置满足
则总长度为
故选A。
训练2截至目前，巴以冲突已导致双方超1.73万人死亡，为了避免冲突，我国进一步加强军事演练，假设在演练时士兵驾驶坦克向东的速度大小为v1，坦克静止时射出的炮弹速度大小为v2（v2>v1），且出膛方向沿水平面内可调整，坦克轨迹距离目标最近为d，忽略炮弹受到的空气阻力和炮弹竖直方向的下落，且不计炮弹发射对坦克速度的影响，下列说法正确的是（ ）
A．炮弹在水平方向上做的是曲线运动
B．要想命中目标且炮弹在空中飞行时间最短，坦克发射处离目标的距离为
C．炮弹命中目标最短时间为
D．若到达距离目标最近处时再开炮，不管怎样调整炮口方向，炮弹都无法射中目标
答案 C
解析 A．炮弹水平分运动为匀速直线运动。故A错误；
BC．炮弹速度向北发射时时间最短，则命中目标最短时间为
坦克发射处离目标的距离为
故B错误；C正确；
D．由于v2>v1，若到达距离目标最近处时再开炮，应调整炮口至左上方，可能射中目标。故D错误。
故选C。
例2 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)：
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
答案 (1)40 s 正对岸下游120 m处
(2)船头指向与河岸的上游成53°角 50 s
(3)船头指向与河岸的上游成60°角
解析 (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则
v合＝＝4 m/s
经历时间t′＝＝ s＝50 s
又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。
训练1 2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求：
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？
答案 (1)50s，250m
(2)
(3)300m，
解析 （1）当船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，如下图所示
最短时间为
这时小船的合速度为
此种情况下小船过河的位移为
（2）船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图所示
这种情况下，小船的合速度为
当过河位移最短时过河的时间为
（3）若水流速度为
则
此种情况下过河如图所示
当船头方向即方向与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小为
这种情况下，小船的合速度为
过河时间为
训练2端午赛龙舟是中华民族的传统，若某龙舟在比赛前划向比赛点的途中要渡过宽两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为，河水的流速，下列说法中正确的是（ ）
A．该龙舟以最短时间渡河通过的位移为
B．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长
C．该龙船渡河所用时间最少为
D．该龙舟不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸
答案 C
解析 ABC．该龙舟以最短时间渡河时，船速方向与河岸垂直，则最短时间为
s=12s
若水速突然变大，则渡河时间不变；
此时沿河岸方向的位移
m
则龙舟过河的位移为
m>60m
故AB错误，C正确；
D．由于龙舟在静水中划行的速率大于水速，所以龙舟可以沿垂直河岸的航线抵达对岸，故D错误；
故选C。
提升2 关联速度问题
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连，绳长不变。
(1)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？
提示 不相等。
(2)小车A和小船B沿绳方向的速度大小相等吗？
提示 沿绳的速度大小相等(绳长不变)。
(3)该图中小车A和小船B的速度之间存在什么关系？
提示 把B的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，由v＝v船cos α得v船＝。
绳(或杆)关联模型：
一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物的情况。高中阶段研究的绳的伸长量都很小，杆的伸长量或压缩量都很小，即认为绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
例3 如图所示，汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳提升一质量为m的物块，汽车以速度v0水平向右匀速运动，重力加速度为g，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是( )
A.物块向上做匀速运动
B.当轻绳与水平方向的夹角为θ时，物块上升的速度为
C.轻绳对物块的拉力总是大于mg
D.轻绳的拉力保持不变
答案 C
解析 对汽车的速度v0沿轻绳的方向和垂直于轻绳的方向进行正交分解，如图所示，可得v垂＝v0sin θ，v绳＝v0cos θ，物块上升的速度大小等于v绳，由v绳＝v0cos θ可知，当轻绳与水平方向的夹角为θ时，物块上升的速度为v0cos θ，故B错误；汽车匀速向右运动时，θ角变小，由v绳＝v0cos θ可知，v绳增大，但不是均匀变化的，则物块向上做变加速运动，加速度向上，拉力总是大于mg，但拉力并非恒力，故A、D错误，C正确。
训练1如图所示，人在岸上拉动绳子，使小船以速度v沿水面匀速向河岸靠近，当绳子与水面的夹角时，，则下列关于倾斜部分绳子（滑轮与船之间部分）的中点M瞬时速度的大小、方向说法正确的是（ ）
A．M点瞬时速度的方向与船速相同 B．M点瞬时速度的方向沿绳指向左上方
C．M点瞬时速度的大小为 D．M点瞬时速度的大小为
答案 C
解析 M点的瞬时速度有延绳子方向的分量和垂直与绳子方向的分量，
M点瞬时速度的大小为
M点瞬时速度的方向与船速不同，并不沿着绳子，故ABD错误，C正确；
故选 C。
训练2如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿细绳竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，当右侧细绳与水平方向夹角为时，B的速度为 ；该过程B的加速度 （增大、不变、减小）。
答案 减小
解析 [1]将与物体A相连的绳端速度v分解为沿绳伸长方向的速度和垂直于绳方向的速度，物体A、B沿绳方向的速度相等，则物体B的速度
[2]在t=0时刻，之后随θ增大，增大，B的速度增大，但开始时θ变化快，速度增加得快，随着θ增大，B的速度增加得越来越慢，若绳和杆足够长，则物体B的速度趋近于A的速度，故该过程B的加速度减小。
例4 (多选) (2024·河北邢台市高一下期中)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是( )
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度为零
答案 BD
解析 设轻杆与竖直方向的夹角为θ，如图所示，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，图示位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。
总结提升
1.常见的速度分解模型
情景图示 定量结论
v＝v∥＝v物cos θ
vB＝v∥＝vAcos θ
v∥＝v∥′ 即vAcos θ＝vBsin θ
v∥＝v∥′ 即vBcos α＝vAcos β
2.三步法求解绳(杆)连接体的速度问题
训练1汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，速率12m/s，，。下列说法正确的是（ ）
A．活塞在水平方向上做匀速直线运动
B．当OA竖直时，活塞的速度为8m/s
C．当OA与AB共线时，活塞的速度为12m/s
D．当OA与AB垂直时，活塞的速度为15m/s
答案 D
解析 A．根据题意，活塞沿水平方向往复运动，则活塞的运动不是匀速直线运动，故A错误；
B．已知A点的线速度为，当OA竖直时，将A点和活塞的速度沿杆方向和垂直杆方向分解，如图所示
由几何关系可知
可得
故B错误；
C．当OA和OB共线时，A点在沿杆方向的分速度是0，则活塞的实际速度沿杆也为0，故C错误；
D．当OA与AB垂直时，A点的速度沿杆方向，设AB与OB的夹角为，有
其中
解得
故D正确。
故选D。
训练2如图所示.半径均为r的两光滑圆柱体A、B叠放在墙角，若用力推动水平地面上的圆柱体A向右运动，圆柱体B会沿竖直墙面向上运动。当圆柱体A的中心轴与竖直墙面的距离为时.圆柱体A的速度大小为v，此时圆柱体B的速度大小为（ ）
A．v B． C． D．
答案 D
解析 接触面两侧物体的速度在垂直于接触面的速度投影量相等，如图
根据几何关系有
解得
故选D。
基础练习
1.(小船渡河问题)小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条流速为4 m/s、河宽为150 m的河流中渡河，则( )
A.小船不可能垂直到达河对岸
B.小船渡河的时间可能为40 s
C.小船渡河的时间至少为30 s
D.小船若在50 s内渡河，到达河对岸时被冲向下游150 m
答案 A
解析 由于船的速度小于水流的速度，因此小船不可能垂直到达河对岸，A正确；当船头指向正对岸时，渡河的时间最短，且最短时间为t＝＝ s＝50 s，B、C错误；小船若在50 s内渡河，船头指向正对岸，到达河对岸时，被冲到下游距离L＝v水t＝4×50 m＝200 m，D错误。
2.(绳关联问题)如图所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是(重力加速度为g)( )
A.P的速率为v
B.P的速率为vcos θ2
C.绳的拉力等于mgsin θ1
D.绳的拉力小于mgsin θ1
答案 B
解析 将小车的速度v分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，沿绳方向的速度等于P的速度，即vP＝vcos θ2，随角θ2的减小，则vP增大，则P做加速运动，A错误，B正确；对物体P，根据牛顿第二定律可知FT－mgsin θ1＝ma，可知绳的拉力大于mgsin θ1，C、D错误。
3.如图所示，宽度为d的一条小河水速恒定，运动员甲在静水中的速度大小为v，甲从河岸的A点以最短的时间来渡河，最后运动到河对岸的B点，甲从A点出发的同时，运动员乙从河对岸的C点沿着河岸向下游游动，结果甲、乙在B点相遇。已知C、B两点间的距离也为d，乙在静水中的速度大小为，下列说法正确的是（ ）
A．乙从C点运动到B点的时间为 B．水速为
C．A、B两点间的距离为 D．A、C两点间的距离为
答案 B
解析 AB．甲从河岸的A点以最短的时间来渡河，最后运动到河对岸的B点，沿河岸方向有
，
甲、乙在B点相遇，沿河岸方向有
联立解得
，，
A错误、B正确；
CD．A、B两点间的距离和A、C两点间的距离均为
CD错误。
故选B。
4.如图所示，穿在竖直杆上的物块与放在水平桌面上的物块用跨过光滑定滑轮的不可伸长的细绳相连，为定滑轮，物块由图示水平位置以匀速下滑，当绳与水平方向的夹角为30°时（ ）
A． B．
C．该过程中物块做匀速运动 D．该过程中物块做加速运动
答案 D
解析 物块沿杆下滑过程可知，其沿竖直杆的运动方向是物块的合速度方向，将合速度沿着绳子与垂直绳子两个方向分解，绳子方向的速度等于物块的速度，如图
由图可得
所以时，解得
由于A物体是匀速运动，即大小不变，故增大，增大，增大，所以做加速运动，故ABC错误，D正确。
故选D 。
对点题组练
题组一 小船渡河问题
1.(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是( )
答案 AB
2.(多选)在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1(且v1>v2)，方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船( )
A.可能的最短渡河时间为
B.可能的最短渡河位移为d
C.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关
D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关
答案 BD
解析 当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为tmin＝，故A错误；当合速度与河岸垂直时，渡河位移最小，为xmin＝d，故B正确；船的实际运动为垂直河岸方向和水流方向的两个分运动，由于各个分运动互不影响，因而渡河时间t＝(v垂为船垂直河岸的分速度)，与水流速度无关，故C错误，D正确。
3.(多选)(2024·湖南长沙高一联考)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示。已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d。则下列说法正确的是( )
A.船渡河时间为
B.船渡河时间为
C.船渡河过程被冲到下游的距离为d
D.船渡河过程被冲到下游的距离为d
答案 AC
解析 由题图可知，船正对河岸运动，渡河时间最短，渡河时间t＝，A正确，B错误；船渡河过程被冲到下游的距离是x2＝v2t＝d，故C正确，D错误。
4.(2024·四川眉山高一期末)如图所示，一条小船从位置A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA′方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的位置B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的位置C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是( )
A.小船沿AB、AC过河的时间相等
B.小船沿AC过河的时间更长
C.v1∶v2＝1∶2
D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
答案 A
解析 因船头始终垂直于河岸，可知船过河的时间为t＝，即小船沿AB、AC过河的时间相等，选项A正确，B错误；由题意可知tan 60°＝，tan 30°＝，解得v1∶v2＝1∶3，选项C错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角为cos θ＝＝，则θ≠60°，选项D错误。
5.如图所示，一条小船位于200 m宽的河中央A点处，离A点距离为100 m的下游处有一危险区，水流速度为4 m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少为( )
A. m/s B. m/s
C.2 m/s D.4 m/s
答案 C
解析 如图所示，小船刚好避开危险区域时，设小船合运动方向与水流方向的夹角为θ，tan θ＝＝，所以θ＝30°，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，小船在静水中最小速度为2 m/s，C正确。
题组二 关联速度问题
6.(多选)如图所示，不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A.物体A做加速运动 B.物体A做匀速运动
C.FT小于mgsin θ D.FT大于mgsin θ
答案 AD
解析 将物体B的速度分解，由图可知绳端的速度v绳＝vsin α，与B的位置有关，因为B为匀速运动，B下降过程中α变大，v绳变大，因此物体A做加速运动，FT大于mgsin θ，故A、D正确，B、C错误。
7.如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为( )
A.水平向左，大小为v
B.竖直向上，大小为vtan θ
C.沿杆A斜向上，大小为
D.沿杆A斜向上，大小为vcos θ
答案 C
解析 两杆的交点P参与了两个分运动：与杆B一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿杆B竖直向上的匀速运动，交点P的实际运动方向为沿杆A斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为vP＝，故C正确。
8.发动机活塞连杆组如图甲所示，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接活塞A，另一端与曲柄上B点相连，活塞A沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O顺时针方向做圆周运动。某时刻圆心O与B点的连线刚好水平，∠OAB＝θ，活塞A的速度大小为vA，曲柄上B点的速度大小为vB，方向竖直向下，则此时( )
A.vAcos θ＝vB B.vBcos θ＝vA
C.vA＝vB D.vAsin θ＝vB
答案 C
解析 当圆心O与B点的连线刚好水平时，曲柄上B点的速度方向竖直向下，则有v杆＝vAcos θ＝vBcos θ，可得vA＝vB，故A、B、D错误，C正确。
综合提升练
9.一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0匀速运动，在半圆柱体上放置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。如图所示，当杆与半圆柱体接触点与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆运动的速度v1的大小为( )
A.v0sin θ B.v0tan θ
C.v0cos θ D.
答案 B
解析 杆的实际速度是接触点沿切线方向的速度与随半圆柱体一起运动的速度的合速度，如图所示，解得v1＝v0tan θ，B正确，A、C、D错误。
10.(多选)(2024·河南焦作高一期末)如图所示，物体P套在光滑的细杆上，P和Q通过轻质细绳跨过定滑轮连接，一水平力F拉着物体Q在水平面上向左运动。在某一小段时间内，P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中，下列说法正确的是( )
A.Q做加速直线运动
B.Q做减速直线运动
C.细绳对P的拉力在增大
D.杆对P的弹力在减小
答案 BC
解析 设物体P上升的速度为vP，绳与竖直方向夹角为θ，则vPcos θ＝vQ，P匀速向上运动过程中，θ增大时，vQ减小，Q做减速运动，故A错误，B正确；对P受力分析，有mg＝Tcos θ，θ角增大时，绳子拉力T在增大，杆对P的弹力FN＝Tsin θ增大，故C正确，D错误。
11.如图所示，河流宽度d＝80 m，各处水流速度大小均为v水＝5 m/s。若小船在静水中的速度大小为v船＝4 m/s，小船从A码头出发过河。下列说法正确的是( )
A.小船渡河的最短时间为25 s
B.小船渡河的最小位移为80 m
C.小船可以到达对岸B点的上游
D.小船以最小位移的方式到达对岸所需时间为 s
答案 D
解析 当船头指向河对岸时渡河的时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝20 s，选项A错误；因v水>v船，当船速与合速度垂直时，小船渡河的位移最小，最小位移为x＝d＝×80 m＝100 m，此时渡河的时间为t＝＝ s＝ s，选项B错误，D正确；因船的静水速度小于河水流速，可知小船不可以到达对岸B点及B点的上游，只能到达B点的下游，选项C错误。
12.如图所示，船头始终保持与河岸成θ角渡河，已知船在静水中的速度为v，水流速度平行于河岸，大小为u，河宽为d，则( )
A.船渡河的时间为
B.船可能在图中A点处到达对岸
C.船一定在图中A点下游某位置到达对岸
D.若水流速度u增大，则船渡河的时间也将增加
答案 C
解析 船在渡河时，由于水流速度，则船不沿船头方向运动，把船的速度分解到沿着河岸和垂直河岸方向，垂直河岸方向的速度v1＝vsin θ，则渡河时间t＝，故A错误；由图可知，根据矢量合成法则，船的合速度方向，也就是船行驶的方向，一定在船速度方向和水流速度方向夹角范围内，则一定不指向A，指向A下游的某一位置，故B错误，C正确；水流速度u增大，不影响船垂直河岸方向的分速度，则渡河时间不变，故D错误。
13. (多选)甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两球的速度大小之比为
B．甲、乙两球的速度大小之比为
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，甲球的速度达到最大
答案 BD
解析 AB．设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为
v2在沿杆方向的分量为
而，图示位置时，有
，
联立可得此时甲、乙两球的速度大小之比为
故A错误，B正确；
CD．当甲球即将落地时，有，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。
故选BD。
14.如图所示，甲、乙两船同时从河岸的A点开始渡河，两船头与河岸夹角分别为和角（），最终两船到达河对岸的同一点，则（ ）
A．甲船航行的位移小于乙船
B．甲船的合速度小于乙船的合速度
C．甲、乙两船同时到达河对岸
D．甲船在静水中的航行速度一定小于乙船
答案 B
解析 ABC．甲乙两船均做匀速直线运动，合速度也均为匀速直线运动，因初末位置相同，可知位移大小及方向均相同，由图可知，乙船的合速度大于甲船，则乙船先到达河对岸，故AC错误，B正确；
D．D．由题中条件不能判断甲乙两船的静水速度关系，故D错误。
故选B。
培优加强练
15.已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行。
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少？
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
答案 (1)20 s 20 m (2)25 s (3)不能
解析 (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为
t＝＝ s＝20 s。
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向发生的位移x＝v2t＝3×20 m＝60 m，由几何知识可得，船的位移为l＝，代入数据得
l＝20 m。
(2)船在静水中的速度为v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，如图乙所示，所用的时间为
t′＝＝＝ s＝25 s。
(3)当水流速度v2′＝6 m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河。
16.小船在静水中的速度为4m/s，河宽为200m，水流速度为3m/s，求：
（1）小船过河的最短时间，并求出此种情况下小船过河的位移
（2）当过河位移最短时过河的时间
（3）若水流速度为，求此种情况下过河最短位移及过河时间
答案 （1），；（2）；（3），
解析 （1）当船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，如下图所示
最短时间为
这时小船的合速度为
此种情况下小船过河的位移为
（2）船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图所示
这种情况下，小船的合速度为
当过河位移最短时过河的时间为
（3）若水流速度为，则，此种情况下过河如图所示
当船头方向(即方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小为
这种情况下，小船的合速度为
过河时间为
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