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第六章 圆周运动
第1节 圆周运动
学习目标
1.了解圆周运动、匀速圆周运动的特点。
2.理解线速度、角速度的物理意义。了解转速、周期等概念。会对它们进行定量计算。
3.知道线速度、角速度、周期之间的关系。
4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
知识点一 描述圆周运动的物理量及其关系
闹钟与手表为什么会有上述快慢之争？提出你的看法，和同学进行讨论。
提示 “闹钟”和“手表”是从不同角度看圆周运动的快慢，闹钟指的是秒针针尖的线速度，手表则指的是秒针转动的角速度。
1.线速度
(1)定义：物体做圆周运动通过的弧长Δs与所用时间Δt之比。
(2)定义式：v＝。
(3)标矢性：线速度是矢量，其方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。
(4)物理意义：描述质点沿圆周运动快慢的物理量。
(5)匀速圆周运动
①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等的圆周运动。
②性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
2.角速度
(1)定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。
(2)表达式：ω＝。
(3)国际单位：弧度每秒，符号 rad/s。
(4)物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
3.周期
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，用T表示，国际单位制单位为秒(s)。
(2)转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速，常用符号 n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
4.线速度与角速度的关系
(1)关系式：v＝ωr。
(2)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积。
(3)推导
【思考】
1.有同学说转动快即角速度大的物体，线速度一定大，这个同学的说法对吗？
提示 不对，角速度大的物体，线速度不一定大，因为半径不确定。
2.匀速圆周运动是线速度不变的圆周运动吗？
提示 匀速圆周运动线速度的大小不变、方向时刻变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
3.做匀速圆周运动的物体在相等的时间内位移相同吗？速度的变化量相同吗？
提示 位移一般不同，速度的变化量一般也不同。
例1 质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A.因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B.因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C.因为ω＝2πn，所以角速度ω大小等于π的整数倍
D.因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
答案 D
解析 公式v＝ωr是三个物理量之间的关系式，只有当ω一定时，v与r才成正比，只有v一定时，ω与r才成反比，故A、B错误；公式ω＝2πn，n表示转速，而不是表示整数，不能说角速度ω大小等于π的整数倍，故C错误；ω＝是两个物理量之间的关系，ω与周期T成反比，故D正确。
训练1汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为（ ）
A．1000r/s B．1000r/min
C．1000r/h D．2000r/s
答案 B
解析 题意知车的速度大小为，车轮半径约为，设转速为n，根据
代入以上数据得
故选B。
训练2如图所示，地球可看成是一个质量分布均匀的球体，地球上的物体均随地球自转做匀速圆周运动。已知石家庄的纬度约为，则位于赤道和石家庄的物体P、Q随地球自转的角速度、线速度之比分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案 B
解析 物体P、Q随地球自转，则物体P、Q的角速度相等；根据
可得物体P、Q的线速度大小之比为
故选B。
例2 (多选)甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法正确的是( )
A.它们的半径之比为2∶9
B.它们的半径之比为1∶2
C.它们的周期之比为2∶3
D.它们的周期之比为1∶3
答案 AD
解析 由v＝ωr得r＝，所以r甲∶r乙＝∶＝2∶9，故A正确，B错误；由T＝，所以T甲∶T乙＝∶＝1∶3，故C错误，D正确。
训练1“灯光表演”中，同学们用投影仪把校徽图案投到教学楼的墙壁上。现将投影过程简化为如图所示，投影仪放置在水平地面上，与教学楼相距，此时校徽图案距离地面，正在沿竖直方向以的速度上升。此时投影仪转动的角速度约为（ ）
A． B．
C． D．
答案 B
解析 校徽图案的实际运动为沿墙壁竖直向上的运动，其运动效果是一方面绕投影仪转动，另一方面沿光线方向延伸，因此应将竖直向上的速度分解为沿光线和垂直于光线的分速度。设校徽图案的速度为v，投影仪转动的角速度为，投影仪到图案间的距离为，光线与墙壁的夹角为，将校徽图案的速度沿光线方向和垂直光线方向分解
可得垂直光线方向的速度为
同时有
根据几何知识可得
联立解得
ACD错误，B正确。
故选B。
训练2如图所示为地球的理想示意图，地球环绕过南北极的轴自转，O点为地心，P、Q分别为地球表面上的点，分别位于北纬60°和北纬30°。则P、Q的线速度大小之比为 ，P、Q的转速之比为 。
答案
解析 [1]P、Q的角速度相等，轨迹半径为
由可得
[2]P、Q的角速度相等，由可知P、Q的转速之比为。
例3 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，求该物体做圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度；
(3)周期。
答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
解析 (1)依据线速度的定义式可得
v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)依据v＝ωr得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
(3)依据ω＝得T＝＝ s＝4π/s。
(1)控制变量法是解决物理问题的一种重要研究方法，一定要注意哪些物理量是不变的。
(2)圆周运动的联系方程要熟练记忆，v＝＝ωr＝2πnr。
(3)各物理量之间的关系
①当半径r一定时，由v＝ωr知线速度v与角速度ω成正比。
②当角速度ω一定时，由v＝ωr知线速度v与半径r成正比。
③当线速度v一定时，由v＝ωr知角速度ω与半径r成反比。
训练1如图所示为一同学正在荡秋千的简化示意图。O为圆周运动的圆心，绳上两点的线速度大小和角速度大小分别用和表示。在荡秋千的过程中（不包括最高点位置），下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案 C
解析 CD．两点在绳上绕O点做圆周运动，所以角速度相等，即
故C正确，D错误；
AB．根据
可知
故AB错误。
故选C。
训练2如图所示，MN杆绕M点在竖直平面内匀速转动，并带动套在固定光滑竖直杆OQ上的小环向下运动，某一时刻小环运动到P点时速度正好为v，。已知，则MN杆的角速度大小为（ ）
A． B．
C． D．
答案 A
解析 设MN杆的角速度为，如图所示
把速度v沿着MN杆和垂直MN杆分解，根据几何关系，
，，
联立，解得
故选A。
知识点二 两类传动模型
科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置，在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮匀速转动时，小齿轮的角速度与大齿轮角速度的关系如何？
提示 大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，根据v＝ωr可知，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍时，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍。
同轴转动和皮带传动比较
项目 同轴转动模型 “皮带传动类”模型
皮带传动 齿轮传动 摩擦传动
装置 A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 两轮靠摩擦传动，A、B两点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
特点 相等时间内，A、B两点转过的角度相等，所以A、B两点的角速度、周期相等 相等的时间内，A、B两点转过的弧长相等，所以A、B两点的线速度大小相等
转动方向 相同 根据皮带连接方式判断 相反 相反
规律 ＝ ＝ ＝ ＝＝，＝＝。(N1、N2为大、小轮的齿数) ＝ ＝
例4 (2024·安徽宿州高一期中) “共享单车”是目前中国规模最大的近距离交通代步工具，为我们提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的交通服务。如图所示是一辆共享单车，A、B、C三点分别为单车轮胎和大、小齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是( )
A.A点与B点的线速度满足vA＝2vB
B.A点与C点的线速度满足vC＝vA
C.B点与C点的角速度满足2ωB＝5ωC
D.A点与B点的角速度满足2ωA＝5ωB
答案 D
解析 大齿轮与小齿轮靠链条传动，边缘点的线速度大小相等，即vB＝vC ①，根据v＝ωR及2RB＝5RC可得＝＝ ②，即5ωB＝2ωC，故C错误；后轮和小齿轮同轴转动，角速度相同，即ωA＝ωC ③，根据v＝ωR及RA＝5RC可得＝＝ ④，故B错误；由①④可得＝，A点和B点的线速度满足vA＝5vB，故A错误；由②③可得＝，即A点与B点的角速度满足2ωA＝5ωB，故D正确。
(1)在解决既有皮带传动又有同轴转动问题时，首先要明确各点的关系是同轴转动还是皮带传动，其次要明确各点的半径。
(2)利用线速度和角速度的关系写方程，联立求解。
训练1如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1。则丙轮的角速度为（ ）
A． B． C． D．
答案 C
解析 根据题意，三轮边缘点的线速度大小相等，则
所以
故选C。
训练2 如图为某一皮带传动装置，主动轮M的半径为r1，从动轮N的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（ ）
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮的角速度为
C．从动轮边缘线速度大小为n1 D．从动轮的转速为n1
答案 B
解析 A．因为主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，故A错误；
BD．由干通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的线速度相等，根据
得
所以
则
故B正确，D错误；
C．从动轮边缘线速度大小为
故C错误。
故选B。
例5 (多选)(人教版P26 T1改编)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.a、b两点的角速度相同
B.a、b两点的线速度相同
C.若θ＝45°，则a、b两点的线速度大小之比va∶vb＝∶2
D.若θ＝45°，则a、b两点的周期之比Ta∶Tb＝∶2
答案 AC
解析 由于球上所有的点都属于同轴转动，则可知a、b两点角速度相等，由角速度与周期的关系ω＝可知，两点的周期也相等，即Ta∶Tb＝1∶1，A正确，D错误；由题图可知ra训练1如图所示，A为轮边缘上的一点，为半径的中点，在轮转动过程中，线速度大小之比为（ ）
A．1:2 B． C．1:4 D．
答案 B
解析 两点属于同轴转动，角速度相等，根据公式可知，线速度大小之比为2：1。
故选B。
训练2如图所示为脚踏自行车的传动装置简化图，甲、乙两轮同轴且无相对转动，传动链条在各轮转动中不打滑，A、B、C分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，则（ ）
A．周期 B．线速度
C．角速度 D．向心加速度
答案 D
解析 C．甲和丙链条转动，所以其线速度大小相等，即
根据
因为
所以
甲乙同轴转动，则二者角速度相等，即
则
故C错误；
A．根据
可得
故A错误；
B．根据
且
可得
故B错误；
D．对甲、丙由
根据，，可得
对甲、乙由
根据，，可得
故
故D正确。
故选D。
知识点三 圆周运动的周期性和多解性
例6 (2024·浙江大学附属中学高一期中)如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个可以间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时后一滴水开始下落。水滴下落过程空气阻力不计，重力加速度为g，求：
(1)第一滴水离开容器到落至圆盘所用时间t；
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一条直线上，求圆盘转动的角速度ω。
答案 (1) (2)kπ(k＝1，2，3，…)
解析 (1)第一滴水在竖直方向上做自由落体运动，有
h＝gt2
解得t＝。
(2)要使每滴水落到同一直线上，则圆盘在t时间内转过的弧度为kπ，k为正整数，则ωt＝kπ，即
ω＝kπ(k＝1，2，3，…)。
训练1某射击游戏道具如图（a）所示，将圆形转筒十等分后间隔排列五片弧形薄板，其余位置留空，俯视图如图（b）所示。已知转筒直径d＝1m，角速度ω＝8πrad/s，小德用玩具手枪瞄准中轴线随机打出一枪，弹丸可认为做水平匀速直线运动且速度v1＝20m/s，弹丸穿过薄板后速度会减半，忽略空气阻力和弹丸穿过薄板所需时间，下列说法正确的是（ ）
A．薄板上各点线速度相同
B．薄板上一定会留下一个弹孔
C．若增大角速度，薄板上至少会留下一个弹孔
D．若减小角速度，薄板上至少会留下一个弹孔
答案 B
解析 A．根据可知，薄板上各点线速度大小相等，方向不同，故A错误；
B．子弹在转筒中运动的时间为
此时转筒转过的角度为
由题意可知，子弹入射时与圆心连线处的位置转了，且圆筒与圆心连线每隔有一块薄板，由几何关系可知，薄板上一定会留下一个弹孔，故B正确；
CD．由选项B可知，无论是增大角速度还是减小角速度，子弹在薄板上可能不留下弹孔，故CD错误。
故选B。
训练2如图所示，直径的纸筒以转速绕轴O逆时针匀速转动，从玩具枪枪口发射的子弹（可视为质点）沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒上只留下一个弹孔，则圆桶转动的角速度为 rad/s；子弹穿过纸筒的最大平均速度为 m/s。（）
答案 62.8 10
解析 [1] 匀速圆周运动的角速度为
[2]在子弹飞行的时间内，圆筒转动的角度为
时间
可得
时子弹的平均速度最大
例7 如图所示，在同一竖直平面内有A、B两物体，A物体从a点起以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O自由下落，要使A、B两物体在d点相遇，重力加速度为g，求角速度ω必须满足的条件。
答案 ω＝ (n＝0，1，2，…)
解析 B物体从圆心O到d点的运动是自由落体运动，所用的时间t1满足
R＝gt，所以t1＝
A物体做匀速圆周运动，从a点沿顺时针方向运动到d点，转过的角度应满足
θ＝2πn＋π (n＝0，1，2，…)
所用时间t2＝＝ (n＝0，1，2，…)
由题意知t1＝t2
即＝ (n＝0，1，2，…)
解得ω＝ (n＝0，1，2，…)。
解决圆周运动的周期性和多解性问题时应注意
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。
(4)分析技巧
①抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
训练1如图所示，夜晚时电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪光60次，风扇转轴O上装有3个相同的扇叶，它们互成120°角。当风扇匀速转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转动角速度最小值为（ ）
A．40πrad/s B．40rad/s
C．120πrad/s D．120rad/s
答案 A
解析 因为电扇叶片有三个，相互夹角为，现在观察者感觉扇叶不动，说明在闪光时间里，扇叶转过的角度应为的整数倍，则有
（，，）
闪光灯每秒闪光60次，则转动的角速度为
（，，）
当时，可得风扇转动角速度最小值为
故选A。
训练2如图所示在半径为的水平圆盘中心轴正上方点水平抛出一小球，圆盘以角速度匀速转动，当圆盘半径方向恰好转到与小球初速度方向相同的位置时，将小球抛出，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为，重力加速度为，对于小球抛出点距圆盘的高度和小球的初速度的可能取值错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案 C
解析 由题意可知，小球做平抛运动在竖直方向上有
水平方向上有
对圆盘有
（）
经上述分析可解得
（）
（）
根据k的取值不同，经计算可知，ABD正确，不符合题意，C错误，符合题意。
故选C。
随堂对点自测
1.(描述圆周运动的物理量及其关系)(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A.运动路程为600 m B.加速度为零
C.角速度约为1 rad/s D.弯道半径约为3.4 km
答案 AD
解析 在此10 s时间内，火车运动路程s＝vt＝600 m，A正确；火车在弯道上运动，做曲线运动，一定有加速度，B错误；火车匀速转过10°，角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，C错误；由v＝ωr，可得转弯半径r＝＝ m≈3.4 km，D正确。
2.(两类传动模型)(2024·山东潍坊高一期中)电脑硬盘内电机主轴的旋转速度以每分钟多少转表示，单位表示为rpm(转/每分钟)。若一硬盘转速为7 200 rpm，盘片半径为95 mm，在该硬盘正常工作时( )
A.盘片的周期为 s
B.盘片的角速度大小为7 200π rad/s
C.盘片上边缘某点的线速度大小为22.8π m/s
D.盘片上边缘某点的线速度大小为11.4π m/s
答案 C
解析 转盘周期为T＝ s＝ s，故A错误；盘片的角速度大小为ω＝2πn＝×2π rad/s＝240π rad/s，故B错误；边缘线速度大小为v＝ωr＝240π×95×10－3 m/s＝22.8π m/s，故C正确，D错误。
3.(圆周运动的周期性和多解性)(多选)(2024·江西省直属学校高一联考)为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min(从左往右看是逆时针转动)，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角是30°，如图所示。则该子弹的速度大小可能是( )
A.360 m/s B.57.6 m/s
C.1 440 m/s D.108 m/s
答案 BC
解析 子弹从A盘到B盘，沿子弹的运动方向看，盘逆时针转动，转过的角度θ＝2πk＋(k＝0，1，2，…)，盘转动的角速度ω＝2πn＝120π rad/s，子弹在A、B间运动的时间等于圆盘转动时间，即＝，所以有v＝＝ m/s＝ m/s(k＝0，1，2，…)。当k＝0时，v＝1 440 m/s；k＝1时，v＝110.77 m/s；k＝2时，v＝57.6 m/s，故B、C正确。
4.如图所示为某计算机上的硬磁盘的磁道和扇区。电动机使盘面匀速转动，盘面上有A、B两点，则A、B两点周期TA、TB的关系为（ ）
A．TA=TB B．TA>TB C．TA＜TB D．无法判断
答案 A
解析 盘面上有A、B两点，属于共轴传动，有
由
可知
故选A。
5.（多选）打水漂是民间小朋友喜爱的一种娱乐项目。用扁型瓦片或石片，用力旋转飞出，石片擦水面飞行，利用物体的惯性和旋转时具有定轴性，触水面后受水作用而弹起，石片将不断在水面上向前弹跳直至沉水，来比较石头飞行的距离或点击水面的次数。假设一块圆饼形石头被扔出后，某段时间内平行水面绕其中心以ω匀速旋转的同时以v向前匀速运动，该段时间内说法正确的是（ ）
A．石头的边缘各点线速度大小相等
B．石头向前运动距离为s时，共旋转了圈
C．石头每旋转一圈将前进的距离为
D．石头的半径为
答案 BC
解析 A．石头的边缘各点速度为匀速圆周运动速度与向前运动速度v的合速度，线速度大小不一定相等，故A错误；
B．匀速圆周运动周期
石头向前运动距离为s时，需要时间
共旋转圈数
联立以上三式得
故B正确；
C．石头每旋转一圈将前进的距离为
故C正确；
D．石头匀速圆周运动的线速度大小不一定等于v，石头的半径不一定等于，故D错误。
故选BC。
对点题组练
题组一 描述圆周运动的物理量及其关系
1.(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A.在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B.在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C.在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D.在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
答案 BD
解析 质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，通过的弧长与连接质点和圆心的半径转过的角度都相等，但位移只是大小相等，方向并不相同，平均速度也只是大小相等，方向并不相同，故B、D正确。
2.(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法正确的是( )
A.角速度为0.5 rad/s B.转速为0.5 r/s
C.运动轨迹的半径为 m D.频率为0.5 Hz
答案 BCD
解析 由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝＝π rad/s，A错误；由T＝得转速n＝＝0.5 r/s，B正确；由v＝ωr得r＝＝ m，C正确；由频率与周期的关系得f＝＝0.5 Hz，D正确。
3.(多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是( )
A.它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B.它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C.它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D.它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
答案 BC
解析 A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，由v＝知vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，选项C正确；转速n＝，所以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误。
题组二 两类传动模型
4.风能是一种绿色能源，如图所示，叶片在风力推动下转动，带动发电机发电，M、N为同一个叶片上的两点，下列判断正确的是( )
A.M点的线速度小于N点的线速度
B.M点的角速度小于N点的角速度
C.M点的转速大于N点的转速
D.M点的周期大于N点的周期
答案 A
解析 M、N两点转动的角速度相等，转速相等，周期相等，M点转动的半径小，根据v＝ωr知，M点的线速度小于N点的线速度，故A正确，B、C、D错误。
5.(2024·福建三明高一下期中)如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A.a、b和c三点的线速度大小相等
B.c的线速度比a、b的线速度大
C.a、b的角速度比c的角速度大
D.a、b和c三点的角速度相等
答案 D
解析 a、b、c三点同轴转动，所以ωa＝ωb＝ωc，故C错误，D正确；根据v＝ωr知a、b两点的转动半径相同且比c点的大，则c的线速度比a、b的线速度小，故A、B错误。
6.某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫做太阳轮，它是主动轮，从动轮称为行星轮。太阳轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为( )
A.ω B.ω
C.ω D.ω
答案 A
解析 太阳轮、行星轮与大轮分别用A、B、C表示，＝＝，解得RB＝RA，由题图可知，A与B为齿轮传动，所以线速度大小相等，B与C也是齿轮传动，线速度也相等，所以A与B、C的线速度是相等的，由题图可知RC＝2RB＋RA，由vA＝vC，得ωRA＝ωCRC，联立可得ωC＝ω，故A正确。
7.如图，带车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为2.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为( )
A. rad/s B. rad/s
C. rad/s D. rad/s
答案 C
解析 设汽车恰好安全通过道闸时直杆转过的角度为θ，由几何关系得tan θ＝＝1，解得θ＝，直杆转动的时间t＝t汽－t反＝2 s，直杆转动的角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，故C正确。
题组三 圆周运动的周期性和多解性
8.(多选)如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是( )
A.600 r/min B.900 r/min
C.1 200 r/min D.1 800 r/min
答案 BD
解析 闪光灯的闪光周期T＝ s，在一个周期T内，扇叶转动的角度应为120°的整数倍，即圈的整数倍，所以最小转速nmin＝＝15 r/s＝900 r/min，可能满足题意的转速为n＝knmin＝900k r/min(k＝1，2，3…)，故选项B、D正确，A、C错误。
综合提升练
9.(多选)在如图所示的皮带传动装置(传动皮带紧绷且运动中不打滑)中，主动轮O1的半径为r1，从动轮有大小不一的两个轮且固定在同一个轴心O2上，半径分别为r3、r2，已知r3＝2r1，r2＝1.5r1，A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时，下列选项正确的是( )
A.A、B、C三点的周期之比为1∶2∶2
B.A、B、C三点的线速度大小之比为4∶4∶5
C.A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶2
D.A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶1
答案 AD
解析 A、B、C三点的半径之比为rA∶rB∶rC＝r1∶r3∶r2＝r1∶2r1∶1.5r1＝2∶4∶3，A、B点的线速度大小相等，即vA＝vB，B、C点的角速度相等，由v＝ωr得vB∶vC＝rB∶rC＝4∶3，所以vA∶vB∶vC＝4∶4∶3，由vA＝vB，rA∶rB＝1∶2，得ωA∶ωB＝2∶1，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，根据T＝得TA∶TB∶TC＝1∶2∶2，故A、D正确，B、C错误。
10.如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为( )
A. min B.1 min
C. min D. min
答案 C
解析 分针与秒针的角速度分别为ω分＝ rad/s，ω秒＝ rad/s。设两次重合的时间间隔为Δt，由θ分＝ω分Δt，θ秒＝ω秒Δt，θ秒－θ分＝2π，得Δt＝＝ s＝ s＝ min，选项C正确。
11.一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小。
答案 (1) s 80π rad/s (2)16π m/s
解析 (1)由于曲轴每秒转＝40(周)
即n＝40 r/s，则周期T＝＝ s
由ω＝2πn可知，曲轴转动的角速度ω＝80π rad/s。
(2)由v＝ωr可知，距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小v＝ωr＝80π×0.2 m/s＝16π m/s。
12.有一款手摇削笔器如图所示，手柄的BO段长为l，AB段长为d。一位同学转动手柄削铅笔，在时间t内匀速转动了n圈。
(1)写出手柄A处角速度和线速度大小的表达式；
(2)一款日常所用削笔器的手柄长BO约为5 cm，1 min大约转60圈，请计算手柄转动的角速度和线速度的大小。
答案 (1)ω＝ v＝
(2)6.28 rad/s 0.31 m/s
解析 (1)依题意有T＝，又ω＝
所以手柄A处角速度为ω＝
手柄A处线速度为v＝ωl＝。
(2)根据题意手柄的BO段长约为5 cm，1 min约转60圈，可得ω＝＝6.28 rad/s
v＝ωl＝0.31 m/s。
13.如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。子弹（可视为质点）以大小为的水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，不计空气阻力及圆筒对子弹运动的影响，重力加速度大小为g，圆筒足够长，下列说法正确的是（ ）
A．子弹在圆筒中的运动时间为
B．若仅改变圆筒的转速，则子弹可能在圆筒上只打出一个弹孔
C．圆筒转动的周期可能为
D．两弹孔的高度差为
答案 D
解析 A．子弹在圆筒中的运动时间为
故A错误；
BD．若仅改变圆筒的转速，由于子弹在竖直方向做自由落体运动，所以子弹不可能在圆筒上只打出一个弹孔，两弹孔的高度差为
故B错误，D正确；
C．设圆筒转动的周期为，则有
（，，）
可知
（，，）
可知圆筒转动的周期不可能为，故C错误。
故选D。
14.如图所示，某遥控玩具车从O点开始沿着竖直圆弧轨道做匀速圆周运动，运动至C点时沿切线抛出，恰能落在A点。已知B为圆弧轨道的圆心三点共线，。轨道半径为。忽略空气阻力，重力加速度为，玩具车的大小相对斜面长度忽略不计，则玩具车做匀速圆周运动的角速度大小为（ ）
A． B． C． D．
答案 B
解析 设轨道在C点处的切线为l，将重力加速度分解为平行于l斜向下的分量和垂直于l斜向下的分量，设玩具车从C点抛出时的速度为，由几何关系可知玩具车从C点到A点的运动过程中，在平行于l方向的位移为0，由题意可知玩具车离开C点时的速度方向也平行于l方向，因此玩具车从C点出发到达A点所需时间
由几何关系可得，玩具车落到A点时，沿垂直于l方向位移大小为R，可知
联立解得
玩具车做匀速圆周运动的角速度大小
故选B。
【另解】从C点抛出后，玩具车在竖直方向做竖直上抛运动，则有
在水平方向做匀速直线运动，则有
解得
玩具车做匀速圆周运动的角速度大小
故选B。
培优加强练
15.(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，设子弹射穿圆筒时速度大小不变，空气阻力不计，重力加速度为g，则( )
A.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d
B.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d
C.圆筒转动的角速度可能为ω＝2π
D.圆筒转动的角速度可能为ω＝3π
答案 AD
解析 由题意可知，子弹的运动过程为平抛运动，子弹穿过两个弹孔的时间为t＝，所以水平速度为v0＝＝d，故A正确，B错误；由于子弹射穿圆筒后两弹孔在同一竖直线上，所以子弹在圆筒中的运动时间是圆筒半个周期的奇数倍，即t＝＝n(n＝1，3，5，…)，则圆筒的角速度为ω＝nπ(n＝1，3，5，…)，故C错误，D正确。
16.某同学以自行车的齿轮传动作为探究学习的课题，该同学通过观察发现，自行车在水平地面上直线行驶时（不打滑），自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，后轮与小齿轮绕共同的轴转动，后轮半径为R。如图所示，测得大齿轮的半径为、小齿轮的半径为、自行车后轮的半径为R，若测得在时间t内大齿轮转动的圈数为N，求：
（1）大齿轮转动角速度的大小ω；
（2）假设后轮边缘夹了一块石头，当石头随后轮转到最高点时被水平抛出并落到地面，试求落地点与抛出点的水平距离。
答案 （1）；（2）
解析 （1）大齿轮的周期
则，大齿轮转动角速度的大小
（2）大齿轮和小齿轮边缘线速度的大小相等，有
解得小齿轮角速度的大小
小齿轮角速度与后轮角速度的大小相等，则后轮线速度的大小
轮胎上的石头同时参与了随自行车向前的匀速直线运动和随轮胎绕车轴的匀速圆周运动，由于轮胎与地面接触时不发生相对滑动，说明在最低点合速度为零，即圆周运动的线速度与自行车向前的速度等大方向，在最高点则其速度为2v，所以小石头脱离轮胎时速度大小为2v。石头抛出后做平抛运动，则竖直方向有
水平方向有
解得抛出的水平距离为
17.如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距P点的距离为L。在飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求：
（1）圆盘的半径；
（2）圆盘转动角速度的最小值；
（3）P点随圆盘转动的线速度。
答案 （1）；（2）；（3）
解析 （1）飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此
飞镖击中P点时，P恰好在最下方，则
解得圆盘的半径
（2）飞镖击中P点，则P点转过的角度满足
故
当k=0时，圆盘转动角速度有最小值
（3）P点随圆盘转动的线速度为
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第六章 圆周运动
第1节 圆周运动
学习目标
1.了解圆周运动、匀速圆周运动的特点。
2.理解线速度、角速度的物理意义。了解转速、周期等概念。会对它们进行定量计算。
3.知道线速度、角速度、周期之间的关系。
4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
知识点一 描述圆周运动的物理量及其关系
闹钟与手表为什么会有上述快慢之争？提出你的看法，和同学进行讨论。
1.线速度
(1)定义：物体做圆周运动通过的 与所用 之比。
(2)定义式：v＝ 。
(3)标矢性：线速度是 ，其方向为物体做圆周运动时该点的 方向。
(4)物理意义：描述质点沿圆周运动 的物理量。
(5)匀速圆周运动
①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处 的圆周运动。
②性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种 运动。
2.角速度
(1)定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的 与所用时间 叫作角速度，用符号 表示。
(2)表达式：ω＝ 。
(3)国际单位：弧度每秒，符号 。
(4)物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
3.周期
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，运动 所用的时间，用T表示，国际单位制单位为秒(s)。
(2)转速：物体转动的 与所用时间之比，叫作转速，常用符号 表示，单位为 或 。
4.线速度与角速度的关系
(1)关系式：v＝ 。
(2)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的 。
(3)推导
【思考】
1.有同学说转动快即角速度大的物体，线速度一定大，这个同学的说法对吗？
2.匀速圆周运动是线速度不变的圆周运动吗？
3.做匀速圆周运动的物体在相等的时间内位移相同吗？速度的变化量相同吗？
例1 质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A.因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B.因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C.因为ω＝2πn，所以角速度ω大小等于π的整数倍
D.因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
训练1汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为（ ）
A．1000r/s B．1000r/min
C．1000r/h D．2000r/s
训练2如图所示，地球可看成是一个质量分布均匀的球体，地球上的物体均随地球自转做匀速圆周运动。已知石家庄的纬度约为，则位于赤道和石家庄的物体P、Q随地球自转的角速度、线速度之比分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例2 (多选)甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法正确的是( )
A.它们的半径之比为2∶9
B.它们的半径之比为1∶2
C.它们的周期之比为2∶3
D.它们的周期之比为1∶3
训练1“灯光表演”中，同学们用投影仪把校徽图案投到教学楼的墙壁上。现将投影过程简化为如图所示，投影仪放置在水平地面上，与教学楼相距，此时校徽图案距离地面，正在沿竖直方向以的速度上升。此时投影仪转动的角速度约为（ ）
A． B．
C． D．
训练2如图所示为地球的理想示意图，地球环绕过南北极的轴自转，O点为地心，P、Q分别为地球表面上的点，分别位于北纬60°和北纬30°。则P、Q的线速度大小之比为 ，P、Q的转速之比为 。
例3 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，求该物体做圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度；
(3)周期。
(1)控制变量法是解决物理问题的一种重要研究方法，一定要注意哪些物理量是不变的。
(2)圆周运动的联系方程要熟练记忆，v＝＝ωr＝2πnr。
(3)各物理量之间的关系
①当半径r一定时，由v＝ωr知线速度v与角速度ω成正比。
②当角速度ω一定时，由v＝ωr知线速度v与半径r成正比。
③当线速度v一定时，由v＝ωr知角速度ω与半径r成反比。
训练1如图所示为一同学正在荡秋千的简化示意图。O为圆周运动的圆心，绳上两点的线速度大小和角速度大小分别用和表示。在荡秋千的过程中（不包括最高点位置），下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
训练2如图所示，MN杆绕M点在竖直平面内匀速转动，并带动套在固定光滑竖直杆OQ上的小环向下运动，某一时刻小环运动到P点时速度正好为v，。已知，则MN杆的角速度大小为（ ）
A． B．
C． D．
知识点二 两类传动模型
科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置，在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮匀速转动时，小齿轮的角速度与大齿轮角速度的关系如何？
同轴转动和皮带传动比较
项目 同轴转动模型 “皮带传动类”模型
皮带传动 齿轮传动 摩擦传动
装置 A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 两轮靠摩擦传动，A、B两点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
特点 相等时间内，A、B两点转过的角度相等，所以A、B两点的角速度、周期相等 相等的时间内，A、B两点转过的弧长相等，所以A、B两点的线速度大小相等
转动方向 相同 根据皮带连接方式判断 相反 相反
规律 ＝ ＝ ＝ ＝＝，＝＝。(N1、N2为大、小轮的齿数) ＝ ＝
例4 (2024·安徽宿州高一期中) “共享单车”是目前中国规模最大的近距离交通代步工具，为我们提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的交通服务。如图所示是一辆共享单车，A、B、C三点分别为单车轮胎和大、小齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是( )
A.A点与B点的线速度满足vA＝2vB
B.A点与C点的线速度满足vC＝vA
C.B点与C点的角速度满足2ωB＝5ωC
D.A点与B点的角速度满足2ωA＝5ωB
(1)在解决既有皮带传动又有同轴转动问题时，首先要明确各点的关系是同轴转动还是皮带传动，其次要明确各点的半径。
(2)利用线速度和角速度的关系写方程，联立求解。
训练1如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1。则丙轮的角速度为（ ）
A． B． C． D．
训练2 如图为某一皮带传动装置，主动轮M的半径为r1，从动轮N的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（ ）
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮的角速度为
C．从动轮边缘线速度大小为n1 D．从动轮的转速为n1
例5 (多选)(人教版P26 T1改编)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.a、b两点的角速度相同
B.a、b两点的线速度相同
C.若θ＝45°，则a、b两点的线速度大小之比va∶vb＝∶2
D.若θ＝45°，则a、b两点的周期之比Ta∶Tb＝∶2
训练1如图所示，A为轮边缘上的一点，为半径的中点，在轮转动过程中，线速度大小之比为（ ）
A．1:2 B． C．1:4 D．
训练2如图所示为脚踏自行车的传动装置简化图，甲、乙两轮同轴且无相对转动，传动链条在各轮转动中不打滑，A、B、C分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，则（ ）
A．周期 B．线速度
C．角速度 D．向心加速度
知识点三 圆周运动的周期性和多解性
例6 (2024·浙江大学附属中学高一期中)如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个可以间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时后一滴水开始下落。水滴下落过程空气阻力不计，重力加速度为g，求：
(1)第一滴水离开容器到落至圆盘所用时间t；
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一条直线上，求圆盘转动的角速度ω。
训练1某射击游戏道具如图（a）所示，将圆形转筒十等分后间隔排列五片弧形薄板，其余位置留空，俯视图如图（b）所示。已知转筒直径d＝1m，角速度ω＝8πrad/s，小德用玩具手枪瞄准中轴线随机打出一枪，弹丸可认为做水平匀速直线运动且速度v1＝20m/s，弹丸穿过薄板后速度会减半，忽略空气阻力和弹丸穿过薄板所需时间，下列说法正确的是（ ）
A．薄板上各点线速度相同
B．薄板上一定会留下一个弹孔
C．若增大角速度，薄板上至少会留下一个弹孔
D．若减小角速度，薄板上至少会留下一个弹孔
训练2如图所示，直径的纸筒以转速绕轴O逆时针匀速转动，从玩具枪枪口发射的子弹（可视为质点）沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒上只留下一个弹孔，则圆桶转动的角速度为 rad/s；子弹穿过纸筒的最大平均速度为 m/s。（）
例7 如图所示，在同一竖直平面内有A、B两物体，A物体从a点起以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O自由下落，要使A、B两物体在d点相遇，重力加速度为g，求角速度ω必须满足的条件。
解决圆周运动的周期性和多解性问题时应注意
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。
(4)分析技巧
①抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
训练1如图所示，夜晚时电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪光60次，风扇转轴O上装有3个相同的扇叶，它们互成120°角。当风扇匀速转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转动角速度最小值为（ ）
A．40πrad/s B．40rad/s
C．120πrad/s D．120rad/s
训练2如图所示在半径为的水平圆盘中心轴正上方点水平抛出一小球，圆盘以角速度匀速转动，当圆盘半径方向恰好转到与小球初速度方向相同的位置时，将小球抛出，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为，重力加速度为，对于小球抛出点距圆盘的高度和小球的初速度的可能取值错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
基础练习
1.(描述圆周运动的物理量及其关系)(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A.运动路程为600 m B.加速度为零
C.角速度约为1 rad/s D.弯道半径约为3.4 km
2.(两类传动模型)(2024·山东潍坊高一期中)电脑硬盘内电机主轴的旋转速度以每分钟多少转表示，单位表示为rpm(转/每分钟)。若一硬盘转速为7 200 rpm，盘片半径为95 mm，在该硬盘正常工作时( )
A.盘片的周期为 s
B.盘片的角速度大小为7 200π rad/s
C.盘片上边缘某点的线速度大小为22.8π m/s
D.盘片上边缘某点的线速度大小为11.4π m/s
3.(圆周运动的周期性和多解性)(多选)(2024·江西省直属学校高一联考)为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min(从左往右看是逆时针转动)，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角是30°，如图所示。则该子弹的速度大小可能是( )
A.360 m/s B.57.6 m/s
C.1 440 m/s D.108 m/s
4.如图所示为某计算机上的硬磁盘的磁道和扇区。电动机使盘面匀速转动，盘面上有A、B两点，则A、B两点周期TA、TB的关系为（ ）
A．TA=TB B．TA>TB C．TA＜TB D．无法判断
5.（多选）打水漂是民间小朋友喜爱的一种娱乐项目。用扁型瓦片或石片，用力旋转飞出，石片擦水面飞行，利用物体的惯性和旋转时具有定轴性，触水面后受水作用而弹起，石片将不断在水面上向前弹跳直至沉水，来比较石头飞行的距离或点击水面的次数。假设一块圆饼形石头被扔出后，某段时间内平行水面绕其中心以ω匀速旋转的同时以v向前匀速运动，该段时间内说法正确的是（ ）
A．石头的边缘各点线速度大小相等
B．石头向前运动距离为s时，共旋转了圈
C．石头每旋转一圈将前进的距离为
D．石头的半径为
对点题组练
题组一 描述圆周运动的物理量及其关系
1.(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A.在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B.在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C.在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D.在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
2.(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法正确的是( )
A.角速度为0.5 rad/s B.转速为0.5 r/s
C.运动轨迹的半径为 m D.频率为0.5 Hz
3.(多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是( )
A.它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B.它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C.它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D.它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
题组二 两类传动模型
4.风能是一种绿色能源，如图所示，叶片在风力推动下转动，带动发电机发电，M、N为同一个叶片上的两点，下列判断正确的是( )
A.M点的线速度小于N点的线速度
B.M点的角速度小于N点的角速度
C.M点的转速大于N点的转速
D.M点的周期大于N点的周期
5.(2024·福建三明高一下期中)如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A.a、b和c三点的线速度大小相等
B.c的线速度比a、b的线速度大
C.a、b的角速度比c的角速度大
D.a、b和c三点的角速度相等
6.某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫做太阳轮，它是主动轮，从动轮称为行星轮。太阳轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为( )
A.ω B.ω
C.ω D.ω
7.如图，带车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为2.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为( )
A. rad/s B. rad/s
C. rad/s D. rad/s
题组三 圆周运动的周期性和多解性
8.(多选)如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是( )
A.600 r/min B.900 r/min
C.1 200 r/min D.1 800 r/min
综合提升练
9.(多选)在如图所示的皮带传动装置(传动皮带紧绷且运动中不打滑)中，主动轮O1的半径为r1，从动轮有大小不一的两个轮且固定在同一个轴心O2上，半径分别为r3、r2，已知r3＝2r1，r2＝1.5r1，A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时，下列选项正确的是( )
A.A、B、C三点的周期之比为1∶2∶2
B.A、B、C三点的线速度大小之比为4∶4∶5
C.A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶2
D.A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶1
10.如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为( )
A. min B.1 min
C. min D. min
11.一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小。
12.有一款手摇削笔器如图所示，手柄的BO段长为l，AB段长为d。一位同学转动手柄削铅笔，在时间t内匀速转动了n圈。
(1)写出手柄A处角速度和线速度大小的表达式；
(2)一款日常所用削笔器的手柄长BO约为5 cm，1 min大约转60圈，请计算手柄转动的角速度和线速度的大小。
13.如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。子弹（可视为质点）以大小为的水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，不计空气阻力及圆筒对子弹运动的影响，重力加速度大小为g，圆筒足够长，下列说法正确的是（ ）
A．子弹在圆筒中的运动时间为
B．若仅改变圆筒的转速，则子弹可能在圆筒上只打出一个弹孔
C．圆筒转动的周期可能为
D．两弹孔的高度差为
14.如图所示，某遥控玩具车从O点开始沿着竖直圆弧轨道做匀速圆周运动，运动至C点时沿切线抛出，恰能落在A点。已知B为圆弧轨道的圆心三点共线，。轨道半径为。忽略空气阻力，重力加速度为，玩具车的大小相对斜面长度忽略不计，则玩具车做匀速圆周运动的角速度大小为（ ）
A． B． C． D．
培优加强练
15.(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，设子弹射穿圆筒时速度大小不变，空气阻力不计，重力加速度为g，则( )
A.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d
B.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d
C.圆筒转动的角速度可能为ω＝2π
D.圆筒转动的角速度可能为ω＝3π
16.某同学以自行车的齿轮传动作为探究学习的课题，该同学通过观察发现，自行车在水平地面上直线行驶时（不打滑），自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，后轮与小齿轮绕共同的轴转动，后轮半径为R。如图所示，测得大齿轮的半径为、小齿轮的半径为、自行车后轮的半径为R，若测得在时间t内大齿轮转动的圈数为N，求：
（1）大齿轮转动角速度的大小ω；
（2）假设后轮边缘夹了一块石头，当石头随后轮转到最高点时被水平抛出并落到地面，试求落地点与抛出点的水平距离。
17.如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距P点的距离为L。在飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求：
（1）圆盘的半径；
（2）圆盘转动角速度的最小值；
（3）P点随圆盘转动的线速度。
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